Ciągłość funkcji w analizie matematycznej

Ciągłość funkcji

• Funkcja f jest ciągła w punkcie a ∈ Df jeśli spełnione są trzy pojęcia związane ze sobą:
  • funkcja f jest ciągła w punkcie a ∈ Df
  • funkcja f jest ciągła (czyli ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny)
  • funkcja f jest ciągła w zbiorze A ⊂ Df (czyli ciągła w każdym punkcie zbioru A)

Definicje ciągłości

• Definicja Heinego: Funkcja f jest ciągła w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) z dziedziną funkcji zbieżnego do a, ciąg wartości funkcji f(xn) jest zbieżny do f(a)

• Definicja Cauchy'ego: Funkcja f jest ciągła w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x z dziedziny funkcji, dla którego |x - a| < δ, mamy |f(x) - f(a)| < ε

Rodzaje nieciągłości

• Nieciągłość I rodzaju (usuwalna, skok skończony): Punkt nieciągłości, w którym istnieje granica funkcji, ale nie jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie. Łatwo ją usunąć, definiując nową funkcję ciągłą w tym punkcie.

• Skok skończony: Istnieją obie granice jednostronne funkcji w punkcie, obie są skończone, ale różne.

• Skok nieskończony: Co najmniej jedna granica jednostronna funkcji w punkcie jest niewłaściwa.

• Nieciągłość oscylacyjna: W każdym sąsiedztwie punktu a funkcja przyjmuje wszystkie wartości z pewnego przedziału nieskończenie wiele razy.

• Inne nieciągłości: Te, których nie wymieniono wyżej (nieciągłości II rodzaju)

Własności funkcji ciągłych

• Twierdzenie 1: Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie a, to funkcje: k⋅f (gdzie k ∈ R), f + g, f⋅g oraz f/g (o ile g ≠ 0) są ciągłe w a.

• Twierdzenie 2: Jeśli f jest ciągła w a i g jest ciągła w f(a), to złożenie g(f(x)) jest ciągłe w a.

• Twierdzenie 3: Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i ściśle monotonicznej jest ciągła w przedziale, w którym jest określona.

• Twierdzenie 4: Każda funkcja elementarna (np. potęgowe, wielomiany, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne) jest ciągła.

• Twierdzenie 5 (o zachowaniu znaku): Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale (a, b) i f(c) > 0 dla pewnego c ∈ (a, b), to w pewnym otoczeniu punktu c funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.

• Twierdzenie 6 (o własności Darboux): Jeżeli f: (a, b) → R jest funkcją ciągłą i d jest dowolną liczbą zawartą między f(a) i f(b), to istnieje takie c ∈ (a, b), że f(c) = d.

• Twierdzenie 7 (o miejscu zerowym): Jeżeli f: (a, b) → R jest funkcją ciągłą i f(a)⋅f(b) < 0, to istnieje takie c ∈ (a, b), że f(c) = 0.

• Twierdzenie 8 (Weierstrassa): Jeżeli f: (a, b) → R jest funkcją ciągłą, to f osiąga swoje kresy (tzn. kres górny M i kres dolny m).

• Definicja 3: Oscylacja funkcji f to różnica między jej wartością największą i najmniejszą: ω = M - m

• Twierdzenie 9: Jeżeli f jest ciągła w (a, b), to istnieje taki podział przedziału (a, b), że oscylacja w każdym podprzedziale jest mniejsza niż dowolnie ustalona liczba dodatnia.

Funkcje elementarne

• Wszystkie omówione funkcje elemrntarne są ciągłe.

Uwagi

• Istnieją definicje ciągłości dla przestrzeni metrycznych i w innych kontekstach, nie są one przedstawione w tym dokumencie.