Determinante di una Matrice

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Questions and Answers

Cosa succede al determinante di una matrice se due righe vengono scambiate?

  • Il determinante rimane invariato.
  • Il determinante cambia segno. (correct)
  • Il determinante diventa la somma delle righe.
  • Il determinante diventa zero.

Se una matrice n × n ha una riga composta esclusivamente da zeri, quale sarà il suo determinante?

  • É equivalente agli elementi sulla diagonale.
  • Equivale alla somma delle righe.
  • É sempre diverso da zero.
  • É uguale a zero. (correct)

Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al determinante di una matrice triangolare superiore?

  • È il prodotto degli elementi sulla diagonale. (correct)
  • È sempre zero.
  • Dipende dal numero delle righe.
  • È la somma degli elementi sulla diagonale.

Se A è una matrice invertibile, quale delle seguenti affermazioni è corretta?

<p>det(A^(-1)) = 1/det(A). (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è la relazione tra il determinante di A e il determinante della sua trasposta A^T?

<p>det(A) = det(A^T). (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è il valore del determinante se le righe di una matrice sono linearmente indipendenti?

<p>Maggiore di zero (B)</p> Signup and view all the answers

Se applico un'operazione di somma di un multiplo di una colonna ad un'altra, quale effetto ha sul determinante della matrice?

<p>Non cambia il valore del determinante (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è il determinante della matrice elementare di tipo scambio tra due righe?

<p>−1 (D)</p> Signup and view all the answers

Se una matrice $A$ è triangolare inferiore, come si calcola il suo determinante?

<p>È il prodotto degli elementi sulla diagonale (D)</p> Signup and view all the answers

Se il determinante di una matrice $A$ è zero, quale delle seguenti affermazioni è vera?

<p>La matrice ha una riga composta da zeri (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa implica il fatto che det($A$) = det($A^T$)?

<p>Le operazioni sulle righe non influenzano il valore del determinante (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è il risultato di det($ ext{λA}$) se $λ$ è un numero scalare?

<p>λ^n × det($A$) (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa accade al determinante se si moltiplica una colonna di $A$ per un numero $λ$?

<p>Viene moltiplicato per $λ$ (C)</p> Signup and view all the answers

Se $A$ e $B$ sono matrici quadrate, qual è la relazione tra i loro determinanti?

<p>det($AB$) = det($A$) × det($B$) (B)</p> Signup and view all the answers

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Flashcards

Determinante di una matrice con riga nulla

Se una matrice A ha una riga composta solo da zeri, allora il suo determinante è zero.

Scambio di righe e determinante

Se scambi due righe di una matrice A, il determinante cambia di segno.

Moltiplicazione di una riga e determinante

Se moltiplichi una riga di una matrice A per un numero λ, il determinante viene moltiplicato per λ.

Determinante di una matrice triangolare

Il determinante di una matrice triangolare superiore (o inferiore) è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.

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Teorema di Binet

Il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei loro determinanti.

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Matrice con riga nulla

Se una matrice ha una riga composta da tutti zeri, il suo determinante è zero.

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Determinante della matrice di scambio

Il determinante di una matrice elementare di scambio è -1.

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Determinante della matrice di moltiplicazione

Il determinante di una matrice elementare di moltiplicazione per un fattore λ è λ.

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Determinante di una matrice invertibile

Se una matrice è invertibile, il suo determinante è diverso da zero.

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Determinante della trasposta

Il determinante di una matrice è uguale al determinante della sua trasposta.

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Operazioni sulle righe e sulle colonne

Le operazioni sulle righe di una matrice corrispondono a operazioni sulle colonne della sua trasposta.

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Determinante di una matrice triangolare superiore

Se una matrice è triangolare superiore, il suo determinante è uguale al prodotto degli elementi diagonali.

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Study Notes

Determinante di una Matrice

  • Se una matrice A è di ordine n x n e A' è ottenuta da A scambiando due righe, allora det(A') = -det(A).
  • Se una riga di una matrice A è composta solo da zeri, allora det(A) = 0.
  • Il determinante, det: Mn×n(K) → K, è unico. det(A) = 0 se e solo se rg(A) < n.
  • Se le righe di una matrice A sono linearmente dipendenti, allora det(A) = 0.
  • det(λA) = λn det(A), dove λ è un numero.
  • Se A è una matrice triangolare superiore (aij = 0 se i > j), allora det(A) è il prodotto degli elementi sulla diagonale: det(A) = a11a22...ann. Questo vale anche per le matrici triangolari inferiori.
  • Per le matrici elementari:
    • det(P(i, j)) = -1 (scambio righe)
    • det(S(i, j; λ)) = 1 (somma multiplo di una riga ad un'altra)
    • det(M(i, λ)) = λ (moltiplicazione di una riga per un numero)
  • Teorema di Binet: det(AB) = det(A) det(B) per matrici A e B di ordine n x n.
  • Se A è invertibile, allora det(A) ≠ 0 e det(A-1) = 1/det(A).
  • det(A) = det(AT) (dove AT è la trasposta di A)
  • Le operazioni sulle righe di A corrispondono a operazioni sulle colonne di AT. Pertanto, le operazioni sulle colonne di A possono essere utilizzate per calcolare il determinante. Lo scambio di colonne cambia il segno del determinante, la somma di un multiplo di una colonna ad un'altra non cambia il determinante, e la moltiplicazione di una colonna per un numero λ moltiplica il determinante per λ.

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