Chapitre 2: Ondes Mécaniques Progressives

Chapitre 2 Les ondes mécaniques progressives

• Une onde mécanique progressive est une perturbation qui se propage dans un milieu matériel sans transport de matière, mais avec transport d'énergie.
• Une onde progressive est une perturbation qui se propage.
• Une onde mécanique a besoin d'un milieu matériel pour se propager comme l'air, l'eau ou un solide.
• Dans une onde progressive transversale, la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation, par exemple, sur une corde.
• Dans une onde progressive longitudinale, la perturbation est parallèle à la direction de propagation, comme dans un ressort.

Les ondes à une dimension

• La célérité $v$ d'une onde est la vitesse de propagation de la perturbation, dépendant des caractéristiques du milieu.
• La célérité se calcule avec la formule : $v = \frac{d}{∆t}$ ou v est la célérité en $m.s^{-1}$, d est la distance parcourue en $m$ et $∆t$ est la durée du parcours en $s$.
• Le retard $τ$ représente le temps mis par la perturbation pour aller d'un point A à un point M, et se mesure en secondes ($s$).
• Le retard $τ$ se calcule avec la formule : $τ = t_M - t_A$ ou $t_M$ est la date d'arrivée de la perturbation au point M et $t_A$ la date de départ de la perturbation au point A.
• La relation entre la célérité, le retard et la distance parcourue est : $v = \frac{AM}{τ}$ donc $τ = \frac{AM}{v}$.

Double périodicité

• La période temporelle $T$ est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit de manière identique, représentant la durée d'un motif et s'exprimant en secondes ($s$).
• La longueur d'onde $λ$ est la distance parcourue par l'onde pendant une période $T$, correspondant à la plus petite distance séparant deux points du milieu vibrant en phase.
• La longueur d'onde se calcule avec la formule: $λ = v.T$, ou $λ$ est la longueur d'onde en $m$, $v$ est la célérité en $m.s^{-1}$ et $T$ est la période en $s$.
• La fréquence $f$ est le nombre de motifs par seconde, exprimée en Hertz $(Hz)$.
• La fréquence se calcule avec la formule: $f = \frac{1}{T}$ et $f = \frac{v}{λ}$ où $f$ est la fréquence en $Hz$, $T$ est la période en $s$, $v$ est la célérité en $m.s^{-1}$ et $λ$ est la longueur d'onde en $m$.
• La représentation temporelle observe l'évolution d'un point du milieu en fonction du temps.
• La représentation spatiale capture une photographie de l'onde à une date donnée.

Física

• Un vecteur est une quantité physique ayant à la fois une magnitude et une direction.
• Les vecteurs sont représentés graphiquement par des flèches, où la longueur indique la magnitude et la direction représentée par l'orientation.
• La notation d'un vecteur se fait avec les symboles $\vec{A}, \overrightarrow{AB}$.

Composants d'un Vecteur

• Un vecteur $\vec{A}$ dans un plan cartésien peut être décomposé en une composante horizontale $A_x$ et une composante verticale $A_y$.
• Les composantes se calculent selon les formules :
  • $A_x = A \cos \theta$
  • $A_y = A \sin \theta$
• A étant la magnitude du vecteur et $\theta$ étant l'angle que forme le vecteur $\vec{A}$ avec l'axe x positif.
• Exemple, si un vecteur $\vec{A}$ a une magnitude de 10 unités et forme un angle de 30° avec l'axe des x positifs, ses composants seront de :

$$ \begin{aligned} A_x &= 10 \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \ A_y &= 10 \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \end{aligned} $$

Somme de vecteurs

• La somme de deux vecteurs ou plus donne un vecteur résultant.

Somme Graphique

• Méthode du parallélogramme: place les vecteurs avec l'origine en commun et construire un parallélogramme, la résultante étant la diagonale du parallélogramme partant de l'origine.
• Méthode du polygone: place les vecteurs séquentiellement, conservant la magnitude et la direction. Le vecteur résultant relie l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier.

Somme Analytique

• La somme analytique se fait en additionnant les composantes correspondantes.
• Donc, si $\vec{A} = (A_x, A_y)$ et $\vec{B} = (B_x, B_y)$, alors: et $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)$.
• Donc, si $\vec{A} = (3, 4)$ et $\vec{B} = (5, -2)$, alors: $\vec{A} + \vec{B} = (3 + 5, 4 + (-2)) = (8, 2)$.

