Circuits Électriques: Analyse Transitoire

Analyse de Réponse Transitoire

• L'analyse de la réponse transitoire permet d'étudier le comportement d'un circuit électrique en réponse à un changement soudain de l'entrée.

Analyse dans le Domaine Temporel

• L'analyse dans le domaine temporel examine la réponse d'un circuit en fonction du temps.

Circuits du Premier Ordre

• La constante de temps τ pour un circuit RC est donnée par τ = RC.
• La constante de temps τ pour un circuit RL est donnée par τ = L/R.
• La réponse x(t) d'un circuit du premier ordre est calculée avec la formule: x(t) = x(∞) + [x(0) - x(∞)]e^{-t/τ}.
  • x(∞) représente la valeur de la réponse à l'infini.
  • x(0) est la valeur initiale de la réponse.

Circuits du Second Ordre

• L'équation caractéristique d'un circuit du second ordre est donnée par s² + 2ζω₀s + ω₀² = 0.
• ζ représente le facteur d'amortissement.
• ω₀ est la fréquence naturelle non amortie.
• Les racines de l'équation caractéristique sont calculées par s₁₂ = -ζω₀ ± ω₀√(ζ² - 1).
• Un circuit est suramorti si ζ > 1.
• Un circuit est amorti de manière critique si ζ = 1.
• Un circuit est sous-amorti si ζ < 1.

Réponse Indiciaire des Circuits du Second Ordre

• Pour un circuit suramorti: x(t) = A₁e^{s₁t} + A₂e^{s₂t} + x(∞).
• Pour un circuit amorti de manière critique: x(t) = A₁te^{-ω₀t} + A₂e^{-ω₀t} + x(∞).
• Pour un circuit sous-amorti: x(t) = Be^{-αt}cos(ω_dt + φ) + x(∞).
  • α = ζω₀ (coefficient d'amortissement).
  • ω_d = ω₀√(1 - ζ²) (fréquence amortie).

Terminologie

• Temps de Montée (tr): le temps nécessaire pour que la réponse passe de 10% à 90% de sa valeur finale.
• Temps de Stabilisation (ts): le temps nécessaire pour que la réponse reste dans une certaine plage (généralement 2% ou 5%) de sa valeur finale.
• Dépassement (Mp): la quantité dont la réponse dépasse sa valeur finale.

La Réponse Complète

• La réponse complète d'un circuit est la somme de la réponse transitoire et de la réponse en régime permanent: x(t) = x_{Trans}(t) + x_{SS}(t).
  • x_{Trans}(t) représente la réponse transitoire.
  • x_{SS}(t) représente la réponse en régime permanent. # UNITE 1 : NOMBRES REELS

1. Nombres réels

• Les nombres réels sont essentiels en mathématiques, servant de base à des concepts plus avancés en analyse.

1.1. Le Corps des nombres réels

• Les nombres réels forment un corps, ce qui signifie qu'ils satisfont certains axiomes qui régissent les opérations d'addition et de multiplication.

Axiomes de Corps :

• Somme:
  • Associativité : (a + b) + c = a + (b + c) pour tous a, b, c ∈ ℝ
  • Commutativité : a + b = b + a pour tous a, b ∈ ℝ
  • Élément neutre : Il existe 0 ∈ ℝ tel que a + 0 = a pour tout a ∈ ℝ
  • Élément opposé : Pour tout a ∈ ℝ, il existe -a ∈ ℝ tel que a + (-a) = 0
• Produit:
  • Associativité : (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) pour tous a, b, c ∈ ℝ
  • Commutativité : a ∙ b = b ∙ a pour tous a, b ∈ ℝ
  • Élément neutre : Il existe 1 ∈ ℝ tel que a ∙ 1 = a pour tout a ∈ ℝ
  • Élément inverse : Pour tout a ∈ ℝ {0}, il existe a⁻¹ ∈ ℝ tel que a ∙ a⁻¹ = 1
• Distributivité:
  • a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c pour tous a, b, c ∈ ℝ

1.2. Relation d'ordre

• Il existe un sous-ensemble ℝ⁺ ⊂ ℝ (nombres positifs) qui satisfait :
  • a ∈ ℝ ⇒ a ∈ ℝ⁺ ou (-a) ∈ ℝ⁺
  • a, b ∈ ℝ⁺ ⇒ a + b ∈ ℝ⁺
  • a, b ∈ ℝ⁺ ⇒ a ∙ b ∈ ℝ⁺
• La relation d'ordre est définie : a ≤ b ⇔ b - a ∈ ℝ⁺

1.3. Axiome du Sup

• Borne supérieure: M ∈ ℝ est une borne supérieure de A ⊂ ℝ si x ≤ M pour tout x ∈ A
• Ensemble borné supérieurement: Un ensemble qui a une borne supérieure.
• Supremum: Le supremum de A est la plus petite de ses bornes supérieures.
  • sup(A) = M ⇔ x ≤ M pour tout x ∈ A ; M' < M ⇒ ∃ x ∈ A tel que M' < x
• Axiome du supremum : Tout ensemble non vide de nombres réels borné supérieurement a un supremum.

