Définition d'espace vectoriel

Définition 1 : Espace vectoriel

• Un espace vectoriel est un ensemble $E$ sur un corps $\mathbb{K}$, doté d'une addition ($E \times E \rightarrow E$) et d'une multiplication scalaire ($\mathbb{K} \times E \rightarrow E$).
• L'addition doit être associative : $(u + v) + w = u + (v + w)$.
• L'addition doit être commutative : $u + v = v + u$.
• Il doit exister un élément neutre additif $0 \in E$ tel que $u + 0 = u$.
• Chaque $u \in E$ doit avoir un inverse additif $-u \in E$ tel que $u + (-u) = 0$.
• La multiplication scalaire doit être compatible : $\lambda(\mu u) = (\lambda \mu)u$.
• La multiplication scalaire doit être distributive par rapport à l'addition dans $\mathbb{K}$ : $(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$.
• La multiplication scalaire doit être distributive par rapport à l'addition dans $E$ : $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$.
• L'élément neutre multiplicatif $1$ dans $\mathbb{K}$ doit satisfaire $1u = u$.
• Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs.

Définition 2 : Sous-espace vectoriel

• Un sous-espace vectoriel $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-ensemble de $E$ qui est lui-même un espace vectoriel.
• $F$ doit être non vide.
• $F$ est fermé sous l'addition : $u, v \in F$ implique $u + v \in F$.
• $F$ est fermé sous la multiplication scalaire : $\lambda \in \mathbb{K}$ et $u \in F$ implique $\lambda u \in F$.

Définition 3 : Combinaison linéaire

• Une combinaison linéaire des vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ est une expression de la forme $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +... + \lambda_n v_n$, où $\lambda_i \in \mathbb{K}$.

Définition 4 : Espace engendré

• L'espace engendré, noté $\text{span}(v_1, v_2,..., v_n)$, est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$.
• $\text{span}(v_1, v_2,..., v_n) = {\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +... + \lambda_n v_n \mid \lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_n \in \mathbb{K}}$.
• $\text{span}(v_1, v_2,..., v_n)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Définition 5 : Indépendance linéaire

• Les vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ sont linéairement indépendants si $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +... + \lambda_n v_n = 0$ implique $\lambda_1 = \lambda_2 =... = \lambda_n = 0$.
• Si cette condition n'est pas satisfaite, les vecteurs sont linéairement dépendants.

Définition 6 : Base

• Une base de $E$ est un ensemble de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ qui est à la fois linéairement indépendant et qui engendre $E$.
• Tout vecteur dans $E$ peut être écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.

Définition 7 : Dimension

• La dimension de $E$, notée $\text{dim}(E)$, est le nombre de vecteurs dans une base de $E$.
• Si $E$ a une base finie, $E$ est de dimension finie, sinon de dimension infinie.

Dictionnaires

• Sont également connus sous le nom de "tableaux associatifs", "tables de hachage" ou "cartes".
• Associent une clé à une valeur.
• Similaire à une liste, mais plus général.
• Les listes sont indexées par des entiers, les dictionnaires par des types immuables.
• Création avec { }.

Opérations Possibles sur les Dictionnaires

• Ajouter une entrée : monthNumbers['June'] = 6.
• Vérifier si une clé est dans le dictionnaire : 'Jan' in monthNumbers.
• Supprimer une entrée : del(monthNumbers['June']).
• Itérer : for key in monthNumbers: print(key, monthNumbers[key]).

Exemple de Dictionnaire

• On donne une liste d'étudiants avec leur nom et une liste de notes.
• L'objectif est de calculer un carnet de notes avec les noms comme clés et le score total comme valeurs.

Exemple: Comptage de Mots

• Objectif : compter la fréquence d'apparition de chaque mot dans un texte.

Complexité

• Listes:
  • L'indexation prend un temps constant.
  • La recherche est en O(len(L)).
• Dictionnaires:
  • La recherche prend (en moyenne) un temps constant!
  • (plus précisément, $O(c)$, où $c$ est la taille attendue d'un "compartiment").

Classes

• Permettent de créer des structures de données personnalisées.
• Utiles pour l'organisation des programmes.
• Utilisées pour la modularité, l'abstraction et la construction de hiérarchies.

