Continuïteit van functies

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Wat kan worden gezegd over de functie f op het interval I = [a, b]?

f heeft zowel een minimum als een maximum in I. (correct)

f heeft geen minimum of maximum in I.

f is een lineaire functie.

f is niet continu in I.

Wat gebeurt er met de waarde van g binnen het interval I = [a, b]?

g is continu in het interval.

g heeft geen limiet binnen I.

g kan waarde bereiken tussen g(a) en g(b).

g is niet continu in het interval. (correct)

Wat kan worden afgeleid uit de stelling van Weierstrass?

De waarden van een continue functie zijn altijd positief.

Elke functie op een open interval heeft een maximum.

Een niet-continue functie kan een maximum en een minimum hebben.

Een continue functie op een gesloten interval heeft een maximum en een minimum. (correct)

Welke uitspraak is waar over de tussenwaarde stelling?

Elke waarde tussen f(a) en f(b) wordt ten minste eenmaal bereikt. Signup and view all the answers

Wat houdt het begrip infimum in in relatie tot de functie f op het interval I?

Het infimum is een lager grens waar f nooit onder komt. Signup and view all the answers

Wat krijg je als je de grafiek van een functie f spiegelt om de eerste bissectrice?

De inverse functie van f Signup and view all the answers

Wanneer vertoont de grafiek van de inverse functie een onderbreking?

Als er een discontinuïteit is in het punt (a,b) Signup and view all the answers

Welke functies worden als continue functies beschouwd?

Veeltermfuncties, rationale functies en irrationale functies Signup and view all the answers

Wat is een kenmerk van veeltermfuncties met betrekking tot continuïteit?

Ze zijn continu in elk element van hun domein Signup and view all the answers

Wat stelt de tussenwaardestelling voor?

Dat een tussenliggende waarde altijd bereikt wordt in een interval Signup and view all the answers

Wat is een eigenschap van rationale functies met betrekking tot continuïteit?

Ze zijn continu in elk element van hun domein Signup and view all the answers

Welke van de volgende beweringen over continuïteit is juist?

Hoeveelvoudige wortelfuncties zijn continu Signup and view all the answers

Bij welke bewerking blijft de continuïteit van functies behouden?

Bij het optellen van continue functies Signup and view all the answers

Welke functie is continu op de punt 2?

f: y = x^2 Signup and view all the answers

Wat is de nulwaarde van de functie f(x) = x^3 + 4x^2 - x + 5?

1,179 Signup and view all the answers

Wat wordt bedoeld met de methode van regula falsi?

Een methode die sneller is dan de methode van Bolzano. Signup and view all the answers

Welk van de volgende stellingen is correct over continuïteit?

Een functie is continu in een punt als de linker- en rechterlimiet gelijk zijn aan de functiewaarde. Signup and view all the answers

Wat is het domein van de functie f: y = ax + 4 als x < -2?

x < -2 Signup and view all the answers

Welke van de volgende functies is discontinu op het punt x = -2?

f: y = ax + 4 als x < -2 Signup and view all the answers

Welke uitspraak is waar over de functie f(x) = x^3 - 2x^2 + 7?

Het heeft slechts één nulwaarde. Signup and view all the answers

Wat is de uitgebreide vorm van de nulwaarde van de functie bij benadering?

1,179 Signup and view all the answers

Wat moet er bewezen worden om de continuïteit van de samengestelde functie $g(f(x))$ aan te tonen?

Voor elke $ ext{e}$ is er een $ ext{d}$ zodanig dat $|(g ext{f})(x) - (g ext{f})(a)| < ext{e}$. Signup and view all the answers

Welke voorwaarde is NIET nodig voor $f(x)$ om continu te zijn in $a$?

De functie $f(x)$ moet differentieerbaar zijn in $a$. Signup and view all the answers

Wat kan worden afgeleid als $g$ continu is in $b = f(a)$?

Voor elke $ ext{e}$ geldt dat er een $ ext{d}$ bestaat zodanig dat $|g(u) - g(b)| < ext{e}$. Signup and view all the answers

Wat stelt de stelling over de continuïteit van samengestelde functies?

