Chapitre 1: Systèmes d'équations linéaires

Study Notes

Le document est un aperçu détaillé d'un chapitre sur l'algèbre linéaire et la géométrie analytique.

Une équation linéaire à n inconnues $x_1, x_2,..., x_n$ prend la forme : $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$, où $a_1, a_2,..., a_n, b$ sont des constantes.
Un système de m équations linéaires à n inconnues est un ensemble d'équations : $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \ \vdots \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$, où $a_{ij}$ et $b_i$ sont des constantes.
Une solution d'un système d'équations linéaires est un n-uplet $(s_1, s_2,..., s_n)$ qui satisfait toutes les équations.
L'ensemble de toutes les solutions d'un système d'équations linéaires est appelé l'ensemble des solutions du système.

Cas de 2 inconnues : Chaque équation linéaire représente une droite dans le plan.
- Si les droites sont sécantes, il existe une solution unique.
- Si les droites sont parallèles et distinctes, il n'en existe aucune.
- Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.
Cas de 3 inconnues : Chaque équation linéaire représente un plan dans l'espace.
- L'intersection de deux plans peut être une droite, un plan (si les plans sont identiques) ou l'ensemble vide (si les plans sont parallèles et distincts).
- L'intersection de trois plans peut être un point, une droite, un plan (si les trois plans sont identiques) ou l'ensemble vide.

Méthode de substitution : Exprimer une inconnue en fonction des autres, puis substituer cette expression dans les autres équations.
Méthode d'élimination gaussienne : Utilisez des opérations élémentaires, telles que multiplier une équation par une constante, ajouter un multiple d'une équation à une autre ou échanger deux équations, pour transformer le système en forme d'échelon.

Une matrice est définie comme un tableau rectangulaire de nombres.
Un vecteur est une matrice à une seule colonne.
La matrice des coefficients d'un système d'équations linéaires est formée par les coefficients des inconnues.
La matrice augmentée d'un système d'équations linéaires comprend la matrice des coefficients et la colonne des termes constants.
Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice consistent à multiplier une ligne par une constante, à ajouter un multiple d'une ligne à une autre et à échanger deux lignes.
Il existe une équivalence entre les systèmes d'équations linéaires et les opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée.

Un système d'équations linéaires est dit homogène si tous les termes constants sont nuls.
Un système homogène a toujours au moins une solution, la solution triviale (toutes les inconnues sont nulles).
Un système homogène peut avoir une infinité de solutions non triviales.