Produit de vecteurs

• Il existe deux types de produits :
  • Produit scalaire (ou produit point)
  • Produit vectoriel (ou produit croisé)

Produit Scalaire

• Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ se définit comme : $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$, où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$.
• Le résultat du produit scalaire est un scalaire.
• Propriétés du produit scalaire :
  • $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$ (commutatif)
  • $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$ (distributif)
  • Si $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ et $\vec{A}, \vec{B} \neq 0$, alors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires.

Produit Vectoriel

• Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ se définit comme : $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$, où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$.
• Le résultat du produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire au plan formé par $\vec{A}$ et $\vec{B}$, et la direction se détermine par la règle de la main droite.
• Propriétés du produit vectoriel :
  • $\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$ (anti-commutatif)
  • $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$ (distributif)
  • Si $|\vec{A} \times \vec{B} | = 0$ et $\vec{A}, \vec{B} \neq 0$, alors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont parallèles.

Vecteurs unitaires

• Les vecteurs unitaires sont des vecteurs avec magnitude égale à 1, et servent à spécifier la direction d'un vecteur.
• Les vecteurs le long des axes x, y, z sont dénotés par $\hat{i}$, $\hat{j}$ et $\hat{k}$ respectivement.

Applications

• Les vecteurs sont utilisés pour représenter de nombreuses quantités physiques comme la vitesse, l'accélération, la force, le moment linéaire, le champ électrique et le champ magnétique.

Le trading algorithmique et les événements du carnet d'ordres

Données à haute fréquence

• Les données du carnet d'ordres à limites représentent l'agrégation de tous les ordres d'achat et de vente pour un actif donné à différents niveaux de prix.
• Ces données sont utilisées pour comprendre la microstructure des marchés et concevoir des algorithmes de trading.

Structure des données

• Horodatage : Heure précise à laquelle l'événement s'est produit.
• Prix : Niveau de prix de l'ordre.
• Quantité : Taille de l'ordre au niveau de prix.
• Type : Indique si l'ordre est un ordre d'achat (bid) ou de vente (ask).
• Type d'événement : Type d'action ayant généré l'événement.

Événements du carnet d'ordres

• Arrivée d'ordre à limite : Un nouvel ordre est placé dans le carnet d'ordres. L'ordre reste dans le carnet jusqu'à ce qu'il soit exécuté ou annulé.
• Ordre au marché : Un ordre qui est exécuté immédiatement au meilleur prix disponible. Retire la liquidité du carnet d'ordres.
• Annulation : Un ordre à limite existant est retiré du carnet d'ordres. Diminue la profondeur du carnet d'ordres.
• Transaction : Se produit lorsqu'un ordre d'achat et un ordre de vente correspondent en prix et sont exécutés. Modifie les quantités aux niveaux de prix échangés.

Stratégies de trading algorithmique

• Tenue de marché : Placement d'ordres à limite des deux côtés du carnet d'ordres pour capturer l'écart. Nécessite une mise à jour continue des ordres en fonction de la dynamique du carnet d'ordres.
• Arbitrage statistique : Identification et exploitation d'écarts de prix statistiques temporaires entre des actifs liés. Implique l'analyse des données du carnet d'ordres pour rechercher des schémas et des déséquilibres.
• Déséquilibre du carnet d'ordres : Prédiction des mouvements de prix à court terme en analysant les déséquilibres dans le carnet d'ordres. Par exemple, un déséquilibre important des ordres d'achat peut indiquer une augmentation imminente des prix.

Prétraitement des données

• Nettoyage des données : Gestion des données manquantes, correction des erreurs et suppression des valeurs aberrantes.
• Ingénierie des caractéristiques : Création de nouvelles caractéristiques à partir des données brutes du carnet d'ordres, telles que :
  • Profondeur du carnet d'ordres : Somme des quantités à différents niveaux de prix.
  • Écart : Différence entre les meilleurs prix d'achat et de vente.
  • Rapport de déséquilibre : Rapport entre les quantités d'ordres d'achat et de vente.
• Rééchantillonnage : Agrégation des données à haute fréquence en fréquences plus basses (par exemple, intervalles d'une seconde) pour réduire le bruit et la complexité de calcul.

