Adam

Matriz de Confusão

• A matriz de confusão é uma tabela que resume o desempenho de um modelo de classificação, exibindo o número de previsões corretas e incorretas, discriminadas por classe.

Estrutura da Matriz

• Apresenta uma tabela com "Predito Positivo" e "Predito Negativo" nas colunas, e "Real Positivo" e "Real Negativo" nas linhas.
• Verdadeiro Positivo (VP) representa quando o modelo previu corretamente a classe positiva.
• Falso Positivo (FP) representa quando o modelo previu incorretamente a classe positiva (Erro Tipo I).
• Verdadeiro Negativo (VN) representa quando o modelo previu corretamente a classe negativa.
• Falso Negativo (FN) representa quando o modelo previu incorretamente a classe negativa (Erro Tipo II).

Métricas de Avaliação

• Acurácia é calculada por $\frac{VP +VN}{VP + VN + FP + FN}$.
• Precisão é calculada por $\frac{VP}{VP + FP}$.
• Recall (Sensibilidade) é calculada por $\frac{VP}{VP + FN}$.
• F1-Score é calculado por $\frac{2 * Precisão * Recall}{Precisão + Recall}$.

Exemplo Prático Detecção de Fraude:

• Acurácia: (90 + 995) / (90 + 995 + 5 + 10) = 0.995
• Precisão: 90 / (90 + 5) = 0.947
• Recall: 90 / (90 + 10) = 0.90
• F1-Score: 2 * 0.947 * 0.90 / (0.947 + 0.90) = 0.923

Matriz

• Matriz é um esquema retangular de números (reais ou complexos) organizados em linhas e colunas.
• Uma matriz com duas linhas e três colunas é uma matriz de tipo $2 \times 3$.
• Os números em uma matriz são chamados de elementos, o elemento na posição $(i, j)$ é indicado por $a_{ij}$, onde $i$ é o índice da linha e $j$ o da coluna.
• Matrizes são designadas por letras maiúsculas, exemplos: $A, B, C$.

Operações Aritméticas

• Adição: duas matrizes $A$ e $B$ do mesmo tipo podem ser adicionadas, sendo a soma $C = A + B$ definida como $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
• Multiplicação por escalar: uma matriz $A$ pode ser multiplicada por escalar $k$, sendo o produto $C = kA$ definido como $c_{ij} = ka_{ij}$.
• Multiplicação de matrizes: o produto de duas matrizes $A$ e $B$ é definido se o número de colunas em $A$ for igual ao número de linhas em $B$. Se $A$ for $m \times n$ e $B$ for $n \times p$, a matriz produto $C = AB$ tem tipo $m \times p$ e os elementos em $C$ são definidos por: $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$.
• Transposição: o transposto da matriz $A$ é indicado por $A^T$ e é obtido trocando linhas por colunas. Se $A$ for de tipo $m \times n$, então $A^T$ será de tipo $n \times m$ e os elementos em $A^T$ são definidos por: $(A^T){ij} = a{ji}$.

Tipos Especiais

• Matriz Quadrada: o número de linhas é igual ao número de colunas.
• Matriz identidade: matriz quadrada com uns na diagonal e zeros nas demais posições, é denotada por $I$. $AI = IA = A$.
• Matriz nula: todos os elementos são iguais a zero, denotada por $0$.
• Matriz Inversa: deve satisfazer $AB = BA = I$, sendo a matriz $B$ a inversa de $A$ e denotada por $A^{-1}$.
• Determinante: ordenar para uma matriz quadrada $A$ um número, o determinante de $A$ é indicado como det $A$ ou $|A|$. O determinante pode ser usado para determinar se uma matriz é invertível. A matriz é invertível se, e somente se, o seu determinante seja diferente de zero.

Estatística Descritiva

• Ramo da estatística que coleta, organiza, apresenta e analisa dados de forma informativa.