$g(f(x))$ is continu als $f$ en $g$ beide continu zijn. Signup and view all the answers

Bij het bewijzen van de continuïteit van de functie $g(f(x))$ moet men onder andere het volgende bewijzen:

Dat het domein van $g$ alle waarden van $f$ omvat. Signup and view all the answers

Wat is de betekenis van de notatie $|f(x) - f(a)| < ext{d}$ binnen het bewijs?

Dit geeft aan dat de waarde van $f(x)$ dichter bij $f(a)$ komt naarmate $x$ dichter bij $a$ komt. Signup and view all the answers

Waarom is het noodzakelijk om de relatie tussen $ ext{e}$ en $ ext{d}$ op te stellen in het bewijs?

Om de continuïteit als een noodzakelijke voorwaarde te bewijzen. Signup and view all the answers

Wat is de belangrijkste reden waarom de functie $g$ continu moet zijn in $b = f(a)$?

Omdat $g(f(x))$ definitief een waarde moet hebben als $x$ naar $a$ gaat. Signup and view all the answers

Wat betekent het dat een functie continu is in een punt a?

Er is een eenduidige en eindige functiewaarde in a. Signup and view all the answers

Wanneer is een functie discontinu in een punt a?

Wanneer de grafiek van de functie een sprongetje vertoont in a. Signup and view all the answers

Is de functie $f_1 : y = \frac{1}{3}x^3 - x + 2$ continu in haar domein?

Ja, want het is een polynoomfunctie. Signup and view all the answers

Wat is de verzameling van punten waarin de functie $f_2 : y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ discontinu is?

{1} Signup and view all the answers

Voor de functie $f_4$ geldt dat zij continu is in alle punten van haar domein. Wat is het domein van $f_4$?

Alle reële getallen behalve 1. Signup and view all the answers

Wat betekent het dat een functie discontinu is in een punt a?

De functiewaarde is gedefinieerd, maar er is een sprongetje. Signup and view all the answers

Wat is een kenmerk van de functies $f_5$ en $f_6$?

Beide functies hebben een sprongetje op $x=1$. Signup and view all the answers

Zijn alle functies continu in alle punten van hun domein?

Nee, sommige hebben discrete sprongetjes. Signup and view all the answers

Study Notes

Continu in een punt

Een functie f is continu in een punt a van het domein van de functie f als er een eenduidige en eindige functiewaarde in a bestaat en de grafiek van f geen sprong vertoont in het punt a.

Discontinu in een punt

Een functie f is discontinu in een punt a van het domein van de functie f als er een eenduidige en eindige functiewaarde in a bestaat en de grafiek van f een sprong vertoont in het punt a.

Voorbeelden

De functie f1: y = (1/8)x³ - (3/2)x² + 2 is continu op haar domein.
De functie f2: y = (2x - 1) / (x - 1) is discontinu in x = 1.
De functie f3: y = 2x² als x ≤ 1 en y = x² - 2x + 3 als x > 1 is discontinu in x = 1.
De functie f4: y = 2x² als x ≤ 1 en y = x² - 2x + 4 als x > 1 is continu op haar domein.
De functie f5: y = 2x² als x < 1 en y = x² - 2x + 3 als x > 1 is discontinu in x = 1.
De functie f6: y = 2x² als x < 1 en y = x² - 2x + 4 als x > 1 is continu op haar domein.

Continuïteit van algebraïsche functies

Veeltermfuncties zijn continu in elk element van hun domein.
Rationale functies zijn continu in elk element van hun domein.
Irrationale functies zijn continu in elk element van hun domein.

Stelling van Weierstrass

De stelling van Weierstrass zegt dat er in een gesloten interval [a, b] waarvoor de functie f continu is, zowel een minimum als maximum bereikt wordt.

Tussenwaardestelling

De tussenwaardestelling zegt dat in een interval [a, b] waarvoor de functie f continu is, elke getalwaarde tussen f(a) en f(b) ten minste eenmaal bereikt wordt.

Bewijs van de stelling van Weierstrass

Het bewijs van de stelling van Weierstrass wordt gedaan met behulp van de hoofdstelling.

Tussenwaardestelling voor functies

De tussenwaardestelling kan gebruikt worden om de inverse functie te bewijzen.