Exemple : Rapport de déséquilibre

• Le rapport de déséquilibre se calcule selon la formule : $\text{Imbalance Ratio} = \frac{\text{Buy Quantity}}{\text{Buy Quantity} + \text{Sell Quantity}}$
• Un ratio de déséquilibre supérieur à 0,5 indique une plus forte pression d'achat.

Notes

• Le trading à haute fréquence nécessite une infrastructure robuste, une connectivité à faible latence et des algorithmes efficaces.
• Les données du carnet d'ordres sont bruitées et nécessitent une analyse et un prétraitement minutieux.
• Le backtesting est crucial pour évaluer la performance des stratégies de trading.

Analisi Matematica 1 - Foglio di esercizi n. 3

Numeri complessi

• Les nombres complexes sont définis dans la forme a + bi, avec a, b ∈ ℝ.

Esercizio 1

• On peut exprimer les nombres complexes suivants sous la forme $a + bi$, avec $a, b \in \mathbb{R}$:

  • $(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$
  • $(1 + i)^3 = (1 + i)^2 (1 + i) = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + i) = 2i - 2 = -2 + 2i$
  • $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
  • $\frac{2 + i}{3 - i} = \frac{(2 + i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{6 + 2i + 3i - 1}{9 + 1} = \frac{5 + 5i}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$
  • $i^5 + i^{16} = i + 1$
  • $(1 + i)^{10} = ((1 + i)^2)^5 = (1 + 2i - 1)^5 = (2i)^5 = 32i$

Esercizio 2

• Il modulo si calcola con: $\sqrt{a^2 + b^2}$. Sia $|z|$ il modulo di $z$.

• Il modulo di $3 + 4i$ è $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

• Il modulo di $1 - i$ è $|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

• Il modulo di $-2i$ è $|-2i| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$

• Il modulo di $\frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ è $|\frac{1 + i}{\sqrt{2}}| = \frac{|1 + i|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

• Il modulo di $(2 + i)(1 - i) = 2 -2i + i -i^2 = 3 - i = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$

Esercizio 3

• Espressione dei numeri complessi nella forma $\rho e^{i\theta}$, con $\rho \geq 0$ e $\theta \in [0, 2\pi)$. Sia $z = a+bi$

• Dove:

  • $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$
  • $\theta = arctan(\frac{b}{a})$

• Per $1 + i$, $\rho = \sqrt{2}$, $\theta$ = $\frac{\pi}{4}$

• Per $-1 + i\sqrt{3}$, $\rho = 2$, $\theta$ = $\frac{2\pi}{3}$

• Per $-5$, $\rho = 5$, $\theta = \pi$

• Per $-2i$, $\rho = 2$, $\theta = \frac{3\pi}{2}$

• Per $3 + 4i$, $\rho = 5$, $\theta = arctan(\frac{4}{3})$

Esercizio 4

• Calcolare le radici quadrate dei seguenti numeri complessi.
  • $i$. $z = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$
  • $1 + i$. $z = \pm \sqrt[4]{2}(\cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8}))$
  • $-1 - i\sqrt{3}$. $z = \pm (\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{6}}{2})$

Esercizio 5

• Risolvere le seguenti equazioni in $\mathbb{C}$:
  • $z^2 + 4 = 0$ è $z = \pm 2i$
  • $z^2 - 2z + 2 = 0$ è $z = 1 \pm i$
  • $z^2 + (2i)z - 1 = 0$ è $z = -i$
  • $z^2 - (3 + 2i)z + (1 + 3i) = 0$ è $z= 1+i, z =2+i$

