Chương 1: Ma Trận - Định Thức

Chương 1: Ma Trận - Định Thức

• Chương này bao gồm các khái niệm cơ bản về ma trận và định thức, một phần quan trọng trong đại số tuyến tính
• Nó bắt đầu bằng các định nghĩa và tính chất cơ bản của định thức, sau đó đi sâu hơn vào các loại định thức đặc biệt và các công thức liên quan

Định Thức

• Định thức của ma trận vuông A cấp n là tổng luân phiên của các phép hoán vị
• Định thức của ma trận A được ký hiệu là det⁡A hoặc |A|
• det⁡A ≠ 0, A là khả nghịch (hay không suy biến)

Các Tính Chất Cơ Bản Của Định Thức

• Đổi chỗ 2 hàng (hoặc cột) của ma trận A thì định thức đổi dấu, nếu A có 2 hàng (hoặc cột) giống nhau thì det⁡A = 0
• Với các ma trận vuông A, B và C cùng cấp thì det(AC0B) = det⁡A·det⁡B
• detA = ∑j=1n(−1) i+j Mij, với Mij là định thức của ma trận A khi bỏ đi hàng i và cột j

Các Định Thức Đặc Biệt

• Ma trận Vandermonde cấp n là ma trận vuông cấp n có dạng đặc biệt
• Định lý 1.1: det⁡Vn(a1, a2,..., an) = ∏1≤i<j≤n (aj − ai)
• Vn(a1, a2,..., an)⋅X = 0 chỉ có nghiệm tầm thường khi a1, a2,..., an khác nhau đôi một

Chương 2: Không Gian Véctơ - Ánh Xạ Tuyến Tính

• Chương này bao gồm các khái niệm cơ bản về không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính và các cấu trúc liên quan
• Nó bắt đầu bằng định nghĩa về không gian đối ngẫu và phần bù trực giao, sau đó đi sâu hơn vào hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính, cũng như không gian thương

Không Gian Đối Ngẫu - Phần Bù Trực Giao

• Với mỗi không gian véctơ V trên trường K, không gian tuyến tính V* là không gian đối ngẫu với V
• V* là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào K
• Cho V là không gian Oclit n chiều, ánh xạ f: V→R tuyến tính khi và chỉ khi ∃ véctơ a cố định của V: f(x) = < a, x>, ∀x ∈ V

Hạt Nhân Và Ảnh - Không Gian Thương

• Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính A: V→W là tập hợp các véctơ trong V mà A ánh xạ tới 0 Ker(A) := {x| x ∈ V, A(x) = 0}
• Ảnh của ánh xạ A là tập hợp các véctơ trong W mà là ảnh của ít nhất một véctơ trong V Im(A) := {y| y ∈ W, ∃x ∈ V, A(x) = y} = {A(x)|x ∈ V}
• Với một ánh xạ tuyến tính A: V→W thì Ker(A) là không gian véctơ con của V Im(A) là không gian véctơ con của W dimKerA + dimIm⁡A = dim⁡V

Cơ Sở Của Không Gian Véctơ - Độc Lập Tuyến Tính

• Ma trận chuyển cơ sở (A’): A’ = Q-1AP, trong đó A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f: V→W trong cặp cơ sở e = {e1,..., en} của V và c = {ε1,..., εn} của W, e’ = eP và e’ = eQ là các cơ sở khác của V và W
• Nếu V = W và P = Q thì A′ = P-1AP
• ĐT 2.23: Với toán tử tuyến tính A, đa thức đặc trưng |λI – A| = λn + an-1λn-1 +⋅⋅⋅+ a0, không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gian V

Chương 3: Dạng Chính Tắc Của Ma Trận Và Toán Tử Tuyến Tính

• Vết (trace) của ma trận A là tổng các phần tử trên đường chéo
• trA = ∑i ai,i
• trAB = ∑i,j aij bji = trBA
• tr PAP-1 = tr P-1AP = trA
• Vết của ma trận của toán tử tuyến tính không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gian
• trA = ∑i=1n (Aei, ei), trong đó ei là cơ sở chuẩn tắc

Cấu Trúc Của Tự Đồng Cấu

• U được gọi là không gian con ổn định đối với f: V→V nếu f(U) ⊂ U
• Đối với tự đồng cấu f: V→V, các không gian con ổn định: {0}, V, Kerf, Imf
• Định nghĩa về giá trị riêng và véctơ riêng
• Tự đồng cấu f có ma trận chéo hóa được nếu có một cơ sở gồm toàn các véctơ riêng của f

Dạng Chuẩn Của Ma Trận

• Chuẩn Jordan là dạng chuẩn của ma trận và toán tử tuyến tính
• Với mọi toán tử tuyến tính A: V→V trên C, ∃ một cơ sở Jordan và ma trận Jordan của nó được xác định duy nhất
• (Định lý Jordan): Ma trận Jordan của A được xác định duy nhất sai hoán vị các khối Jordan

Chương 4: Các Ma Trận Có Dạng Đặc Biệt

• Chương này giới thiệu các lớp ma trận có cấu trúc đặc biệt, bao gồm các ma trận đối xứng, Hermitian, trực giao, luỹ linh
• Ma trận đối xứng thực A có tính chất AT = A.
• Ma trận phức Hermitian A có tính chất A* = A (A* là chuyển vị liên hợp của A).

Ma Trận Đối Xứng - Ma Trận Hermitian

• Các giá trị riêng của ma trận Hermitian đều thực
• Ma trận A là Hermitian khi và chỉ khi (Ax, x) ∈ R với mọi véctơ x (R là tập số thực)
• Có 2 loại ma trận
  • Dạng toàn phương xTAx với ma trận đối xứng A
  • Dạng Hermitian x*Ax với ma trận Hermitian A
• Nếu A là ma trận đối xứng, thì dạng toàn phương xTAx xác định dương khi xTAx > 0 với mọi x ≠ 0
• Nếu A là ma trận Hermitian, thì dạng Hermitian xAx xác định dương khi xAx > 0 với mọi x ≠ 0

Ma Trận Trực Giao - Phép Biến Đổi Cayley

• Ma trận thực A được gọi là trực giao, nếu AAT = I
• Các hàng (và các cột) của A là một hệ trực chuẩn
• Phép biến đổi Cayley: f(A) = (I – A)(I + A)-1 sẽ biến ma trận trực giao thành ma trận phản xứng

Chương 5: Các Bất Đẳng Thức Ma Trận

• Chương bao gồm một số bất đẳng thức quan trọng về ma trận, thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến ma trận và giá trị riêng
• Bất đẳng thức Schur:
• Cho A là ma trận A = (aij) thì ∑i |λi|2≤ ∑i,j |aij|2

Chương 6: Đa Thức

• (Not summarized due to lack of content)