Conceptos básicos de probabilidad

• La probabilidad es una rama de las matemáticas enfocada en la posibilidad de que ocurran sucesos.
• Se define como la relación entre casos favorables y casos posibles, asumiendo que todos los casos tienen la misma probabilidad de ocurrir.
• Es esencial en la vida diaria y diversas disciplinas como estadística, física cuántica, genética, finanzas, seguros e inteligencia artificial.

Probabilidad de Eventos

• Un evento es cualquier conjunto de resultados que pueden darse al realizar un experimento aleatorio.
• Calcular la probabilidad de un evento A se hace con la fórmula: P(A) = (Número de casos favorables) / (Número de casos posibles).
• La probabilidad siempre se encuentra entre 0 y 1, donde 0 es imposibilidad y 1 es certeza, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

Tipos de Eventos

• Un evento simple tiene un único resultado posible
• Un evento compuesto consiste en múltiples eventos simples; estos se pueden expresar como la unión de eventos simples, facilitando el cálculo de probabilidades.
• Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo
• Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B es: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Espacio Muestral

• El espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
• Debe ser exhaustivo e incluir todos los resultados posibles.
• Cada elemento debe ser mutuamente excluyente donde no pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplos de Espacios Muestrales

• Al lanzar una moneda, el espacio muestral es Ω = {cara, cruz}; es un espacio muestral finito con dos resultados y una probabilidad de 1/2 (50%) para cada uno.
• Para un dado de seis caras, el espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; cada número tiene una probabilidad de 1/6 (aproximadamente 16,67%).
• Al extraer una carta de una baraja de 52, el espacio muestral tiene 52 elementos y la probabilidad de extraer una carta específica es 1/52 (aproximadamente 1,92%).

Ocurrencia de Eventos

• La ocurrencia se refiere a la realización de un resultado específico en un experimento aleatorio.
• Todo evento es un subconjunto del espacio muestral.
• Para verificar si un evento ha ocurrido, se comprueba si el resultado está incluido en el conjunto que define el evento.

Frecuencia Relativa y Probabilidad

• La frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un evento específico en un experimento.
• La frecuencia relativa es la proporción entre la frecuencia absoluta y el número total de repeticiones del experimento.
• La frecuencia relativa tiende a aproximarse a la probabilidad real cuando se repite un experimento muchas veces, un principio conocido como la Ley de los Grandes Números.

Permutaciones

• Se define como un arreglo ordenado de elementos, representa las distintas formas de ordenar un conjunto de elementos donde el orden importa.
• El número de permutaciones de r elementos tomados de un conjunto de n se calcula como: P(n,r) = n! / (n-r)!, donde n! es el factorial de n.

Ejemplos de Permutaciones

• Hay 120 formas de ordenar 5 libros en un estante; P(5,5) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
• Se pueden formar 720 palabras con las letras de "MATRIZ"; P(6,6) = 6! = 720.
• Se pueden formar 5040 códigos PIN de 4 dígitos (sin repetir) de 10 números; P(10,4) = 10! / 6! = 5040.
• En una carrera de 8 atletas, hay 336 formas de distribuir las medallas; P(8,3) = 8! / 5! = 336.

Combinaciones

• La combinación selecciona elementos sin importar el orden
• Se relaciona con las Permutaciones así: C(n,r) = P(n,r) / r!
• Se calcula con la fórmula: C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)

Ejemplos de Combinaciones

• Se pueden formar 120 comités distintos de 3 estudiantes en una clase de 10; C(10,3) = 120.
• Hay 2.598.960 manos posibles al elegir 5 cartas de una baraja de 52; C(52,5) = 2.598.960.

Diagramas de Árbol

• Un diagrama de árbol muestra todos los resultados posibles de un experimento secuencial
• Cada rama es una decisión o resultado, y se extiende para mostrar todas las posibilidades.
• Ayudan a identificar y calcular probabilidades compuestas en experimentos secuenciales.
• Para construirlo es necesario identificar y dibujar todas las etapas del experimento, asignar probabilidades a cada rama y multiplicar las probabilidades a lo largo de cada ruta.

