Derivadas: Introducción al Cálculo Diferencial

• La Unidad 4 se centra en las derivadas.

Introducción

• Se exploran los fundamentos de las derivadas.

Razón de cambio promedio

• Define la razón de cambio promedio de una función $y = f(x)$ en el intervalo $[x_1, x_2]$ como $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.

Razón de cambio instantánea

• La razón de cambio instantánea de una función $y = f(x)$ en el punto $x = a$ es: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.

Derivada de una función

• Se ahonda en la definición formal de la derivada de una función.

Definición

• La derivada de $f(x)$ en el punto $x$ se define como: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
• Si este límite existe, la función se considera derivable en $x$.

Notación

• Las notaciones más comunes para la derivada de una función $y = f(x)$ son: $f'(x), y', \frac{dy}{dx}, \frac{df}{dx}, D_x f(x)$.

Interpretación geométrica

• La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

Derivabilidad y continuidad

• Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.
• El recíproco no es cierto; una función puede ser continua, pero no derivable en un punto.

Reglas de derivación

• Establece las reglas básicas para derivar funciones.

• $f(x)$ y $g(x)$ son derivables, y $c$ es una constante.

• Derivada de una constante: $\frac{d}{dx}(c) = 0$

• Derivada de una potencia: $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

• Derivada de una suma o diferencia: $\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$

• Derivada de un producto: $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

• Derivada de un cociente: $\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

• Regla de la cadena: $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Derivadas de funciones trascendentes

• Se definen las derivadas de las funciones trascendentes más comunes.

• Derivada de la función seno: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

• Derivada de la función coseno: $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

• Derivada de la función tangente: $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$

• Derivada de la función exponencial: $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

• Derivada de la función logaritmo natural: $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

Derivación implícita

• Se explica cómo derivar funciones definidas implícitamente.

• Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a $x$, usando la regla de la cadena.

• Despejar $\frac{dy}{dx}$.

Derivadas de orden superior

• Explica cómo encontrar derivadas sucesivas de una función, como la segunda derivada $f''(x)$.

Aplicaciones de la derivada

• Se describen algunas aplicaciones prácticas de las derivadas.

Recta tangente y normal

• La ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $(a, f(a))$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.
• La ecuación de la recta normal a $f(x)$ en $(a, f(a))$ es: $y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$.

Valores máximos y mínimos

• Encontrar puntos críticos (donde $f'(x) = 0$ o no existe).
• Evaluar la función en los puntos críticos y extremos del intervalo.
• El mayor valor es el máximo absoluto, y el menor es el mínimo absoluto.

Crecimiento y decrecimiento

• Si $f'(x) > 0$, $f(x)$ es creciente en ese intervalo.
• Si $f'(x) < 0$, $f(x)$ es decreciente en ese intervalo.

Concavidad y puntos de inflexión

• Si $f''(x) > 0$, $f(x)$ es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
• Si $f''(x) < 0$, $f(x)$ es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
• Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad.

Optimización

• La optimización busca los valores máximos o mínimos de una función, dadas ciertas restricciones.