Chapitre 10: Intégration sur un segment

Chapitre 10 : Intégration sur un segment

• Ce chapitre concerne l'intégration sur des intervalles fermés et bornés de nombres réels.
• I et J désignent des intervalles de R dans tout le chapitre.

Lipschitzianité et continuité uniforme

• Une fonction f:I→K est lipschitzienne sur I si ∃k∈R+ tel que ∀x,y∈I, |f(x)−f(y)|≤k|x−y|

• k est la constante de Lipschitz.

• Si une fonction est k-lipschitzienne, alors pour tout k' ≥ k, elle est aussi k'-lipschitzienne.

• Une combinaison linéaire de fonctions lipschitziennes est lipschitzienne.

• La composée de fonctions lipschitziennes est lipschitzienne.

• Si f : I → K est dérivable sur I et |f'| est majorée par un réel k, alors f est k-lipschitzienne sur I.

Interprétation géométrique de la Lipschitzianité

• Une fonction f est k-lipschitzienne si les pentes des cordes de son graphe sont majorées par k.
• Être lipschitzienne signifie que les pentes des cordes du graphe sont bornées.

Continuité uniforme

• Une fonction f : I → K est uniformément continue sur I si ∀ε > 0, ∃η > 0 tel que ∀x, y ∈ I, |x - y| < η ⇒ |f(x) - f(y)| < ε.
• Le nombre η est indépendant de x et y et est appelé un module de continuité uniforme.
• La continuité uniforme est plus forte que la continuité car elle exige que η soit indépendant de x.
• Toute fonction uniformément continue sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
• Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle est uniformément continue sur cet intervalle.

Contre-exemples notoires

• La réciproque, en général, est fausse.
• La fonction x → x² est continue mais non uniformément continue sur R.
• La fonction x → √x est uniformément continue mais non lipschitzienne sur R+.

Théorème de Heine

• Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.

Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux

• σ=(x₀,...,xₙ) est une subdivision du segment [a,b] , si a=x₀<...<xₙ=b
• Le pas d'une subdivision σ est max(xₖ₊₁−xₖ) pour 0≤k≤n−1 et est généralement noté δ.
• Le support d'une subdivision σ est l'ensemble S(σ) = {xₖ, k ∈ [0, n]}.

Subdivision régulière

• Une subdivision régulière du segment [a, b] est obtenue en posant xₖ = a + k * ((b-a)/n) pour tout k ∈ [0, n], où n est le nombre de segments.
• Le pas d'une subdivision régulière est constant et égal à (b - a) / n.

Comparaison de deux subdivisions

• Soient σ et σ′ deux subdivisions de [a, b]
• σ est plus fine que σ′ lorsque le support de σ contient le support de σ′, ce que l'on note σ′ ⊂ σ.
• Les points de S(σ₁) ∪ S(σ₂) forment une subdivision notée σ₁ ∪ σ₂.
• Les points de S(σ₁) ∩ S(σ₂) forment une subdivision notée σ₁ ∩ σ₂.
• (S, ⊂) est un ensemble partiellement ordonné.
• σ₁ ∪ σ₂ est la subdivision la moins fine contenant σ₁ et σ₂.
• σ₁ ∩ σ₂ est la subdivision la plus fine contenue dans σ₁ et σ₂.

Fonctions en escalier (constantes par morceaux)

• Une fonction f : [a, b] → K est en escalier s'il existe une subdivision σ = (x₀,...,xₙ) de [a, b] telle que, pour tout k ∈ [0, n - 1], la restriction de f sur ]xₖ, xₖ₊₁[ est constante.
• Dans ce cas, la subdivision σ est adaptée à f.
• L'ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] est noté E([a, b], K).

Propriétés des fonctions en escalier

• Une fonction constante est en escalier.
• La fonction partie entière restreinte a [a, b] est en escalier.
• La définition ne fait pas intervenir la valeur de f aux points de la subdivision.
• Toute subdivision σ' plus fine que σ est adaptée à f.
• Une fonction en escalier sur [a, b] est bornée sur [a, b].
• E([a, b], K) est stable par combinaison linéaire, par produit et par passage à l'inverse.
• E([a, b], K) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel (K[a,b], +, ·).
• Si f est en escalier sur [a, b], alors, pour tout réel c de ]a, b[, f est en escalier sur [a, c] et sur [c, b].
• Réciproquement, s'il existe un réel c de ]a, b[ tel que f soit en escalier sur [a, c] et sur [c, b], alors f est en escalier sur [a, b].

