Definición Formal del Límite de una Función

• La definición formal del límite de una función f(x) cuando x se acerca a c es igual a L si y solo si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si |x-c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε.

• La definición formal del límite se escribe en notación matemática como: lim (x→c) f(x) = L si y solo si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si |x-c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε.

• La definición formal del límite se utiliza para evaluar el comportamiento de una función alrededor de un punto c, sin considerar el valor de la función en ese punto.

• Un entorno de c es un intervalo abierto que contiene a c, y se representa como un radio δ > 0 que se centra en c.

• La palabra "existe" en la definición formal del límite se refiere a la existencia de un entorno de c, δ > 0, que hace que la función se acerque al límite L.

• La palabra "para todo" en la definición formal del límite se refiere a la universalidad de la condición, es decir, que se cumple para cualquier ε > 0.

• La desigualdad |x-c| < δ se refiere a la distancia entre x y c, que debe ser menor que δ para que se cumpla la condición.

• La desigualdad |f(x) - L| < ε se refiere a la distancia entre f(x) y L, que debe ser menor que ε para que se cumpla la condición.

• La definición formal del límite se conoce también como la definición ε-δ del límite, en honor al matemático francés Augustin-Louis Cauchy.

• La definición formal del límite fue dada por el matemático italiano Bernard Bolzano en 1817, y posteriormente refinada por el matemático alemán Karl Weierstrass.