Esercizio 6

• Determinare le soluzioni in $\mathbb{C}$ delle seguenti equazioni:
  • $z^3 = 1$. $z= 1, z = -1/2 + i\sqrt{3}/2, z= -1/2 - i\sqrt{3}/2$
  • $z^4 = -16$. $z= 2(\sqrt{2}/2 + i\sqrt{2}/2), z = 2(-\sqrt{2}/2 + i\sqrt{2}/2), z = 2(-\sqrt{2}/2 - i\sqrt{2}/2), z = 2(\sqrt{2}/2 - i\sqrt{2}/2)$
  • $z^6 = -8i$. $z= i\sqrt{2} , z= -\sqrt{3}/\sqrt{2} + i\sqrt{2}/2, z = \sqrt{3}/sqrt{2} + i\sqrt{2}/2, z = -\sqrt{2}i, z = -\sqrt{3}/sqrt{2} - i\sqrt{2}/2, z = \sqrt{3}/\sqrt{2} -i/\sqrt{2}$

Esercizio 7

• Risolvere le seguenti equazioni in $\mathbb{C}$:
  • $|z| = z + 1 + 2i$ è $z = -3/2 - 2i$
  • $z^2 + |z| = 0$ è $z=0, z= (-1, 0), z = (1, 0), z = (0. 1), z = (0, -1)$
  • $z^2 + \bar{z} = 0$ è $z = 0, z=-1, z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2}, z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}i}{2}$

Esercizio 8

• Sia $z \in \mathbb{C}$, dimostrare che:

  • $z + \bar{z} = 2Re(z)$ è $z+\bar{z} = (x+iy)+(x-iy) = 2i$
  • $z - \bar{z} = 2iIm(z)$ è $z-\bar{z}=(x+iy)- (x-iy) = 2iy$
  • $|z| = |\bar{z}|$ è $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ è $|\bar{z}|= \sqrt{x^2+y^2}$
  • $z\bar{z} = |z|^2$ è $z*\bar{z} = (x+iy)*(x-iy)=x^2+y^2$

Esercizio 9

• Siano $z, w \in \mathbb{C}$:

  • $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w} è $\overline{z+w}= a+b-ic-id= a-ic+b-id = \bar{z}+\bar{w}$
  • $\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$ è $\overline{zw}= (ac-db) -i(ad+bc) = (a-ib)(c-id) = \bar{z} * \bar{w}$
  • $|zw| = |z||w|$ è $|zw| =\sqrt{(ac-db)^2-(ad+bc)^2}= \sqrt{a^2c^2*b^2d^2-a^2d^2+2abcd-b^2c^2}$

Esercizio 10

• Dimostrare che per ogni $z, w \in \mathbb{C}$ vale la disuguaglianza triangolare: $|z + w| \leq |z| + |w|$.

Esercizio 11

• Dato $z \in \mathbb{C}$, sia $f_z : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ la funzione definita da $f_z(w) = zw$.
• Dimostrare che $f_z$ è iniettiva se e solo se $z \neq 0$.

Esercizio 12

• Sia $A = {z \in \mathbb{C} : |z| < 1}$ e sia $B = {z \in \mathbb{C} : Re(z) > 0}$.
• Descrivere l'insieme $A \cap B$.

Lecture 14: Oct 27, 2022

Proof of Cauchy's Integral Formula

• Let $f$ be analytic in an open set $U \subset \mathbb{C}$.
• Suppose $\overline{D(a, r)} \subset U$.
• Let $\gamma(t) = a + re^{it}, 0 \leq t \leq 2\pi$.
• Then for any $z \in D(a, r)$, \qquad $f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega$

Proof

• Fix $z \in D(a, r)$.
• Choose $\rho > 0$ such that $\overline{D(z, \rho)} \subset D(a, r)$.
• Let $\delta(t) = z + \rho e^{it}, 0 \leq t \leq 2\pi$.
• By Cauchy's Theorem (version 2),

$\qquad \int_{\gamma} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega = \int_{\delta} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega$

• Now,

$$ \begin{aligned} \int_{\delta} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega - 2\pi i f(z) & = \int_{\delta} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega - f(z) \int_{\delta} \frac{1}{\omega - z} d\omega \ & = \int_{\delta} \frac{f(\omega) - f(z)}{\omega - z} d\omega \end{aligned} $$

• Let $\varepsilon > 0$.
• Since $f$ is analytic at $z$, it is continuous at $z$.
• So there exists $\rho > 0$ such that if $|\omega - z| < \rho$, then $|f(\omega) - f(z)| < \varepsilon$.
• Thus, if $\omega \in \delta$,

