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Questions and Answers
Cosa succede al determinante di una matrice se due righe vengono scambiate?
Cosa succede al determinante di una matrice se due righe vengono scambiate?
- Il determinante rimane invariato.
- Il determinante cambia segno. (correct)
- Il determinante diventa la somma delle righe.
- Il determinante diventa zero.
Se una matrice n × n ha una riga composta esclusivamente da zeri, quale sarà il suo determinante?
Se una matrice n × n ha una riga composta esclusivamente da zeri, quale sarà il suo determinante?
- É equivalente agli elementi sulla diagonale.
- Equivale alla somma delle righe.
- É sempre diverso da zero.
- É uguale a zero. (correct)
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al determinante di una matrice triangolare superiore?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al determinante di una matrice triangolare superiore?
- È il prodotto degli elementi sulla diagonale. (correct)
- È sempre zero.
- Dipende dal numero delle righe.
- È la somma degli elementi sulla diagonale.
Se A è una matrice invertibile, quale delle seguenti affermazioni è corretta?
Se A è una matrice invertibile, quale delle seguenti affermazioni è corretta?
Qual è la relazione tra il determinante di A e il determinante della sua trasposta A^T?
Qual è la relazione tra il determinante di A e il determinante della sua trasposta A^T?
Qual è il valore del determinante se le righe di una matrice sono linearmente indipendenti?
Qual è il valore del determinante se le righe di una matrice sono linearmente indipendenti?
Se applico un'operazione di somma di un multiplo di una colonna ad un'altra, quale effetto ha sul determinante della matrice?
Se applico un'operazione di somma di un multiplo di una colonna ad un'altra, quale effetto ha sul determinante della matrice?
Qual è il determinante della matrice elementare di tipo scambio tra due righe?
Qual è il determinante della matrice elementare di tipo scambio tra due righe?
Se una matrice $A$ è triangolare inferiore, come si calcola il suo determinante?
Se una matrice $A$ è triangolare inferiore, come si calcola il suo determinante?
Se il determinante di una matrice $A$ è zero, quale delle seguenti affermazioni è vera?
Se il determinante di una matrice $A$ è zero, quale delle seguenti affermazioni è vera?
Cosa implica il fatto che det($A$) = det($A^T$)?
Cosa implica il fatto che det($A$) = det($A^T$)?
Qual è il risultato di det($ ext{λA}$) se $λ$ è un numero scalare?
Qual è il risultato di det($ ext{λA}$) se $λ$ è un numero scalare?
Cosa accade al determinante se si moltiplica una colonna di $A$ per un numero $λ$?
Cosa accade al determinante se si moltiplica una colonna di $A$ per un numero $λ$?
Se $A$ e $B$ sono matrici quadrate, qual è la relazione tra i loro determinanti?
Se $A$ e $B$ sono matrici quadrate, qual è la relazione tra i loro determinanti?
Flashcards
Determinante di una matrice con riga nulla
Determinante di una matrice con riga nulla
Se una matrice A ha una riga composta solo da zeri, allora il suo determinante è zero.
Scambio di righe e determinante
Scambio di righe e determinante
Se scambi due righe di una matrice A, il determinante cambia di segno.
Moltiplicazione di una riga e determinante
Moltiplicazione di una riga e determinante
Se moltiplichi una riga di una matrice A per un numero λ, il determinante viene moltiplicato per λ.
Determinante di una matrice triangolare
Determinante di una matrice triangolare
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Teorema di Binet
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Matrice con riga nulla
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Determinante della matrice di scambio
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Determinante della matrice di moltiplicazione
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Determinante di una matrice invertibile
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Determinante della trasposta
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Operazioni sulle righe e sulle colonne
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Determinante di una matrice triangolare superiore
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Study Notes
Determinante di una Matrice
- Se una matrice A è di ordine n x n e A' è ottenuta da A scambiando due righe, allora det(A') = -det(A).
- Se una riga di una matrice A è composta solo da zeri, allora det(A) = 0.
- Il determinante, det: Mn×n(K) → K, è unico. det(A) = 0 se e solo se rg(A) < n.
- Se le righe di una matrice A sono linearmente dipendenti, allora det(A) = 0.
- det(λA) = λn det(A), dove λ è un numero.
- Se A è una matrice triangolare superiore (aij = 0 se i > j), allora det(A) è il prodotto degli elementi sulla diagonale: det(A) = a11a22...ann. Questo vale anche per le matrici triangolari inferiori.
- Per le matrici elementari:
- det(P(i, j)) = -1 (scambio righe)
- det(S(i, j; λ)) = 1 (somma multiplo di una riga ad un'altra)
- det(M(i, λ)) = λ (moltiplicazione di una riga per un numero)
- Teorema di Binet: det(AB) = det(A) det(B) per matrici A e B di ordine n x n.
- Se A è invertibile, allora det(A) ≠ 0 e det(A-1) = 1/det(A).
- det(A) = det(AT) (dove AT è la trasposta di A)
- Le operazioni sulle righe di A corrispondono a operazioni sulle colonne di AT. Pertanto, le operazioni sulle colonne di A possono essere utilizzate per calcolare il determinante. Lo scambio di colonne cambia il segno del determinante, la somma di un multiplo di una colonna ad un'altra non cambia il determinante, e la moltiplicazione di una colonna per un numero λ moltiplica il determinante per λ.
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