1.4. Conséquences de l'axiome du Sup

• ℕ n'est pas borné supérieurement dans ℝ.
• Les rationnels (ℚ) sont denses dans ℝ : pour tout a, b ∈ ℝ avec a1 tel que P(n) soit vrai ⇒ P(n+1) est vrai.

2.2. Nombres rationnels et irrationnels

• Nombre rationnel : x ∈ ℝ est rationnel s'il existe p, q ∈ ℤ tel que x = p/q.
• Nombre irrationnel : x ∈ ℝ est irrationnel s'il n'est pas rationnel.

2.3. La Valeur absolue

• Définition: |x| = x si x ≥ 0 ; -x si x < 0
• Propriétés:
  • |x| ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
  • |x| = 0 ⇔ x = 0
  • |x ∙ y| = |x| ∙ |y| pour tous x, y ∈ ℝ
  • |x + y| ≤ |x| + |y| pour tous x, y ∈ ℝ (Inégalité triangulaire)
  • ||x| - |y|| ≤ |x - y| pour tous x, y ∈ ℝ

2.4. Intervalles mis en correspondance

• Une suite d'intervalles [aₙ, bₙ] est dite encadrée si [aₙ₊₁, bₙ₊₁] ⊂ [aₙ, bₙ] pour tout n ∈ ℕ. -Théorème des intervalles mis en correspondance : Si [aₙ, bₙ] est une suite d'intervalles mis en correspondance, alors ∩ₙ₌₁^∞ [aₙ, bₙ] ≠ ∅. De plus, si limₙ→∞ (bₙ - aₙ) = 0, alors ∩ₙ₌₁^∞ [aₙ, bₙ] contient un point unique.

2.5. Environnement symétrique

• E(a, ε) = {x ∈ ℝ | |x - a| < ε} = (a - ε, a + ε)

2.6. Ligne réelle augmentée

• ℝ = ℝ ∪ {-∞, +∞}
• Ordre dans ℝ : -∞ < x < +∞ pour tout x ∈ ℝ

Les nombres réels et leurs propriétés sont fondamentaux en mathématiques, en particulier lors de la transition vers des concepts d'analyse plus avancés. # Complexité Algorithmique

• La complexité algorithmique est une mesure de la quantité de temps (complexité temporelle) et d'espace (complexité spatiale) dont un algorithme a besoin pour résoudre un problème d'une certaine taille (n).

Qu'est-ce que c'est ?

• En termes simples, elle indique la vitesse d'exécution de votre programme à mesure que l'entrée augmente.
• Elle est généralement exprimée à l'aide de la notation Big O, qui se concentre sur le terme dominant et ignore les constantes.

Pourquoi s'en soucier ?

• Performance : Choisir le bon algorithme peut améliorer considérablement les performances, en particulier pour les grands ensembles de données.
• Évolutivité : Comprendre la complexité vous aide à prédire la façon dont votre application gérera les charges de travail croissantes.
• Gestion des ressources : Connaître la complexité spatiale peut vous aider à éviter les problèmes de mémoire.

Complexité Algorithmique : Liste

Représentation visuelle

• Le graphique montre un graphique avec l'axe des x étiqueté « Éléments » et l'axe des y étiqueté « Opérations ». Différentes classes de complexité sont tracées sur le graphique :
  • O(1) - Constant : Une ligne horizontale au bas du graphique, indiquant que le nombre d'opérations reste constant quel que soit le nombre d'éléments.
  • O(log n) - Logarithmique : Une courbe qui commence raide mais s'aplatit rapidement, montrant que le nombre d'opérations augmente lentement à mesure que le nombre d'éléments augmente.
  • O(n) - Linéaire : Une ligne droite avec une pente constante, indiquant que le nombre d'opérations augmente proportionnellement au nombre d'éléments .
  • O(n log n) - Log-linéaire : Une courbe qui est plus raide que la ligne linéaire mais pas aussi raide que la courbe quadratique.
  • O(n²) - Quadratique : Une courbe qui augmente rapidement à mesure que le nombre d'éléments augmente.
  • O(2ⁿ) - Exponentielle : Une courbe qui augmente extrêmement rapidement à mesure que le nombre d'éléments augmente.
• Le graphique démontre visuellement comment différentes classes de complexité évoluent avec une entrée croissante, soulignant l'importance de choisir des algorithmes avec une complexité inférieure pour de meilleures performances.