$\qquad \left| \frac{f(\omega) - f(z)}{\omega - z} \right| < \frac{\varepsilon}{\rho}$

• Therefore,

$$ \begin{aligned} \left| \int_{\delta} \frac{f(\omega) - f(z)}{\omega - z} d\omega \right| & \leq \int_{\delta} \left| \frac{f(\omega) - f(z)}{\omega - z} \right| |d\omega| \ & \leq \frac{\varepsilon}{\rho} \cdot \text{length}(\delta) \ & = \frac{\varepsilon}{\rho} \cdot 2\pi \rho \ & = 2\pi \varepsilon \end{aligned} $$

• So,

$\qquad \left| \int_{\delta} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega - 2\pi i f(z) \right| < 2\pi \varepsilon$

• Since $\varepsilon > 0$ is arbitrary,

$\qquad \int_{\delta} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega = 2\pi i f(z)$

• Therefore,

$\qquad \int_{\gamma} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega = 2\pi i f(z)$

$\qquad f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\omega)}{\omega - z} d\omega$

• Q.E.D

Higher Derivatives

• If $f$ is analytic, then $f'$ is analytic.
• So $f''$ exists.
• By induction, $f^{(n)}$ exists for all $n \geq 1$.

Theorem

• Let $f$ be analytic in an open set $U \subset \mathbb{C}$.
• Suppose $\overline{D(a, r)} \subset U$.
• Let $\gamma(t) = a + re^{it}, 0 \leq t \leq 2\pi$.
• Then for any $z \in D(a, r)$ and $n \geq 1$,

$\qquad f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\omega)}{(\omega - z)^{n+1}} d\omega$

Tema 1: Espacios vectoriales

• Un espace vectoriel est un ensemble où les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire sont définies, respectant certains axiomes.

Définition 1.1: Operación interna

• Une opération interne dans un ensemble $E$ est une application de $E \times E$ dans $E$. C'est-à-dire qu'à chaque paire d'éléments de $E$, l'opération assigne un autre élément de $E$.

Définition 1.2: Operación externa

• Une opération externe dans un ensemble $E$ sur un corps $K$ est une application de $K \times E$ dans $E$. C'est-à-dire qu'à chaque paire formée par un élément de $K$ et un élément de $E$, l'opération lui assigne un autre élément de $E$.

Définition 1.3: Espacio vectorial

• Un espace vectoriel sur un corps $K$ est un ensemble non vide $E$ équipé de :
  • Une opération interne $+ : E \times E \longrightarrow E$ appelée somme.
  • Une opération externe $\cdot : K \times E \longrightarrow E$ appelée produit par un scalaire.
• Ces opérations doivent respecter certaines propriétés (axiomes) pour que $E$ soit un espace vectoriel.
• Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs, et ceux de $K$ sont appelés scalaires.
• Exemple: $R^n$ est un espace vectoriel sur R.

Définition 1.4: Combinación lineal

• Une combinaison linéaire de vecteurs est une expression formée en multipliant chaque vecteur par un scalaire et en additionnant les résultats.
• Si vous avez des vecteurs $x_1, x_2,..., x_n \in E$ et des scalaires $\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n \in K$, la combinaison linéaire est:

$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 +... + \alpha_n x_n$

Définition 1.5: Sistema generador

• Un ensemble de vecteurs est un système générateur si tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.
• Un système générateur est un ensemble de vecteurs tel que tout vecteur de l'espace peut s'exprimer comme une somme pondérée (combinaison linéaire) de ces vecteurs.

Définition 1.6: Independencia lineal

• Des vecteurs sont linéairement indépendants si aucune combinaison linéaire non triviale (c'est-à-dire où au moins un scalaire est non nul) ne donne le vecteur nul.
• Des vecteurs sont linéairement indépendants si la seule façon d'obtenir le vecteur nul avec une combinaison linéaire est d'utiliser tous les scalaires égaux à zéro.

Définition 1.7: Base

• Une base d'un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui sont à la fois linéairement indépendants et générateurs (tout vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire de ces vecteurs).

Définition 1.8: Dimensión

• La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une base de cet espace. Toutes les bases ont la même cardinalité (nombre d'éléments).
• Si un espace possède une base finie, on dit qu'il est de dimension finie.

