Definite İntegraller

Definite Integrals

Definition

• A definite integral is a type of integral that has a specific upper and lower bound, denoted as ∫[a, b] f(x) dx
• It represents the total area between the curve of the function f(x) and the x-axis within the interval [a, b]

Properties

• Linearity: ∫[a, b] af(x) dx = a∫[a, b] f(x) dx
• Additivity: ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx
• Reversal: ∫[a, b] f(x) dx = -∫[b, a] f(x) dx

Fundamental Theorem of Calculus

• The definite integral can be evaluated using the antiderivative F(x) of the function f(x)
• ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
• This theorem allows us to compute definite integrals by finding the antiderivative and then evaluating it at the upper and lower bounds

Basic Definite Integrals

• Constant Multiple Rule: ∫[a, b] k dx = k(b - a)
• Power Rule: ∫[a, b] x^n dx = (b^(n+1) - a^(n+1)) / (n + 1)
• Exponential Rule: ∫[a, b] e^x dx = e^b - e^a

Applications

• Area Between Curves: definite integrals can be used to find the area between two curves
• Volume of Solids: definite integrals can be used to find the volume of solids by rotating a region around an axis
• Work and Energy: definite integrals can be used to calculate the work done by a force and the energy transferred

Belirli Integral

Tanım

• Belirli integral, [a, b] aralığı içinde f(x) fonksiyonunun x-ekseniyle arasındaki toplam alanı temsil eder
• Üst ve alt sınırı belirli bir integraldir, simgesi ∫[a, b] f(x) dx'dir

Özellikler

• ** Doğrusallık**: ∫[a, b] af(x) dx = a∫[a, b] f(x) dx
• ** Eklenme**: ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx
• ** Çevirme**: ∫[a, b] f(x) dx = -∫[b, a] f(x) dx

Kalkülüsün Temel Teoremi

• Belirli integral, f(x) fonksiyonunun birikimli fonksiyonu F(x) kullanarak hesaplanabilir
• ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
• Bu teorem, belirli integrali hesaplamak için birikimli fonksiyonunu bulmaya ve sınır değerlerini değerlendirmeye izin verir

Temel Belirli Integral

• ** Sabit Çarpan Kuralı**: ∫[a, b] k dx = k(b - a)
• ** Güç Kuralı**: ∫[a, b] x^n dx = (b^(n+1) - a^(n+1)) / (n + 1)
• ** Üstel Kural**: ∫[a, b] e^x dx = e^b - e^a

Uygulamalar

• ** Eğriler Arası Alan**: belirli integral, iki eğri arasındaki alanı bulmak için kullanılır
• ** Katıların Hacmi**: belirli integral, bir eksene göre bölgeyi döndürerek katıların hacmini bulmak için kullanılır
• ** İş ve Enerji**: belirli integral, bir güç tarafından yapılan iş ve enerji transferini hesaplamak için kullanılır

Definite integraller, üst ve alt sınırı olan bir integral türüdür. Bir funciónun eğrisi ve x-ekseni arasında belirli bir aralıkta alan hesaplanır.