Concepts de base de la probabilité

Concepts de base de probabilité

• Événement : Sous-ensemble de résultats possibles d'une expérience.
• Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude.
• L'étude des probabilités s'applique dans des domaines variés, incluant la biologie et la médecine.
• Cet outil permet de calculer la sensibilité, la spécificité et les valeurs prédictives des tests de dépistage.
• L'objectif de ce chapitre est de présenter les concepts de base de la probabilité et les lois utilisées.

Ensemble fondamental

• L'ensemble fondamental (Ω) est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire (ℇ).
• Tout sous ensemble de Ω est un événement.
• L'intersection (conjonction) de A et B (𝐴 ∩ 𝐵) se produit si A et B se produisent simultanément.
• Soit 𝜔 ∈ Ω, un résultat possible est caractérisé par l’expérience.

Rappel des opérations sur les événements

• Deux événements A et B sont incompatibles si la réalisation de l'un exclut la réalisation de l'autre (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅).
• Deux événements A et B sont incompatibles ou mutuellement exclusif, si A et B ne peuvent pas se produire en même temps.
• (𝐴 ⊂ 𝐵) ou A implique B (𝐴 ⇒ 𝐵), l’événement A ne peut être réalisé sans que B le soit, si A est inclu dans B.
• A ∪ B se produit si A ou B se produit, ou les deux, dans ce cas A et B ne sont pas mutuellement exclusifs.
• Soit 𝐴̅, un événement complémentaire (ou contraire), l’évènement réalisé lorsque A ne se réalise pas.

Définition et bases de la probabilité

• L'événement certain est toujours réalisé (Ω), et son contraire est l'événement impossible (∅) ; P(Ω) = 1 et 𝑃(∅) = 0.
• La probabilité P est une application de C dans [0, 1] sur l'ensemble (Ω, C).
• 𝑃(∪ 𝐴𝑖) = Σ P(𝐴𝑖) pour des événements incompatibles.
• La probabilité de la réalisation de A est notée par 𝑃(𝐴).
• En termes simples, 𝑃(𝐴) fait référence à la fréquence de réalisation de A sur de nombreuses expériences aléatoires.
• (Ω, C, Pr) est un espace probabilisé, où P est une mesure positive de masse totale 1.
• La probabilité de l'événement contraire de A est 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴).
• P(A) ≤ P(B) si A ⊂ B.
• 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) : loi d'addition de probabilité.
• 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) si A et B sont deux évènements incompatibles.

Définition classique de la probabilité

• La probabilité de réaliser l'événement A si une expérience aléatoire a N résultats possibles et n cas favorables est: 𝑃(𝐴) = 𝑛/𝑁.

Indépendance et probabilités conditionnelles

• Les événements A et B sont indépendants si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) ; la réalisation de A n'est pas affectée par celle de B.
• Si P(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ P(𝐴) × P(𝐵) A et B sont dépendants, la probabilité de réalisation de A change selon que B est réalisé ou non.
• Dans le cas de deux évènements A et B avec P(B) ≠ 0, la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé est 𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐵).

Théorème de Bayes

• La formule de Bayes est définie comme suit: 𝑃(𝐴𝑖/𝐵)= 𝑃(𝐵⁄𝐴𝑖) × 𝑝(𝐴𝑖) / 𝑃(𝐵⁄𝐴1 ) × 𝑝(𝐴1) + 𝑃(𝐵⁄𝐴2) × 𝑝(𝐴2) + …𝑃(𝐵 ⁄ 𝐴𝑛) × 𝑝(𝐴𝑛)
• Le théorème de Bayes est appliquée dans le domaine des sciences de la santé pour évaluer les tests de dépistage et les critères de diagnostic des maladies.

Applications

• Les variables aléatoires servent à évaluer les données des tests et des symptômes pour déterminer d’un sujet.
• Évaluer un sujet atteint ou non de la maladie a des probabilités dans le résultat du test positif et un résultat négatif.
• Compte tenu d'un test de dépistage positif (ou de la présence d'un symptôme), pour évaluer un test de dépistage négatif.
• Répartir un échantillon de N sujets permet entre la maladie et le résultat du test de dépistage.

Mesures clés pour évaluer les tests

• Sensibilité: 𝑃(𝑇 + /𝑀) est la probabilité que le test soit positif si la personne est malade a/a+c.
• Spécificité: 𝑃(𝑇–/ 𝑀) est la probabilité que le test soit négatif si la personne n'est pas malade. d/b+d.
• Valeur prédictive positive (PV+ ): 𝑃(𝑀/𝑇+) indique la probabilité que le test soit positif. a/(a+b).
• La valeur prédictive négative (PV−): 𝑃(𝑀̅ /𝑇 − ) donne la probabilité d'être sain lorsque le test est négatif. d/(c+d).

Variable aléatoire

• Une variable aléatoire est une fonction qui attribue des valeurs numériques aux événements de l'espace fondamental. 𝑋: Ω ⟶ ℝ.
• Différents événements de l’espace fondamental caractérisent une variable aléatoire (X).
• Deux types de variables aléatoires : discrètes et continues.

Variables aléatoires discrètes

• Une variable aléatoire qui ne peut prendre qu’une quantité dénombrable de valeurs est dite discrète.
• La fonction de masse caractérise une variable aléatoire discrète X, l’ensemble des valeurs possibles étant dénombrable (fini ou infini).
• La loi de probabilité vérifie: 0 ≤ 𝑃𝑋 = 𝑥𝑖 ≤ 1 et ∑ P(X = xᵢ) = 1. -La fonction de répartition 𝐹𝑋 donne la probabilité que X prenne une valeur inférieure à x.
• Espérance mathématique : 𝐸𝑋 la somme des valeurs possibles pondérées par leurs probabilités 𝐸𝑋 =∑ 𝑋𝑖 𝑃(𝑋=𝑥𝑖)

Variables aléatoires continues

• Une variable aléatoire dite continue si elle peut prendre dans l’intervalle ℜ.
• Dans le cas d'une variable aléatoire continue, la probabilité pour un xi est nulle: 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0 Vx.
• La fonction de répartition d'une loi continue 𝐹𝑋 est continue
• L'espérance mathématique se calcule avec l'intégrale sur ℜ 𝐸𝑋 =∫𝑥 𝑓𝑋xdx
• La notion de variance se généralise 𝑉𝑋=∫𝑥2𝑓𝑋(x)dx−𝐸𝑋2.

Lois de probabilité

• Une loi de Bernoulli représente une épreuve à deux issues (succès avec probabilité p, échec avec probabilité q=1-p).
• Une loi binomiale décrit le nombre de succès rencontré après n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli.
• Une loi de poisson quand on compte le nombre d’évènements arrivant par unité de temps
• Elle a des applications dans le domaine des files d'attentes
• La loi normale caractérise une variable aléatoire continue.

Loi de Poisson

• La loi de Poisson est une loi discrète caractérisée par un paramètre λ représentant l’intensité de fréquence, soit le nombre moyen d'occurrences par unité de temps du processus.

Propriétés de la loi de Poisson

• Variable aléatoire associée à une épreuve où les événements sont rares
• 𝑋 prend les valeurs entières positives. 𝑃𝑋=𝑘 =𝑒−λλ𝑘 /k!
• L’espérance mathématique de cette loi est 𝐸𝑋=λ
• La variance de cette loi est 𝑉𝑋=λ aussi