Subespacios vectoriales

• Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations.

Définition 2.1: Subespacio vectorial

• Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$ est un sous-ensemble non vide $F \subset E$ qui est fermé par les opérations de somme vectorielle et de produit par un scalaire.
• Pour qu'un sous ensemble $F$ soit considéré sous-espace vectoriel, $F$ doit être un sous-ensemble d'un espace $E$ et il doit respecter les propriétés suivantes:
  • $F \neq \emptyset$.
  • $x + y \in F \quad \forall x, y \in F$
  • $\alpha \cdot x \in F \quad \forall \alpha \in K, \forall x \in F$
• Exemple: L'ensemble des vecteurs de la forme (x, 0) dans ℝ² est un sous-espace vectoriel.

Définition 2.2: Intersección de subespacios

• L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est l'ensemble des vecteurs qui appartiennent à la fois aux deux sous-espaces.
• L'intersection entre $F$ y $G$ se calcule comme suit:

$F \cap G = {x \in E : x \in F \land x \in G}$

• L'intersection de deux sous-espaces est toujours un sous-espace.

Définition 2.3: Suma de subespacios

• La somme de deux sous-espaces est l'ensemble des vecteurs qui peuvent être écrits comme la somme d'un vecteur du premier sous-espace et d'un vecteur du second sous-espace.

$F + G = {x \in E : x = y + z, y \in F, z \in G}$

Définition 2.4: Suma directa de subespacios

• La somme de deux sous-espaces est directe si l'intersection des deux sous-espaces ne contient que le vecteur nul. Dans ce cas, tout vecteur de la somme peut s'écrire de manière unique comme la somme d'un vecteur de chaque sous-espace.

$F + G = F \oplus G \Longleftrightarrow F \cap G = {0}$

• Dans ce cas, tout vecteur de $F \oplus G$ se peut écrire de manière unique comme la somme de un vecteur de $F$ comme un vecteur de $G$

Fórmula de Grassmann

• La formule de Grassmann relie les dimensions de deux sous-espaces vectoriels, de leur somme et de leur intersection.
• Formule de Grassmann :

$\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$

Chemical Kinetics

• L'étude des taux de réactions chimiques se nomme cinétique chimique, et est influencée par :
  • Concentrations des réactifs
  • Température
  • Catalyseurs
  • Surface

Taux de réaction

• La vitesse à laquelle les réactifs sont convertis en produits est le taux d'une réaction.
• Formule pour une réaction $aA + bB \rightarrow cC + dD$:
  • $Rate = -\frac{1}{a}\frac{\Delta [A]}{\Delta t} = -\frac{1}{b}\frac{\Delta [B]}{\Delta t} = \frac{1}{c}\frac{\Delta [C]}{\Delta t} = \frac{1}{d}\frac{\Delta [D]}{\Delta t}$
  • Les réactifs sont négatifs et les produits sont positifs.

Loi de vitesse

• La loi de vitesse exprime la relation entre celle d'ue réaction et les concentrations des réactifs.
• Dans une réaction $aA + bB \rightarrow cC + dD$, on a:
  • $Rate = k[A]^m[B]^n$
• Les détails additionnels sont:
  • k est la constante de vitesse
  • m est l'ordre de la réaction par rapport à A
  • n est l'ordre de la réaction par rapport à B
  • m + n est l'ordre global de la réaction
  • La constante de vitesse, k, est dépendante de la température
• Les exposants dans une loi de vitesse doivent être déterminés expérimentalement.
• La loi de vitesse ne peut pas être déterminée à partir de l'équation chimique équilibrée.

Théorie des collisions

• Les molécules doivent entrer en collision avec suffisamment d'énergie et une orientation appropriée pour qu'une réaction se produise.
  • L'augmentation de la concentration des réactifs augmente la fréquence des collisions.
  • L'augmentation de la température augmente l'énergie cinétique des molécules, ce qui entraîne des collisions plus efficaces.
  • L'ajout d'un catalyseur fournit une voie alternative avec une énergie d'activation plus faible.
  • L'augmentation de la surface augmente le nombre de molécules disponibles pour la collision.

Énergie d'activation

• Il s'agit de l'énergie minimale requise pour qu