Axiomas de Probabilidad

• Axioma de No-Negatividad: La probabilidad de cualquier evento A nunca es negativa; 0 ≤ P(A)
• Axioma de Acotación: La probabilidad de cualquier evento A nunca excede 1; P(A) ≤ 1.
• Axioma de Normalización: La probabilidad del espacio muestral Ω es exactamente 1; P(Ω) = 1.
• Axioma de Aditividad: Para eventos mutuamente excluyentes A y B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Independencia en Probabilidad

• Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia del uno no afecta la probabilidad del otro; P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• Para verificar la independencia, se comprueba si P(A|B) = P(A) o P(B|A) = P(B).
• En el caso de tres o más eventos, cada par debe ser independiente y P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B) × P(C), y así sucesivamente.

Ejemplos de Eventos Independientes

• En lanzamientos simultáneos de un dado y una moneda, P(5 ∩ Cara) = (1/6) × (1/2) = 1/12.
• En extracciones con reemplazo de cartas, P(As ∩ As) = (4/52) × (4/52) = 1/169.
• En una lotería con reemplazo, P(3 bolas rojas) = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027.

Probabilidad Condicional

• La probabilidad condicional P(A|B) representa la probabilidad de que ocurra A, si ya ocurrió B y se calcula con P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), donde P(B) > 0.
• Muestra cómo la probabilidad de un evento cambia al saber información adicional sobre otro evento relacionado.
• Si A y B son independientes, P(A|B) = P(A); es decir, conocer B no cambia la probabilidad de A.

Ejemplos de Probabilidad Condicional

• En meteorología, la probabilidad de lluvia dado que hay nubes (P(Lluvia|Nubes) = 0,7) es mayor que la probabilidad sin nubes.
• En medicina, si una persona da positivo en una prueba (P(Enfermedad|Test positivo) = 0,85), la probabilidad de que tenga la enfermedad es del 85%.

Teorema de Bayes

• Este teorema relaciona la probabilidad condicional de un evento con su inversa; P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B).
• Permite actualizar creencias iniciales a la luz de nueva evidencia, obteniendo probabilidades a posteriori.
• Cuando hay múltiples causas posibles (A₁, A₂,..., Aₙ), el denominador se expande como P(B) = P(B|A₁) × P(A₁) + P(B|A₂) × P(A₂) + ... + P(B|Aₙ) × P(Aₙ).

Aplicaciones del Teorema de Bayes

• Permite calcular la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad dado un resultado positivo o negativo en una prueba diagnóstica..
• Filtros de spam que aprenden a identificar correos no deseados.

Ejemplo Detallado del Teorema de Bayes

• Ejemplo de una prueba médica con sensibilidad del 95% y especificidad del 90% para una enfermedad con prevalencia del 1%.
• Aplica la estadística bayesiana para hallar, dado que una persona dio positivo ¿Cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
• Aplicando las fórmulas y datos, se concluye que la probabilidad de estar realmente enfermo, incluso con un test positivo, es de aproximadamente 8.8%

Resumen de Conceptos Clave

• El espacio muestral contiene todos los posibles resultados, y los eventos son subconjuntos de este.
• Se puede calcular mediante la definición clásica, frecuentista o axiomática, y siempre está entre 0 y 1.
• La independencia de eventos ocurre cuando la ocurrencia de uno no afecta al otro.
• Las permutaciones y combinaciones son técnicas para contar resultados posibles en problemas complejos.

Aplicaciones Prácticas de la Probabilidad

• Utilizada en finanzas y seguros para evaluar riesgos y tomar decisiones de inversión.
• Los científicos utilizan en el diseño experimental y en la interpretación de resultados.
• Aplica en ingeniería y control de calidad para evaluar la fiabilidad de sistemas y componentes
• Los algoritmos de aprendizaje automático utilizan conceptos probabilísticos para clasificación y toma de decisiones

Conclusión y Recursos Adicionales

• La teoría de la probabilidad proporciona un marco riguroso para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.
• Desarrolla habilidades de pensamiento crítico para evitar falacias e interpretar información estadística.