Exemple : Hypothèques

• Une hypothèque est un prêt pour acheter une maison, avec un taux d'intérêt fixe et une durée fixe.
• Remboursement du capital (montant emprunté) plus les intérêts.
• Il est nécessaire de connaître le capital, le taux d'intérêt et la période d'une hypothèque.
• On souhaite effectuer des paiements, déduire le paiement du solde et voir si l'hypothèque est remboursée.

Premières Étapes

• L'objectif est de conserver la date pour chaque hypothèque.

Dedans __init__

• self fait référence à une instanciation de la classe.
• Toujours utiliser "self." pour référencer un attribut de données.
• La méthode __init__ s'exécute à chaque création d'un nouvel objet de type Mortgage.

Méthode pour calculer les paiements

• La fonction prend en compte les frais, le taux et les mois.

Méthode pour effectuer les paiements

• Méthode permettant d'effectuer un paiement.

Autres Méthodes

• D'autres méthodes telles que getTotalPaid(), getOutstanding(), getMonths() et getRate() sont incluses.

Définition de la Chimie

• La chimie est l'étude de la matière, de ses propriétés et de ses transformations.
• La matière est définie comme tout ce qui possède une masse et occupe un espace.
• Une propriété est une caractéristique distinctive d'un type de matière.

États de la Matière

• Solide : Forme et volume définis.
• Liquide : Volume défini, mais prend la forme du récipient.
• Gazeux : Ni forme ni volume définis.

Changements de la Matière

• Changements physiques : Altèrent l'apparence mais pas la composition (ex: glace qui fond).
• Changements chimiques : Transforment en nouvelles substances (ex: combustion du bois).

Classification de la Matière

• Substances pures : Composition fixe et propriétés définies.
  • Éléments : Ne peuvent être décomposés chimiquement (ex: or, oxygène).
  • Composés : Décomposables en éléments (ex: eau, sel).
• Mélanges : Combinaison de substances conservant leurs propriétés.
  • Homogènes : Composition uniforme (ex: eau salée, air).
  • Hétérogènes : Composition non uniforme (ex: sable et eau).

Séparation des Mélanges

• La filtration sépare un solide d'un liquide.
• La distillation sépare les liquides par leurs points d'ébullition.
• L'évaporation sépare un solide dissous dans un liquide.
• La chromatographie sépare les composants selon leur affinité.

Mesures en Chimie

• Système international d'unités (SI) : Système standard utilisé en science.
  • Longueur : mètre (m).
  • Masse : kilogramme (kg).
  • Temps : seconde (s).
  • Température : Kelvin (K).
  • Quantité de substance : mole (mol).

Chiffres Significatifs

• Les chiffres significatifs sont les chiffres connus avec certitude plus un incertain dans une mesure.
• Tout chiffre autre que zéro est significatif.
• Les zéros entre des chiffres sont significatifs.
• Les zéros à gauche ne sont pas significatifs.
• Les zéros à droite sont significatifs avec un point décimal.

Calculs Chimiques

• La masse atomique est la masse d'un atome en unités de masse atomique (uma).
• La masse moléculaire est la somme des masses atomiques dans une molécule.
• Une mole contient $6.022 \times 10^{23}$ entités (nombre d'Avogadro).
• La molarité (M) est les moles de soluté par litre de solution : $M = \frac{moles \ de \ soluto}{litros \ de \ solución}$.

Réactions Chimiques

• Une équation chimique représente une réaction : Reactifs → Produits.
• Le bilan des équations assure la conservation des atomes.
• La stœchiométrie étudie les proportions entre réactifs et produits.

Acides et Bases

• Un acide donne des ions hydrogène ($H^+$) dans l'eau.
• Une base les accepte.
• Le pH mesure l'acidité : pH < 7 (acide), pH = 7 (neutre), pH > 7 (basique).

Chimie Organique

• Chimie du carbone : étude des composés carbonés.
• Les Groupes fonctionnels (ex: alcool (-OH), acide carboxylique (-COOH)) confèrent des propriétés aux molécules.

Liaisons Chimiques

• Liaison ionique : transfert d'électrons pour former des ions.
• Liaison covalente : partage d'électrons.
  • Polaire : partage inégal.
  • Non polaire : partage égal.

Thermochimie

• L'énergie est la capacité d'effectuer un travail.
• L'enthalpie (H) mesure la chaleur échangée à pression constante.
  • Exothermique (ΔH < 0) : libère de la chaleur.
  • Endothermique (ΔH > 0) : absorbe de la chaleur.