Combinaciones y Permutaciones

Combinaciones

• Definición: Selección de elementos de un conjunto sin importar el orden.

• Fórmula: ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} )

  • ( n ): número total de elementos.
  • ( k ): número de elementos a seleccionar.

• Ejemplo: Elegir 3 frutas de un conjunto de 5 (manzana, plátano, naranja, fresa, kiwi):

  • ( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 )

• Propiedades:

  • ( C(n, k) = C(n, n-k) ) (combinaciones complementarias).
  • ( C(n, 0) = C(n, n) = 1 ).

Permutaciones

• Definición: Arreglo de elementos de un conjunto considerando el orden.

• Fórmula: ( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} )

  • ( n ): número total de elementos.
  • ( k ): número de elementos a ordenar.

• Ejemplo: Ordenar 3 frutas de un conjunto de 5:

  • ( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 60 )

• Propiedades:

  • Las permutaciones de ( n ) elementos: ( P(n) = n! ).
  • Si hay elementos repetidos: ( P(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!} ).

Diferencias clave

• Combinaciones: no consideran el orden (subconjuntos).
• Permutaciones: sí consideran el orden (arreglos).

Aplicaciones

• Combinaciones: Juegos de lotería, selección de equipos.
• Permutaciones: Organizar eventos, clasificaciones.

Combinaciones

• Es la selección de elementos de un conjunto sin importar el orden.
• La fórmula para calcular las combinaciones es ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
  • ( n ) representa el número total de elementos.
  • ( k ) representa el número de elementos a seleccionar.
• Ejemplo: Elegir 3 frutas de un conjunto de 5 (manzana, plátano, naranja, fresa, kiwi):
  • ( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 ) lo que significa que hay 10 combinaciones posibles.
• Propiedades:
  • ( C(n, k) = C(n, n-k) ) (combinaciones complementarias).
  • ( C(n, 0) = C(n, n) = 1 ).

Permutaciones

• Es un arreglo de elementos de un conjunto considerando el orden.
• La fórmula para calcular las permutaciones es ( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} ).
  • ( n ) representa el número total de elementos.
  • ( k ) representa el número de elementos a ordenar.
• Ejemplo: Ordenar 3 frutas de un conjunto de 5:
  • ( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 60 ) lo que significa que hay 60 permutaciones posibles.
• Propiedades:
  • Las permutaciones de ( n ) elementos: ( P(n) = n!).
  • Si hay elementos repetidos: ( P(n; n_1, n_2,..., n_k) = \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!} ).

Diferencias clave

• Las combinaciones no consideran el orden, se centran en los subconjuntos.
• Las permutaciones sí consideran el orden, se centran en los arreglos.

Aplicaciones

• Las combinaciones se usan en juegos de lotería y selección de equipos.
• Las permutaciones se usan para organizar eventos y clasificaciones.