Concept de Nombre

Objectifs du Cours

• Acquérir des connaissances fondamentales sur les concepts de base.
• Comprendre les processus et stratégies utilisés dans le traitement numérique.
• Acquérir des repères de développement.
• Comprendre les mécanismes à l'origine de la flexibilité mentale.

Éléments de Contenu et Approches Théoriques

• Développement du concept de nombre.
• Procédures de quantification.
• Apprentissage de la chaîne numérique et du dénombrement.
• Représentation sémantique du nombre.
• Système numérique.
• Opérations arithmétiques.
• Développement des concepts d'espace et de temps.
• Modes de raisonnement dans la cognition mathématique.
• Processus cognitifs impliqués dans la résolution de problèmes.
• Résolution de problèmes arithmétiques et algébriques.
• Autres facteurs influençant la résolution de problèmes.

Introduction à la Notion de Nombre

• La question « Qu'est-ce qu'un nombre ? » peut paraître dénuée de sens si elle n'est pas précisée (langue commune vs. mathématiques).
• Le 'piège' de la question réside dans la nécessité de spécifier le contexte linguistique.

Types de Nombres

• Dans le langage courant, les nombres sont utilisés pour quantifier (« nombres-de », entiers naturels).
• En mathématiques, les nombres (numériques ou numéraux) peuvent être réels.
• Un nombre appartient à un ensemble de nombres (entiers naturels N, entiers relatifs Z, décimaux D, rationnels Q, réels R).

Définition d'un Chiffre

• Un chiffre est un signe ou symbole utilisé pour écrire les nombres (0 à 9).

Développement du Concept de Nombre

• A) Procédures de quantification.
• B) Apprentissage de la chaîne numérique et du dénombrement; représentation sémantique du nombre.
• C) Le système numérique.
• D) Opérations arithmétiques.

Procédures de Quantification

• Correspondance terme à terme (procédure non numérique).
• Processus d'appréhension de la numérosité (Rondal, JA et Seron, X.).
• Procédures de quantification (BIDEAU, J.; LEHALLE H.; VILETTE, H.).

Correspondance Terme à Terme (CTT)

• La CTT est une procédure de quantification non numérique, parallèle à la genèse et à l'invention du nombre.
• Elle permet d'évaluer une numérosité, en assurant une équivalence sans être tributaire du temps.
• Nécessité de comparer et d'évaluer pour un partage équitable afin d'assurer sa survie.

Utilisation et Représentation de la CTT

• La CTT utilise des cailloux, des doigts levés, des mots-nombres, des chiffres, etc.
• La quantité est représentée soit analogiquement (collection-témoin) soit numériquement (dernier élément mis en correspondance).

Représentations Analogiques vs. Linguistiques

• Les représentations analogiques utilisent le même nombre d'éléments que la quantité représentée.
• Les représentations linguistiques utilisent un seul élément, quel que soit le nombre d'éléments.

Bijection en Mathématiques

• Une bijection est une relation terme à terme entre deux ensembles ayant le même cardinal.

Développement du Nombre

• Le développement du nombre a pris plusieurs millénaires dans l'humanité, mais seulement 6 à 7 ans chez l'enfant.

Conditions Psychologiques de l'Invention du Nombre

• La CTT n'est pas tributaire du temps et est reproductible.
• La CTT établit une relation arbitraire entre des éléments hétérogènes, demandant d'abstraire une propriété commune.

Correspondance Qualifiée vs. Correspondance Quelconque

• La correspondance qualifiée donne un nom défini à chaque objet.
• La correspondance quelconque permet une comparaison quantitative et une substitution.
• Dans le constructivisme piagétien, le passage du qualitatif au quantitatif est essentiel.

Organisation Spatiale d'Objets

• Les enfants montrent une ténacité pour organiser le matériel de manière de plus en plus complexe.

Appréhension de la Numérosité (Rondal, JA et Seron, X.)

• Numérosité: propriété d'un ensemble correspondant à la quantité d'éléments.
• Processus: Subitizing, estimation, comptage verbal.

Procédures de Quantification (BIDEAU, J.; LEHALLE H.; VILETTE, H.)

• Quantification non verbale
• Quantification verbale exacte
• Estimation

Approximate Number System (ANS)

• Système numérique approximatif basé sur l'estimation (Dehaene et al.).
• Les quantités sont ordonnées spatialement sur une ligne numérique mentale.

Compétence Visée

• Associer un nombre entier à une position sur une ligne numérique.

Développement du Concept de Nombre (Fuson)

• A) Les procédures de quantification.
• B) L'apprentissage de la chaîne numérique et du dénombrement.
• C) Le système numérique.
• D) Les opérations arithmétiques.

Apprentissage de la Chaîne Numérique (Fuson)

• Le comptage est une activité culturelle reliant un objet compté à un mot-nombre.

Acquisition et Élaboration de la Chaîne Numérique Verbale

• Commence vers deux ans avec les premiers mots-nombres.
• Se fait en trois parties (stable et conventionnelle, stable mais non conventionnelle et non stable).