Tipos de Estatística Descritiva

• Medidas de tendência central: indicam o valor típico ou central de um conjunto de dados (média, mediana e moda).
• Medidas de dispersão: medem a variabilidade ou dispersão dos dados (desvio padrão, variância e intervalo).
• Gráficos: permitem visualizar os dados (histogramas, diagramas de barras, diagramas de setores e diagramas de dispersão).

Aplicações

• Usada em pesquisa de mercados, finanças, saúde, educação e ciências sociais para analisar dados.

Medidas de Tendência Central

• Média: o valor médio dos dados, calculado somando todos os valores e dividindo pelo número total de dados.
• Mediana: o valor central dos dados ordenados do menor para o maior; se houver um número par de dados, a mediana é a média dos dois valores centrais.
• Moda: o valor que aparece com mais frequência no conjunto de dados.

Medidas de Dispersão

• Intervalo: diferença entre o valor máximo e o valor mínimo.
• Variância: média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
• Desvio padrão: raiz quadrada da variância.

Gráficos

• Histograma: gráfico de barras que exibe a distribuição de frequência dos dados.
• Diagrama de barras: comparação das frequências de diferentes categorias.
• Diagrama de setores: gráfico circular que mostra a proporção de cada categoria.
• Diagrama de dispersão: relação entre duas variáveis.

Álgebra Linear

• Espaço vetorial: conjunto $E$ com operações de adição ($+: E \times E \rightarrow E$) e multiplicação por escalar ($\cdot : K \times E \rightarrow E$).
• Combinação linear: expressão da forma $\alpha_1 v_1 +... + \alpha_n v_n$, onde $\alpha_1,..., \alpha_n \in K$.
• Subespaço vetorial: subconjunto de um espaço vetorial que é estável pela adição e multiplicação por um escalar.
• Família livre (linearmente independente): a única combinação linear que dá o vetor nulo é quando todos os coeficientes são nulos.
• Família geradora: qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
• Base: família de vetores simultaneamente livre e geradora; o número de elementos é a dimensão do espaço.

Aplicações Lineares

• Preservam as operações de adição ($f(u + v) = f(u) + f(v)$) e multiplicação por um escalar ($f(\alpha v) = \alpha f(v)$).
• Núcleo: conjunto de vetores enviados para o vetor nulo: $ker(f) = {v \in E \mid f(v) = 0}$.
• Imagem: conjunto de vetores atingidos: $im(f) = {f(v) \mid v \in E}$.
• Teorema do posto: $dim(E) = dim(ker(f)) + dim(im(f))$.

Matrizes

• Tabela de números com $m$ linhas e $n$ colunas, podendo ser somadas, multiplicadas por escalar, e multiplicadas entre si, esta última se as dimensões forem compatíveis.
• Determinante: número que indica se a matriz é invertível.
• Traço: soma dos elementos diagonais.
• Autovalores: escalares $\lambda$ tais que $A v = \lambda v$ para algum vetor não nulo $v$ (autovetor).

Produto Escalar e Ortogonalidade

• Produto escalar: $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \rightarrow K$ que satisfaz linearidade e simetria.
• Norma: $|v| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$.
• Ortogonalidade: produto escalar nulo.
• Base Ortonormal: vetores ortogonais de norma 1.

Espaços Euclidiano e Hermitiano

• Euclidiano: espaço vetorial real de dimensão finita com produto escalar.
• Hermitiano: espaço vetorial complexo de dimensão finita com produto escalar hermitiano.

Redução de Endomorfismos

• Endomorfismo: aplicação linear de um espaço vetorial nele mesmo.
• Autovetores: $x$ é autovetor de $u$ associado a $\lambda$ se $u(x) = \lambda x$.
• Subespaço próprio: $E_\lambda = {x \in E \mid u(x) = \lambda x}$.
• Polinômio Característico: $P_u(\lambda) = det(u - \lambda Id)$.

