Derivate - Clasa a 10-a

Derivatives

• Definition:

  • A derivative represents the rate of change of a function with respect to a variable.
  • Mathematically, if ( f(x) ) is a function, its derivative ( f'(x) ) is defined as: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]

• Notation:

  • Common notations for derivatives include:
    • ( f'(x) )
    • ( \frac{df}{dx} )
    • ( Df(x) )
    • ( \dot{f} ) (for time derivatives)

• Interpretation:

  • The derivative at a point gives the slope of the tangent line to the function's graph at that point.
  • In a physical context, it can represent velocity if the function describes position with respect to time.

• Basic Derivative Rules:

  • Power Rule: ( \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} )
  • Constant Rule: ( \frac{d}{dx}(c) = 0 ) where ( c ) is a constant.
  • Constant Multiple Rule: ( \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x) )
  • Sum Rule: ( \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) )
  • Difference Rule: ( \frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x) )

• Product and Quotient Rules:

  • Product Rule: ( \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) )
  • Quotient Rule: ( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} )

• Chain Rule:

  • Used for composite functions: [ \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x) ]

• Higher-Order Derivatives:

  • The second derivative ( f''(x) ) is the derivative of the derivative, indicating concavity.
  • Higher-order derivatives can be derived similarly.

• Applications of Derivatives:

  • Used in finding local maxima and minima (critical points).
  • Important in optimization problems.
  • Describes motion in physics (e.g., acceleration is the derivative of velocity).

• Differentiability:

  • A function is differentiable at a point if its derivative exists there.
  • If a function is not continuous at a point, it cannot be differentiable there.

• Graphical Representation:

  • Derivatives can be visualized as slopes of tangent lines on graphs of functions.
  • Positive derivative indicates function is increasing; negative indicates decreasing.

• Common Derivatives of Basic Functions:

  • ( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x )
  • ( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} )
  • ( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) )
  • ( \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) )
  • ( \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) )

These notes provide a concise overview of the fundamental concepts of derivatives in calculus.

Derivate

• Definiție: Derivata reprezintă rata de schimbare a unei funcții față de o variabilă. Matematic, pentru o funcție ( f(x) ), derivata ( f'(x) ) se definește astfel: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]

• Notare: Derivatele sunt exprimate prin diverse note, cum ar fi:

  • ( f'(x) )
  • ( \frac{df}{dx} )
  • ( Df(x) )
  • ( \dot{f} ) (pentru derivatele în raport cu timpul)

• Interpretare: Derivata într-un punct oferă panta liniei tangente la graficul funcției în acel punct. În fizică, poate reprezenta viteza, dacă funcția descrie poziția în funcție de timp.

• Reguli fundamentale de derivare:

  • Regula puterii: ( \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} )
  • Regula constantelor: ( \frac{d}{dx}(c) = 0 ), unde ( c ) este constantă.
  • Regula multiplicării constante: ( \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x) )
  • Regula sumei: ( \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) )
  • Regula diferenței: ( \frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x) )

• Regulile produsului și împărțirii:

  • Regula produsului: ( \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) )
  • Regula împărțirii: [ \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} ]

• Regula compunerii: Utilizată pentru funcții compuse: [ \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x) ]

• Derivate de ordin superior:

  • Derivata a doua ( f''(x) ) este derivata derivatei, indicând concavitatea.
  • Derivatele de ordin superior se calculează în mod similar.

• Aplicații ale derivatelor:

  • Identificarea maximelor și minimelor locale (puncte critice).
  • Probleme de optimizare.
  • Descrierea mișcării în fizică (de exemplu, accelerația este derivata vitezei).

• Differentiabilitate:

  • O funcție este derivabilă într-un punct dacă derivata sa există acolo.
  • O funcție care nu este continuă într-un punct nu poate fi derivabilă acolo.

• Reprezentare grafică:

  • Derivatele pot fi vizualizate ca pante ale liniilor tangente pe graficele funcțiilor.
  • O derivată pozitivă indică faptul că funcția este crescătoare; o derivată negativă indică faptul că este descrescătoare.

• Derivate comune ale funcțiilor de bază:

  • ( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x )
  • ( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} )
  • ( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) )
  • ( \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) )
  • ( \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) )