6 Questions
Косинҝілердің қосындығы үшін кестедіктер күнделікті математика дайындаушыларын кайта пайдалануға мүмкіндікті қамтамасыз ету үшін қандай формула қолданылады?
Косинус формасы (Коңильденуші формасы)
Косинус айрықтар формасының анықтаушы формуласы қандай?
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \]
Кестедіктерде сандарды пайдалану арқылы тангенс функциясының айрықтар формасын табу мүмкін. Осының анықтаушы теоремасы қандай?
\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} \]
Синус айрықтар формасы кестедіктер үшін керекті. Бұл формула қалай анықталады?
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \]
Тангенс функциясының қосындығын табу үшін кестедіктерде негізгі кестедіктерге келесі теорема қолданылады:
\[ sec^2(x) - tan^2(x) = 1 \]
Кестедіктерде сандарды пайдалану арқылы синус функциясының айрықтар формасы және дифференциациялар мен косинус функциясының өзгерткіштер формасы арасында ережелер саласу:
\[ d(\sin x)/dx = cos x, d(\cos x)/dx = sin x \]
Study Notes
Cosine and Sine of Sums and Differences
In trigonometry, we can manipulate angles to find the cosine and sine of their sums and differences using the following formulas:
-
Sum of Angles for Cosine (Cotangent Form) [ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta ]
-
Difference of Angles for Cosine [ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta ]
-
Sum of Angles for Sine [ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta ]
-
Difference of Angles for Sine [ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta ]
These formulas are derived from the unit circle and the behavior of cosine and sine as horizontal and vertical projections of a point on the unit circle, respectively. You can find visual explanations of these formulas and their derivations in the work of Richard Hammack, which explores trigonometric functions in the context of complex numbers.
Tangent of Sum and Difference
The tangent function can be expressed in terms of the sum and difference formulas for sine and cosine.
-
Sum of Angles for Tangent [ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} ]
-
Difference of Angles for Tangent [ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} ]
These formulas can be derived by simply substituting the definitions of cosine, sine, and tangent, and then simplifying the expressions.
Explore the trigonometric formulas for finding cosine, sine, and tangent of the sums and differences of angles. Learn how to manipulate trigonometric functions using these formulas derived from the unit circle and complex numbers.
Make Your Own Quizzes and Flashcards
Convert your notes into interactive study material.
Get started for free