La complexité algorithmique est une notion fondamentale pour évaluer l'efficacité et la faisabilité des algorithmes en fonction de la taille des données d'entrée. # Calcul Différentiel I (Calcul 1)

2.5. Continuité

• Une fonction est continue à un nombre a si la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a).

Définition

• Une fonction f est continue à un nombre a si lim_{x → a} f(x) = f(a)
• La définition implique que, si f est continue en a :
  • f(a) est défini (a est dans le domaine de f)
  • lim f(x) existe lorsque x tend vers a
  • lim f(x) = f(a) lorsque x tend vers a.
• Une fonction f est continue à droite du nombre a si: lim f(x) = f(a) quand x → a⁺.
• Une fonction f est continue à gauche du nombre a si: lim f(x) = f(a) quand x → a⁻.
• Une fonction f est continue sur un intervalle si elle est continue à chaque nombre de l'intervalle.

Théorème

• Si f et g sont continues à a et c est une constante alors les fonctions suivantes sont continues à a:
  • f + g
  • f - g
  • cf
  • fg
  • f/g si g(a) ≠ 0

Théorème

• Les types de fonctions suivants sont continues à chaque nombre dans leurs domaines de définition :
  • Polynômes
  • Fonctions rationnelles
  • Fonctions racines
  • Fonctions trigonométriques, inverses trigonométriques
  • Fonctions exponentielles
  • Fonctions logarithmiques

Théorème

• Si f est continue en b et lim g(x) = b quand x → a, alors lim f(g(x)) = f(lim g(x)) quand x → a, qui égale f(b).

Théorème

• Si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$, alors $f(g(x))$ est continue en $a$.

2.6. Limites à l'Infini ; Asymptotes Horizontales

• La limite à l'infini est la valeur vers laquelle une fonction tend lorsque la variable indépendante (x) devient arbitrairement grande.
• Une asymptote horizontale est une ligne horizontale que le graphique d'une fonction approche lorsque x tend vers l'infini positif ou négatif.

Definition

• Soit f une fonction définie sur un intervalle $(a, ∞)$. Alors lim f(x) = L quand x → ∞.
• Soit f une fonction définie sur un intervalle $(-∞, a)$. Alors lim f(x) = L quand x → -∞.
• La ligne $y = L$ est appelée asymptote horizontale de la courbe $y = f(x)$ si lim f(x) = L quand x → ∞ ou lim f(x) = L quand x → -∞.

Théorème

• Si $r > 0$ est un nombre rationnel, alors lim (1/x^r) = 0 lorsque x → ∞.

Limites infinies

• Les limites infinies décrivent le comportement d'une fonction lorsque ses valeurs augmentent ou diminuent sans borne.

Ces thèmes sont essentiels en Calcul I, servant de base à des concepts plus avancés de mathématiques et de science. # Cinétique chimique

• La cinétique chimique est l'étude des vitesses de réaction et des mécanismes des réactions chimiques.

Definition

• Pour une réaction A → B, la vitesse de réaction est définie comme : taux = -d[A]/dt = d[B]/dt, où [A] est la concentration du réactif A, [B] est la concentration du produit B, et t est le temps.
• La loi de vitesse exprime la vitesse d'une réaction en fonction des concentrations des réactifs : vitesse = k[A]ᵐ[B]ⁿ, où k est la constante de vitesse, et m et n sont les ordres de réaction par rapport aux réactifs A et B, respectivement.
• Ordre de Réaction
  • Ordre zéro : la vitesse est indépendante de la concentration du réactif (vitesse = k).
  • Premier ordre : la vitesse est directement proportionnelle à la concentration du réactif (vitesse = k[A]).
  • Deuxième ordre : la vitesse est proportionnelle au carré de la concentration du réactif (vitesse = k[A]^2).

Facteurs Affectant la Vitesse de Réaction

• La constante de vitesse $(k)$ varie avec la température $(T)$, selon l'équation d'Arrhenius $(k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}})$.
• L'exposition à la lumière peut influencer la cinétique des réactions photochimiques.
• Les catalyseurs augmentent la vitesse d'une réaction en fournissant une voie de réaction alternative avec une énergie d'activation plus faible.
• La vitesse de la réaction augmente généralement avec la concentration des réactifs, comme décrit par la loi de vitesse.

