Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Prueba de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz

• Para vectores $u, v \in V$ (espacio con producto interno), $|\langle u, v \rangle| \leq ||u|| \cdot ||v||$.
• Si $v = 0$, entonces $|\langle u, 0 \rangle| = 0 = ||u|| \cdot ||0||$.
• Asumiendo $v \neq 0$, para $t \in \mathbb{R}$, $0 \leq ||u - tv||^2 = \langle u - tv, u - tv \rangle = ||u||^2 - 2t\langle u, v \rangle + t^2||v||^2$.
• Sea $a = ||v||^2$, $b = -2\langle u, v \rangle$, $c = ||u||^2$, entonces $at^2 + bt + c \geq 0$ para todo t.
• Como $a > 0$, $f(t) = at^2 + bt + c$ es una parábola que abre hacia arriba.
• Dado que $f(t) \geq 0$, $f$ tiene a lo sumo una raíz real, por lo que $b^2 - 4ac \leq 0$.
• Esto lleva a $|\langle u, v \rangle|^2 \leq ||u||^2 \cdot ||v||^2$, y finalmente a $|\langle u, v \rangle| \leq ||u|| \cdot ||v||$.

Ejemplo de la Desigualdad

• Para funciones continuas $f, g$ en $[a, b]$, $\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$.
• Entonces, $|\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx| \leq \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 dx} \cdot \sqrt{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}$.

Ángulo Entre Dos Vectores

• Para $u, v \in V$, ambos no nulos, el ángulo $\theta$ entre ellos se define como $\cos \theta = \frac{\langle u, v \rangle}{||u|| \cdot ||v||}$.
• Cauchy-Schwarz asegura que $-1 \leq \frac{\langle u, v \rangle}{||u|| \cdot ||v||} \leq 1$, garantizando la existencia de $\theta$.
• Si $\langle u, v \rangle = 0$, entonces $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$, indicando que $u$ y $v$ son ortogonales.

Ejemplo de Ángulo

• Para $u = (1, 1, 1)$ y $v = (1, 2, 3)$, $\langle u, v \rangle = 6$, $||u|| = \sqrt{3}$, y $||v|| = \sqrt{14}$.
• Por lo tanto, $\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{42}}$, y $\theta = \cos^{-1}(\frac{6}{\sqrt{42}})$.

Complemento Ortogonal

• Para un subespacio $W$ de $V$, su complemento ortogonal $W^{\perp}$ es el conjunto de vectores en $V$ ortogonales a todo vector en $W$:.
• $W^{\perp} = {v \in V : \langle v, w \rangle = 0 \text{ para todo } w \in W}$.
• $W^{\perp}$ es también un subespacio de $V$.
  • $0 \in W^{\perp}$ porque $\langle 0, w \rangle = 0$ para todo $w \in W$.
  • Si $x, y \in W^{\perp}$, entonces $\langle x + y, w \rangle = 0$ para todo $w \in W$, así que $x + y \in W^{\perp}$.
  • Si $x \in W^{\perp}$ y $c \in \mathbb{R}$, entonces $\langle cx, w \rangle = 0$ para todo $w \in W$, así que $cx \in W^{\perp}$.

Ejemplo de Complemento Ortogonal

• En $V = \mathbb{R}^3$, si $W = {(x, y, 0): x, y \in \mathbb{R}}$ es el plano xy, entonces $W^{\perp} = {(0, 0, z): z \in \mathbb{R}}$ es el eje z.
  • Si $v = (x, y, z) \in W^{\perp}$, entonces $\langle v, w \rangle = 0$ para todo $w = (a, b, 0) \in W$, implicando que $x = y = 0$.
  • Inversamente, si $v = (0, 0, z)$, entonces $\langle v, (a, b, 0) \rangle = 0$ para todo $(a, b, 0) \in W$.
• Si $W$ es un subespacio de un espacio con producto interno $V$ de dimensión finita, entonces $V = W \oplus W^{\perp}$.

El Átomo de Hidrógeno

Observaciones

Espectro de Emisión

• El hidrógeno gaseoso emite luz al recibir energía, y al pasar esta luz por un prisma, se observa un espectro de líneas.
• La fórmula empírica es $\frac{1}{\lambda} = R(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$, con $n_2 > n_1$.
  • $R$ (constante de Rydberg) $= 1.097 x 10^7 m^{-1}$.
  • $n_1 = 1 \implies$ Serie de Lyman (UV).
  • $n_1 = 2 \implies$ Serie de Balmer (Visible).
  • $n_1 = 3 \implies$ Serie de Paschen (IR).

Efecto Fotoeléctrico

• La luz que incide sobre una superficie metálica puede causar la eyección de electrones.
• $KE = h\nu - \phi$, donde:
  • $h$ (constante de Planck) $= 6.626 x 10^{-34} Js$.
  • $\nu$ es la frecuencia de la luz.
  • $\phi$ es la función de trabajo, la energía mínima para remover un electrón del metal.

Radiación de Cuerpo Negro

• Un cuerpo negro absorbe toda la radiación incidente.
• Al calentarse, emite radiación.
  • $\lambda_{max} \propto \frac{1}{T}$
  • $\lambda_{max}T = 2.9 x 10^{-3} mK$ (ley de desplazamiento de Wien).
• La física clásica predice una energía emitida infinita a alta frecuencia, resultando en la "catástrofe ultravioleta".
• Plank propuso que la energía está cuantizada: $E = nh\nu$, $n = 1, 2, 3...$

Modelo de Bohr

Postulados

• Los electrones solo pueden ocupar ciertas órbitas con energías específicas.
• Los electrones en estas órbitas no emiten radiación (estados estacionarios).
• Los electrones saltan de una órbita a otra absorbiendo o emitiendo un fotón con energía $h\nu = E_2 - E_1$.
• El momento angular de un electrón en una órbita está cuantizado: $L = mvr = n\hbar$, $n = 1, 2, 3...$ donde $\hbar = \frac{h}{2\pi}$.

Niveles de Energía

• Para un electrón (masa $m$, carga $-e$) orbitando un protón (carga $+e$):
  • Energía Potencial: $V = \frac{-e^2}{4\pi\epsilon_0r}$.
  • Energía Cinética: $KE = \frac{1}{2}mv^2$.
  • $\epsilon_0$ es la permitividad del espacio libre.
  • Energía Total: $E = KE + V = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$.
• La fuerza entre el electrón y el protón es $\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r^2}$.
  • $mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$
  • $KE = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0r}$
  • $E = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0r}$
• El momento angular está cuantizado: $mvr = n\hbar \implies v = \frac{n\hbar}{mr}$
  • $KE = \frac{1}{2}m(\frac{n\hbar}{mr})^2 = \frac{n^2\hbar^2}{2mr^2}$.
  • $r = \frac{4\pi\epsilon_0n^2\hbar^2}{me^2}$.
  • $r = n^2a_0$, donde $a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2}$ (radio de Bohr) $= 0.529 x 10^{-10}m = 0.529 \text{Å}$.
• $E = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0n^2a_0} = -\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6eV}{n^2}$.

Espectro del Hidrógeno

• $E = h\nu = E_2 - E_1$
  • $h\nu = -\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2}(\frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2})$.
  • $\frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^3c}(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
  • $R = \frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^3c} = 1.097 x 10^7 m^{-1}$.

Explicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para vectores en un espacio con producto interno. Se presenta la prueba formal y un ejemplo con funciones continuas. Se detalla cómo la desigualdad se aplica en el contexto de integrales.