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Questions and Answers
¿Qué método se utilizó en el ejemplo para calcular la derivada de la función f(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 4?
¿Qué representa 'fn' en el contexto de la tabla de Newton?
¿Qué se calcula mediante la regla del producto en el proceso de derivación?
¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular 'fn'' en la tabla de Newton?
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¿Qué se obtiene al dividir la diferencia entre los valores consecutivos de la función por el número de intervalos entre ellos?
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¿Cuál es la fórmula para la regla del producto al derivar dos funciones dadas f(x) y g(x)?
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¿Qué fórmula se utiliza en la regla de la cadena para encontrar la derivada de una función compuesta f(g(x))?
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¿Cuál es la regla para hallar la derivada de una función en la que uno de los factores es dividido por otro?
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¿Qué expresión representa la regla de la suma al combinar dos funciones dadas f(x) y g(x)?
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¿En qué se basan las reglas de diferenciación para obtener la derivada de una función?
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Study Notes
Cálculo de la Derivada Con El Uso De La Tabla
La derivada se utiliza en matemáticas y ciencia para analizar cómo una función cambia cuando sus valores varÃan. Para calcular la derivada de una función se puede utilizar ciertos métodos como las reglas de diferenciación o mediante la tabla de Newton. En este artÃculo se presentará un ejemplo en que utiliza una tabla para calcular la derivada de una función usando las reglas de diferenciación.
Reglas de Diferenciación
Las reglas de derivación son fórmulas matemáticas que permiten obtener la derivada de una función sin necesidad de evaluarla cada vez que cambien los parámetros de la función. Algunas de estas reglas incluyen:
Regla de la suma y producto
La regla del producto y la regla de la suma son dos reglas de diferenciación para combinar dos funciones dadas f(x) y g(x):
-
Regla del producto:
f*g' + g*f', dondef'es la derivada de f respecto de x yg'es la derivada de g respecto de x. -
Regla de la suma:
f' + g'.
Regla de la cadena
Esta regla permite encontrar la derivada de una función compuesta f(g(x)) usando la siguiente fórmula:
-
Regla de la cadena:
f'(g(x)) * g'(x).
Regla del cociente
La regla del cociente también es una regla para hallar la derivada de una función en la que uno de los factores es dividido por otro. La fórmula es la siguiente:
-
Regla del cociente:
(g+)/(g) = [g']/(g).
Ejemplo Con Tabla
Consideremos el ejemplo de calcular la derivada de la función f(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 4 mediante la tabla de Newton, donde n es la cantidad de valores de x que queremos evaluar para obtener la aproximación de la derivada:
| x | f(x) | f’(x) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | |
| 1.5 | 18.75 | |
| 2 | 28 | 84 |
| 2.5 | 60 | 180 |
| ... | ... | ... |
| xn | fn | fn - f(xn-1) |
Luego, usamos la regla del producto para calcular la derivada de la función en cada punto x evaluado:
| x | f(x) | f’(x) | fn - f(xn-1) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ||
| 1.5 | 18.75 | ||
| 2 | 28 | 84 | |
| 2.5 | 60 | 180 | |
| ... | ... | ... | |
| xn | fn | fn - f(xn-1) |
Finalmente, calculamos el promedio de las diferencias entre los puntos y dividimos por el número de intervalos entre ellos:
fn' = (fn - f(xn-1)) / (xn - xn-1)
Conclusión
La tabla de Newton es una herramienta muy útil para calcular la derivada de una función si se desea evitar complicaciones matemáticas. En este artÃculo se presentó un ejemplo concreto de cómo aproximar la derivada de una función utilizando esta tabla y las reglas de diferenciación. Esto demostró que es posible obtener la derivada de una función sin necesidad de conocer mecanismos complejos de cálculo.
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Description
Learn how to calculate the derivative of a function using Newton's table and differentiation rules. Explore examples of using the product rule, sum rule, chain rule, and quotient rule to determine derivatives. Discover the step-by-step process of approximating derivatives with Newton's table and simplifying calculus calculations.
