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Questions and Answers
Cosa succede al determinante di una matrice se due righe vengono scambiate?
Cosa succede al determinante di una matrice se due righe vengono scambiate?
Se una matrice n × n ha una riga composta esclusivamente da zeri, quale sarà il suo determinante?
Se una matrice n × n ha una riga composta esclusivamente da zeri, quale sarà il suo determinante?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al determinante di una matrice triangolare superiore?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al determinante di una matrice triangolare superiore?
Se A è una matrice invertibile, quale delle seguenti affermazioni è corretta?
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Qual è la relazione tra il determinante di A e il determinante della sua trasposta A^T?
Qual è la relazione tra il determinante di A e il determinante della sua trasposta A^T?
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Qual è il valore del determinante se le righe di una matrice sono linearmente indipendenti?
Qual è il valore del determinante se le righe di una matrice sono linearmente indipendenti?
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Se applico un'operazione di somma di un multiplo di una colonna ad un'altra, quale effetto ha sul determinante della matrice?
Se applico un'operazione di somma di un multiplo di una colonna ad un'altra, quale effetto ha sul determinante della matrice?
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Qual è il determinante della matrice elementare di tipo scambio tra due righe?
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Se una matrice $A$ è triangolare inferiore, come si calcola il suo determinante?
Se una matrice $A$ è triangolare inferiore, come si calcola il suo determinante?
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Se il determinante di una matrice $A$ è zero, quale delle seguenti affermazioni è vera?
Se il determinante di una matrice $A$ è zero, quale delle seguenti affermazioni è vera?
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Cosa implica il fatto che det($A$) = det($A^T$)?
Cosa implica il fatto che det($A$) = det($A^T$)?
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Qual è il risultato di det($ ext{λA}$) se $λ$ è un numero scalare?
Qual è il risultato di det($ ext{λA}$) se $λ$ è un numero scalare?
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Cosa accade al determinante se si moltiplica una colonna di $A$ per un numero $λ$?
Cosa accade al determinante se si moltiplica una colonna di $A$ per un numero $λ$?
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Se $A$ e $B$ sono matrici quadrate, qual è la relazione tra i loro determinanti?
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Study Notes
Determinante di una Matrice
- Se una matrice A è di ordine n x n e A' è ottenuta da A scambiando due righe, allora det(A') = -det(A).
- Se una riga di una matrice A è composta solo da zeri, allora det(A) = 0.
- Il determinante, det: Mn×n(K) → K, è unico. det(A) = 0 se e solo se rg(A) < n.
- Se le righe di una matrice A sono linearmente dipendenti, allora det(A) = 0.
- det(λA) = λn det(A), dove λ è un numero.
- Se A è una matrice triangolare superiore (aij = 0 se i > j), allora det(A) è il prodotto degli elementi sulla diagonale: det(A) = a11a22...ann. Questo vale anche per le matrici triangolari inferiori.
- Per le matrici elementari:
- det(P(i, j)) = -1 (scambio righe)
- det(S(i, j; λ)) = 1 (somma multiplo di una riga ad un'altra)
- det(M(i, λ)) = λ (moltiplicazione di una riga per un numero)
- Teorema di Binet: det(AB) = det(A) det(B) per matrici A e B di ordine n x n.
- Se A è invertibile, allora det(A) ≠ 0 e det(A-1) = 1/det(A).
- det(A) = det(AT) (dove AT è la trasposta di A)
- Le operazioni sulle righe di A corrispondono a operazioni sulle colonne di AT. Pertanto, le operazioni sulle colonne di A possono essere utilizzate per calcolare il determinante. Lo scambio di colonne cambia il segno del determinante, la somma di un multiplo di una colonna ad un'altra non cambia il determinante, e la moltiplicazione di una colonna per un numero λ moltiplica il determinante per λ.
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Description
Questo quiz esplora le proprietà del determinante di una matrice, incluse le condizioni che portano a un determinante pari a zero e le regole per il calcolo del determinante in base alla struttura della matrice. Metterai alla prova la tua comprensione attraverso vari enunciati e teoremi applicabili alle matrici di ordine n x n.