Niveaux de Compréhension de la Suite des Nombres

• Chapelet (undeuxtroisquatre).
• Chaîne ou liste insécable.
• Chaîne sécable.
• Chaîne dénombrable.
• Chaîne terminale.
• L'enfant avance dans sa connaissance de la chaîne numérique en même temps que dans le comptage des objets.

La Règle du Dernier Mot-Nombre

• La règle du dernier mot-nombre apprend comme une procédure avant sa compréhension cardinale.
• La règle du dernier mot-nombre comprend une équivalence, un ordre et un inclusion

Dénombrement

• Procédure menant à une représentation numérique de quantité : il faut dénombrer des objets déplaçables
• Ne se réduit pas à l'acquisition empirique du comptage.

Principes du Comptage (Gelman et Gallistel)

• Ordre stable, correspondance terme à terme, cardinalité, abstraction, non-pertinence de l’ordre.

Types de Comptage

• Comptage-numérotage (un enfant sait dénombrer une collection quand le dernier mot-nombre qu'il prononce n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets)
• Dénombrement = La transition du comptage numérotage au dénombrement nécessite une certaine compréhension de la cardinalité.
• Les habiletés de comptage se mettent en place entre 2 et 8 ans.

Cardinalité

• 2 Niveaux :

1. L’enfant comprend que le dernier mot nombre prononcé est à fa fois un numéro et la représentation de tous les objets comptés jusque-là l'étude de la série numérique doit être celle d’ un outil et de ses propriétés logiques( ordinalité cardinalité etc. => La correspondance à terme est d'abord qualitative et devient numérique seulement lorsque tous les éléments sont considérés comme équivalents.

But du Dénombrement

• Dénombrer n'est pas seulement quantifier, c'est aussi et surtout savoir quand et quoi dénombrer.
• Les éléments culturels (mots, comptines) ne sont pas suffisant, le dénombrement et insuffisant pour conserver une quantité.

Les Codes

• Les codes représentent une organisation logique sous-jacente invariante respectant les contraintes de relations de classes et d'ordre, ils peuvent être considérés comme des d'outils cognitifs.

• 2 catégories de codes analogique (la taille de la représentation (le signifiant) est proportionnelle à celle de ce qui est représenté (le signifié).

• et de type symbolique (signifiant) Ce manque de transparence en français pose un problème lorsqu'on doit apprendre que dans chaque nombre, chaque position correspond à une valeur : il est difficile d'acquérir le nombre des grands nombres

• d'erreur et + de temps.

Fonctions du Langage

Le langage en désignant les relations qui existaient déjà entre les unités tracées stabilise système et lui donne tout à la fois une possibilité très rapide d'évoquer son évolution, les noms des nombres affaiblissent donc la mémoire et la perception de leur limites.

Procédure de Transcodage

Procédure qui exige une organisation certaine des propriétés logiques de chiffres de nombre.

D) Opération Arithmétiques

• Le sens général de l'estimation est celui d'une quantité approximative : Le concept 4 conservant les différentes perspectives des items
• Les opérations arithmétiques consistent à manipuler des symboles en respectant des règles plutôt qu'ex réaliser des transformations sur les quantités concrètes associés à ses symboles

Addition/ Soustraction

• Sont des règles, sont toujours définies avec un + : Le résultat s'appelle toujours une somme les sommes obtenues sont toujours associatives et commutative
• On peut compter l'addition et la soustraction L'addition est la première action
• La soustraction c'est l'inverse il opère qu' à partir de l'addition

Opération: L'addition/Soustraction/Multiplication/Division

• Pour la multiplication, l'instruction est de la scolaire privilégier l'apprentissage par cœur des tables
• Les stratégies de récupération des faits multiplicateurs donc celles dominées chez les enfants. Même si la situation ne peut varier selon : L'action est à peu près certains que la plupart des enfants ne pourraient apprendre par même les + complexe parmi ces opérations par exemple à diviser de grands nombres
• La résolution d'un problème est une action qui doit être dirigée et contrôlée par les élèves dans le but d'atteindre
• L'idée que les nombre forment une ligne orientée de gauche à droite est l'un des plus fondamental.
• On peut identifier le différents problèmes et voir leur composition

Différentes Compétences pour les Résolutions de Problèmes

des compétences langagières en lecture capacité à détecter le informations pertinentes afin de prendre la réponse La résolution des problèmes joue un rôle primordial non seulement dans le mise en oeuvre mais dans la construction même des notions mathématiques sous-jacente à l'usage des opérations

Recodage Sémantique

Le recodage sémantique permet de faire abstraction des différences entre situations et d'accéder à une conception plus abstraite.

Les problèmes des types Additifs

1 ) deux mesures qui se composent pour donner la mesure , on cherche le cardinal du tout il faut faire plus une année d'hésitation 2) transformation qui opèrent sur une mesure qui a le mesurer un j'ai ensuite je gagne je pensais

• il y a une relations reliées par 2 mesures.

Notes de cours sur le concept de nombre dans le contexte de la cognition mathématique. Ce cours s'inscrit dans le cadre du Master orthophonie du DUEFO Paris - Sorbonne Université. Les objectifs incluent l'acquisition de connaissances fondamentales et la compréhension du traitement numérique.