Proof of the Main Theorem

• Given $f: X \rightarrow Y$ is continuous, where $X$ is compact and $Y$ is Hausdorff, then $f$ is a closed map.
• Let $A \subset X$ be closed. Since $X$ is compact, $A$ is compact. Since $f$ is continuous, $f(A) \subset Y$ is compact. Since $Y$ is Hausdorff, $f(A)$ is closed. Thus, $f$ is a closed map.

Dynamic Programming - Quotient Topology

• Let $f: X \rightarrow A$ be a surjective map and define a topology on $A$ by declaring $U \subset A$ to be open if and only if $f^{-1}(U) \subset X$ is open.
• Surjective continuous map implies quotient map if and only if for all topological spaces $Z$ and all maps $g: Y \rightarrow Z$, $g$ is continuous if and only if $g \circ f: X \rightarrow Z$ is continuous.

Relação Binária

• Correspondência entre dois conjuntos $A$ e $B$: $R \subseteq A \times B = {(a, b) \mid a \in A \land b \in B}$.
• Se $(a, b) \in R$, dizemos que $a$ está relacionado com $b$ via $R$, denotado por $aRb$.
• Domínio: $\text{Dom}(R) = {a \in A \mid \exists b \in B: (a, b) \in R}$.
• Intervalo: $\text{Rang}(R) = {b \in B \mid \exists a \in A: (a, b) \in R}$.

Métodos de Representação

• Conjunto de pares ordenados, tabelas, diagramas de flechas e matrizes.

Propriedades

• Reflexiva, irreflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.

Tipos

• Relação de Equivalência: Reflexiva, simétrica e transitiva.
• Relação de Ordem: Reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Dynamic Programming

Fibonacci Numbers

• Defined as $F(0) = 0$, $F(1) = 1$, and $F(n) = F(n-1) + F(n-2)$.
• Inefficient recursive algorithm takes $O(2^n)$ time.

Memoization

• Improves efficiency by storing previously computed values, achieving $O(n)$ time complexity.

Dynamic Programming

• Uses iterative approach with array storing intermediate results, achieving $O(n)$ time complexity and $O(n)$ space complexity.

Space Optimization

• Reduces space complexity to $O(1)$ by only storing the two most recent Fibonacci numbers.

Longest Common Subsequence

• Finding the longest subsequence common to two strings X and Y.
• Dynamic programming approach defines c[i, j] as the length of the LCS of $X[1..i]$ and $Y[1..j]$.
• Runs in $O(mn)$ time.

Heat Capacities

• Heat capacity, $C = \frac{q}{\Delta T}$, is the heat required to raise the temperature of a substance by 1K.
• Molar heat capacity, $C_m = \frac{C}{n}$.
• Specific heat capacity, $c_s = \frac{C}{m}$.
• Therefore, $q = nC_m\Delta T = mc_s\Delta T$. Dependence on Conditions:
  • $C_v$ is at constant volume.
  • $C_p$ is at constant pressure.
  • $C_p > C_v$ (Gases), $C_p \approx C_v$ (Solids and Liquids)
• $C_v = \frac{3}{2}R$ (Monatomic gas), $C_v = \frac{5}{2}R$ (Diatomic gas)
• $C_p = C_v + R$ (Ideal gas)
• Calorimetry: measure of heat flow ($q_p = \Delta H$ or $q_v = \Delta U$).
• Coffee-cup calorimeter: constant pressure and Bomb calorimeter: constant volume.
  • $q_{cal} = C_{cal}\Delta T$
  • $q_{rxn} = -q_{cal}$

Partial Differential Equations (PDEs)

• ODE: Unknown is a function of a single variable.
• PDE: Unknown is a function of several variables.
• Examples: Viscous Burger's Equation, Non-linear Conservation Law, Heat Equation, Wave Equation, Laplace's Equation.

General Form

• $F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}) = 0$

Order

• Determined by the highest order derivative.

Linearity

• A PDE is linear if $F$ is a linear function of $u$ and all its derivatives.

Homogeneous

• If $f(x,y) = 0$, then the PDE is homogeneous.