Clemie IMD CHAP 4

Définition et caractéristiques des options

• Une option est un droit, non une obligation.
• Le prix d'exercice est le prix auquel l'action d'achat ou de vente est verrouillée.
• L'option d'achat (call) est le droit d'acheter un actif à un prix d'exercice à tout moment avant la date d'expiration (style américain).
• L'option de vente (put) est le droit de vendre un actif à un prix d'exercice à tout moment avant la date d'expiration (style américain).
• Le style européen permet uniquement l'achat ou la vente à la date d'expiration, et non pendant la période de l'option.
• La prime est le prix de l'option, une sorte d'assurance pour entrer dans le contrat. Elle n'est pas récupérable et représente la valeur de l'option.
• La date d'expiration est le dernier jour où l'option peut être exercée.

Caractéristiques des options

• Nature: Droit d'achat ou de vente.
• Prix d'exercice: Prix fixe auquel l'option peut être exercée.
• Date d'exercice: Date à laquelle l'option expire.
• Prime: Prix de l'option.

Types d'options

• Marchés organisés
  • Options négociables.
  • Options sur actifs physiques (standardisation de l'actif sous-jacent).
  • Options américaines.
• Marchés non organisés
  • Options non négociables.
  • Options sur contrats.
  • Options européennes.

Valeur d'une option

• Paiements associés à l'expiration d'une option
  • Option d'achat (call) à l'expiration
    • Il est logique d'exercer l'option si un bénéfice est réalisé.
    • Valeur de l'option d'achat à l'expiration:
      • C(T,T) = Max(0, S(T) - K)
      • S(T): Prix spot à l'expiration (T)
      • K: Prix d'exercice
  • Option de vente (put) à l'expiration
    • Le put est "in the money" si S(T) < K.
    • Le put est "out of the money" si S(T) > K.
    • Le put est "at the money" si S(T) = K.

Déterminants de la valeur d'une option

Quatre opérations de base utilisant des options

Achat d'une option d'achat (call)

• Risque maximal: Prime.
• Profit maximal: Infinité (S - BEP).
• Point d'équilibre (BEP): Prime + prix d'exercice (K).
• Illustration graphique: La ligne rouge s'arrête à la ligne horizontale de S=K, car après K le gain devient infini.

Achat d'une option de vente (put)

• Risque maximal: Prime.
• Profit maximal: Très élevé (BEP - S).
• Point d'équilibre (BEP): Prix d'exercice (K).
• Illustration graphique:
  • La ligne rouge s'arrête à la ligne horizontale de S=K, car après K il n'y a plus de possibilité pour le put d'être exercised.

Vente d'une option d'achat (call)

• Risque maximal: Infinité négative (BEP - S).
• Profit maximal: Prime.
• Illustration graphique:
  • La ligne rouge descend vers -∞ (infinité négative), car il n'y a pas de limite théorique au gain potentiel du l'acheteur de la call.

Vente d'une option de vente (put)

• Risque maximal: Très élevé (BEP - S).
• Profit maximal: Prime.
• Illustration graphique:
  • La ligne rouge descend vers -∞ (infinité négative), car il n'y a pas de limite théorique au gain potentiel du l'acheteur de la put.

Parité put-call

• Relation d'arbitrage entre les options et leurs actifs sous-jacents.

Notations et hypothèses

• Date t:
  • Option d'achat (call) européenne de prix d'exercice K avec expiration à T: C(t,T).
  • Option de vente (put) européenne de prix d'exercice K avec expiration à T: P(t,T).
  • Prix de l'action sous-jacente: S(t).
  • Taux d'intérêt sans risque (constant): r.
• Hypothèse: L'action ne distribue pas de dividendes pendant la durée de vie des options.

Exemple simple

• Janvier (t):

  • S(t) = 100.
  • Call européenne, T = 6 mois, K = 95, Prime C*(t,T) = 11.2.
  • Put européenne, T = 6 mois, K = 95, Prime P*(t,T) = 4.79.
  • r pour 6 mois = 3%.

• Observation: La valeur de l'option d'achat sur le marché est C(t,T) = 13. Cela signifie que la call est surévaluée.

Action d'arbitrage pour une option d'achat surévaluée

1. Vente de call +13.
2. Achat de put -4.79.
3. Achat d'action -100.

• Total: -91.79*

Nous devons emprunter ce montant.

• Prêt: -91.79 * exp(0.03 * 6/12) = -93.15*

Résultat de l'arbitrage:

Relation de parité à l'expiration

• À t: C(t,T) + K * e^(-r(T-t)) = S(t) + P(t,T).
• À T: C(T,T) + K = S(T) + P(T,T).

Application de la relation de parité à l'expiration

• Janvier (t): S(t) = 100.
• Option d'achat (call) européenne, T = 6 mois, prix d'exercice K = 95, prime: C*(t,T) = 11.2.
• Option de vente (put) européenne, T = 6 mois, prix d'exercice K = 95, prime: P*(t,T) = 4.79.
• Taux d'intérêt sans risque pour 6 mois = 3%.
• H1 - La valeur observée sur le marché est P = 7.*

1. Surévaluation/Sous-évaluation: Le put est surévalué.
2. Possibles situations d'arbitrage: Vendre le put, vendre l'action, acheter la call.
   • +7 + 100 - 11.2 = 95.8.
3. Valeur du portefeuille d'arbitrage à l'expiration: 95.8 * exp^(0.03*(180/360)) = 97.25.
4. Résultat de l'opération si S(T) = 103 à l'expiration: S>K, la call est exercée. -* Arbitrage result -95 + 97.25 = 2.25.
5. Résultat de l'opération si S(T) = 92 à l'expiration: S<K, la put est exercée. -* Arbitrage result -95 + 95.22 = 0.22.
6. Résultat de l'opération si S(T) = 87 à l'expiration: S<K, la put est exercée. -* Arbitrage result -95 + 94.20 = -0.80.
7. Résultat de l'opération si S(T) = 50 à l'expiration: S<K, la put est exercée. -* Arbitrage result -95 + 94.20 = -0.80.