Fonctions continues par morceaux

• Une fonction f : [a, b] → K est continue par morceaux s'il existe une subdivision σ = (x₀,...,xₙ) de [a, b] telle que :
  • f est continue sur ]xₖ , xₖ₊₁[ pour tout k ∈ [0, n − 1] ;
  • la restriction de f sur ]xₖ , xₖ₊₁[ est prolongeable par continuité sur [xₖ , xₖ₊₁], pour tout k ∈ [0, n − 1].
  • Dans ce cas, la subdivision σ est dite adaptée à f.
  • L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] est noté CM([a, b], K).
• La valeur de f aux points de la subdivision n'intervient pas dans la définition.
• En chacun de ses points de discontinuité, une fonction continue par morceaux admet des limites à gauche et à droite dans K.

Propriétés des fonctions continues par morceaux

• Une fonction continue sur [a, b] est continue par morceaux sur [a, b].
• Une fonction en escalier sur [a, b] est continue par morceaux sur [a, b].
• La fonction définie sur [0,1] par f(x) = sin(1/x) si x ∈ ]0, 1] et f(x) = 0 si x = 0 n'est pas continue par morceaux sur [0, 1].
• CM([a, b], K) est stable par combinaison linéaire et par produit.
• CM([a, b], K) est un sous-espace vectoriel de (K[a,b], +, ·).
• Si f est continue par morceaux sur [a, b], alors, pour tout réel c de ]a, b[, f est continue par morceaux sur [a, c] et sur [c, b].

Norme infinie et distance uniforme

• Pour f ∈ CM([a, b], K), la norme infinie de f est |f|∞ et est le sup de |f(x)| pour x ∈ [a, b].
• La distance uniforme entre deux fonctions f et g ∈ CM([a, b], K), est || f - g ||∞. Elle est appelée la distance uniforme entre f et g.
• Une suite de fonctions (fn)n converge uniformément vers f sur [a, b] si lim || fn - f ||∞ = 0 quand n → ∞.
• Toute fonction continue par morceaux est bornée.

Théorème d'approximation uniforme

• Toute fonction continue par morceaux réelle (resp. complexe) sur [a, b] est la limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier réelles (resp. complexes) sur [a, b].
• Une fonction est dite continue par morceaux sur un intervalle I si f est continue par morceaux sur tout segment inclus dans I.

Construction de l'intégrale de Riemann

• Si f est une fonction en escalier sur [a, b] et si σ = (x₀,...,xₙ) est une subdivision de [a, b] adaptée à f, alors on pose Iₒ(f)=∑(xₖ₊₁-xₖ)fₖ
• Pour tout k∈ [0, n − 1], fk désigne la valeur de f sur l'intervalle ]xk, xk+1[
• Si o et σ' sont deux subdivisions de [a, b] adaptées à f, alors Iₒ(f)=Iₒ′(f)
• L'intégrale de f sur [a, b] , est notée ∫[a,b] f(t)dt, et définie par : ∫[a,b] f = Iₒ(f)

Intégrale d'une fonction en escalier

• Notation : On appelle intégrale de f sur [a,b] notée ∫[a,b]f(t)dt, et est définie par ∫[a,b]f=Iσ(f) = ∑ₖ(xₖ₊₁−xₖ)fₖ
• Les valeurs f(x₀),...,f(xₙ) n'interviennent pas dans la définition de l'intégrale d'une fonction en escalier ou , si on modifie les valeurs de f, la valeur de l'intégrale de f sur [a, b] n'est pas modifiée.

Interprétation géométrique de l'intégrale

• Soient f une fonction en escalier sur [a, b], à valeurs réelles positives et σ = (xₖ)0≤k≤n une subdivision adaptée à f. L'intégrale correspond à l'aire de la partie du plan située entre l'axe des abscisses et le graphe de f.