Mécanisme de Réaction

• Un mécanisme de réaction est une séquence étape par étape de réactions élémentaires par lesquelles un changement chimique global intervient.
  • Les réactions élémentaires sont des réactions en une seule étape qui ne peuvent pas être décomposées en étapes plus simples.
  • L'étape de vitesse déterminante est l'étape la plus lente d'un mécanisme de réaction et détermine la vitesse globale de la réaction.

Exemples

• La décomposition de N₂O₅ est une réaction du premier ordre : N₂O₅ → 2NO₂ + ½O₂ ; sa loi de vitesse est vitesse = k[N₂O₅].
• La réaction de NO avec O₃ est une réaction du deuxième ordre : NO + O₃ → NO₂ + O₂ ; sa loi de vitesse est vitesse = k[NO][O₃].

Tableau récapitulatif

Comprendre les principes fondamentaux de la cinétique chimique est essentiel pour prévoir et contrôler la vitesse des réactions chimiques dans divers systèmes. # Tensions

• La tension est la force exercée par un câble, une corde, un fil ou un élément similaire sur un objet. C'est une force de « traction » ou de « traînée ».

Direction

• La tension tire toujours (ou essaie de tirer) l'objet.
• La tension est toujours parallèle au câble, à la corde, au fil, etc.

Diagramme 1

• Une boîte est tirée vers la droite par une corde avec une tension T.
• La tension T tire la boîte vers la droite.

Diagramme 2

• Une boîte est suspendue au plafond par une corde avec une tension T.
• La tension T tire la boîte vers le haut.

Diagramme 3

• Une boîte est attachée à un mur par une corde avec une tension T.
• La tension T tire la boîte vers la gauche.

Tensions dans les poulies

• Lorsqu'une corde passe sur une poulie (idéale), la tension dans la corde reste la même des deux côtés de la poulie, mais la poulie change simplement la direction de la tension.

Exemple

• Une boîte de poids W est soulevée par une poulie. Quelle est la tension dans la corde ?

  • La tension dans la corde doit être égale au poids de la boîte afin de la maintenir soulevée : $T = W$

    ### Diagramme
    

    • Une boîte de poids W est tirée vers le haut par une corde avec une tension T.
    • La tension T tire des box vers le haut.
    • Le poids W tire la boîte vers le bas.

Systèmes avec plusieurs cordes

• Dans les systèmes avec plusieurs cordes, il est important de considérer la tension dans chaque corde séparément.

Exemple

• Deux boîtes sont connectées par une corde. La boîte est tirée par une force F, qui est connectée à la première boîte avec une tension $T_1$, et la deuxième boîte est connectée avec une tension $T_2$. Quelles sont les tensions dans les cordes ?

  • La tension $T_1$ est égale à la force F : $T_1 = F$.

  • La tension $T_2$ est égale à la masse de la deuxième boîte multipliée par l'accélération du système.

    #### Diagramme
    

    • Deux boîtes sont jointes par une corde.
      • La première boîte est tiré par une force F.
      • La tension $T_1$ tire la première boîte vers la droite
      • La tension $T_2$ tire la première boîte vers la gauche et l'autre vers la droite

Calcul des tensions

• Pour calculer la tension dans une corde, il est nécessaire de déterminer les forces qui agissent sur l'objet auquel la corde est attachée. Généralement, la loi de Newton s'applique: $\sum F = MA$ -Où :
  • $\sum F$ est la somme de toutes les forces agissant sur l'objet. -$m$ est la masse de l'objet -$a$ est l'accélération de l'objet

Stratégie pour la résolution des problèmes de tension

• Dessiner un diagramme du corps libre pour chaque objet dans le système.
• Faire une demande selon la seconde loi.
• Faire une demande dans le second loi de Newton à chaque bloc, puis résoudre les systèmes d'égalisation afin de trouver le système de tensions.

Considérations additionnelles

• Les cordes sont présumées sans masse et inextensibles (ne s'étirent pas).
• les poulies sont présumées sans masse et sans friction.
• Tensions :* Forces exercées par des cordes ou câbles tendus agissant sur l'objet et attachées à elles. Always actes par tirant le objet aux quelles il se situe.

Les tensions sont des concepts de physique qui nécessite une compréhension des diagrammes de free bodys et l'utilisation de Newton second loi afin résoudre problèmes.