• Linéarité de l'intégrale des fonctions en escalier : ∀λ, μ ∈ K, on a

        ∫[a, b](λf + μg) = λ∫[a,b]f + μ∫[a,b]g.
  

• Positivité de l'intégrale des fonctions en escalier : si f ≥ 0 sur [a, b], alors ∫[a, b]f ≥ 0.

• Croissance de l'intégrale des fonctions en escalier : si f ≤ g sur [a, b], alors ∫[a, b]f ≤ ∫[a, b]g.

• Inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier : |∫[a, b]f| ≤ ∫[a, b]|f|.

• Relation de Chasles pour les fonctions en escalier : Pour tout c ∈ ]a, b[, on a ∫[a, b]f = ∫[a, c]f + ∫[c, b]f.

Lien avec parties réelle et imaginaire

• Soit f ∈ E([a, b], C).

    ∫[a, b]f = ∫[a, b]Re(f) + i∫[a, b]Im(f).
  

Intégrale d'une fonction continue par morceaux

• Pour toute suite (φₙ) de fonctions en escalier sur [a, b] qui converge uniformément vers f, la suite (∫[a, b]φₙ) converge vers un nombre l∈K qui ne dépend pas de la suite (φₙ) choisie.
• On appelle intégrale de f sur [a, b] le nombre noté ∫[a, b]f et défini par ∫[a, b]f = lim (n→+∞) ∫[a, b]φₙ, où (φₙ) est une suite de fonctions en escalier sur [a, b] qui converge uniformément vers f.
• Justifier l'existence d'une certaine intégrale sur [a, b] revient à justifier que la fonction intégrée est continue éventuellement par morceaux sur le segment concerné.

Propriétés de l'intégrale des fonctions continues par morceaux

• Relation de Chasles : ∀c ∈]a,b[, ∫[a, b]f = ∫[a, c]f + ∫[c, b]f.

• Lien avec parties réelle et imaginaire :

        ∫[a, b]f = ∫[a, b]Re(f) + i∫[a, b]Im(f).
  

• Soient f, g ∈ CM([a, b], K). Si f et g sont égales sur [a, b] sauf en un nombre fini de points, alors ∫[a, b]f = ∫[a, b]g.

• Positivité : Soit f ∈ CM([a, b], R). Si f ≥ 0 sur [a, b], alors ∫[a, b]f ≥ 0.

Fonction continue

• Soit f une fonction continue sur [a,b]. On sait que, pour tout ε > 0, il existe une fonction en escalier g approchant f à ε près sur [a, b].
• La moyenne arithmétique des valeurs prises par g est: ∫nₖ₌₀ g (xₖ)/n= (b−a)/n · ∑n−1ₖ g (xₖ) =1/(b−a)· ∫.
• La valeur moyenne de f est donc la limite de la suite des valeurs moyennes de g.

Valeur moyenne

• La valeur moyenne de f sur [a, b] est la constante qui a même intégrale que f sur [a, b].
• Le rectangle de côtés 1 et 1/3 a donc même aire que le domaine D={(x,y)∈ ℝ2; 0≤x≤1 et 0≤y≤x2}. Pour f :CM[a,b> l‘appele Moyenne de f sur [a,b]le réel
• INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ: ∫a,b ∫<∫2√∫2√,∫:∫∈ ∫[ ,b ]R∫∫∫≤∫√∫√≥,∫ est proportionelle,f∈ ∫[,b]√−∫∝,∫=ℎ

Calcul integral

• Primitives, soit,∫:∫→∫∫∈∫→∫≠=,pour f∫∫∈ √−∫∝
• ∫∫+(u∫)du>

Integrale des fonction du type ∫∫, pour ∫∈∫∫∈,si∈∫∫∈∫,si∈∫∫∈∫,∫≠=≠≠≠≠=,integrere

Dans ces fonction le peuvent ∫∫≤∫

Positivité strict ∫∈∫[, ]R∫fonction et >∫ >

Fonction reél continue croissante∫∫∫∫intégrale √∫∫∫2∫= intégrer

√+1<∫

Fonctions transcendantes formule de ∫ ou dérive l'intervalle intégrale ∫ln