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Questions and Answers
Quelle est la définition de la matrice fondamentale d'une chaîne absorbante ?
Quelle est la définition de la matrice fondamentale d'une chaîne absorbante ?
- La matrice qui représente le temps moyen d'absorption pour chaque état non absorbant.
- La matrice N = (I − Q)−1, où I est la matrice identité et Q est la matrice des probabilités de transition entre les états non absorbants. (correct)
- La matrice qui représente les probabilités d'absorption par chaque état absorbant.
- La matrice qui représente les probabilités de transition entre les états absorbants.
Quelle est la formule pour calculer le nombre moyen de passages à l'état j (non absorbant) avant absorption, en partant de l'état i (non absorbant) ?
Quelle est la formule pour calculer le nombre moyen de passages à l'état j (non absorbant) avant absorption, en partant de l'état i (non absorbant) ?
- eij = (Q )ij
- eij = (P )ij
- eij = (R )ij
- eij = (N )ij (correct)
Comment calculer le nombre moyen d'étapes avant absorption en partant de l'état i (non absorbant) ?
Comment calculer le nombre moyen d'étapes avant absorption en partant de l'état i (non absorbant) ?
- En additionnant les termes de la i-ème ligne de la matrice N. (correct)
- En multipliant les termes de la i-ème ligne de la matrice N par les probabilités d'absorption.
- En additionnant les termes de la i-ème colonne de la matrice N.
- En divisant la somme des termes de la i-ème ligne de la matrice N par le nombre d'états non absorbants.
Quelle est la formule qui permet de calculer la probabilité d’absorption par l’état absorbant j sachant que l’on part de l’état i ?
Quelle est la formule qui permet de calculer la probabilité d’absorption par l’état absorbant j sachant que l’on part de l’état i ?
Quelle est la probabilité d'être absorbé par l'unique état absorbant, quel que soit l'état initial ?
Quelle est la probabilité d'être absorbé par l'unique état absorbant, quel que soit l'état initial ?
Si une chaîne de Markov possède plusieurs états absorbants, quelle est la probabilité d’être absorbé par un état absorbant spécifique, sachant que l’on part de l’état i ?
Si une chaîne de Markov possède plusieurs états absorbants, quelle est la probabilité d’être absorbé par un état absorbant spécifique, sachant que l’on part de l’état i ?
Quelle est la condition pour qu'une chaîne de Markov soit une chaîne absorbante ?
Quelle est la condition pour qu'une chaîne de Markov soit une chaîne absorbante ?
Quelle est la signification d'une classe d'états récurrents ?
Quelle est la signification d'une classe d'états récurrents ?
Quel est le taux d'arrivée des clients au guichet ?
Quel est le taux d'arrivée des clients au guichet ?
Quelle est la durée moyenne de service pour un client ?
Quelle est la durée moyenne de service pour un client ?
Si le nombre de clients devant un client dépasse 3, que se passe-t-il ?
Si le nombre de clients devant un client dépasse 3, que se passe-t-il ?
Quel est le modèle de file d'attente utilisé pour ce système ?
Quel est le modèle de file d'attente utilisé pour ce système ?
Quelle est la probabilité que certains clients soient perdus en raison d'une file d'attente pleine ?
Quelle est la probabilité que certains clients soient perdus en raison d'une file d'attente pleine ?
Quel est l'avantage principal de la simulation dans l'évaluation des performances des systèmes complexes ?
Quel est l'avantage principal de la simulation dans l'évaluation des performances des systèmes complexes ?
Quels sont les inconvénients de l'utilisation de la simulation ?
Quels sont les inconvénients de l'utilisation de la simulation ?
Comment se définissent les chaînes de Markov dans le contexte des probabilités ?
Comment se définissent les chaînes de Markov dans le contexte des probabilités ?
Quel problème la simulation aide-t-elle à résoudre dans l'évaluation des performances ?
Quel problème la simulation aide-t-elle à résoudre dans l'évaluation des performances ?
Quel est un exemple d'application des chaînes de Markov ?
Quel est un exemple d'application des chaînes de Markov ?
Pourquoi est-il difficile d'obtenir des solutions analytiques précises pour des systèmes complexes ?
Pourquoi est-il difficile d'obtenir des solutions analytiques précises pour des systèmes complexes ?
Quel est un des aspects négligés des inconvénients de la simulation ?
Quel est un des aspects négligés des inconvénients de la simulation ?
Quel est l'objectif principal lors de la détermination d'un état stable pour une chaîne de Markov ?
Quel est l'objectif principal lors de la détermination d'un état stable pour une chaîne de Markov ?
Quelle caractéristique définit les variables dans une chaîne de Markov ?
Quelle caractéristique définit les variables dans une chaîne de Markov ?
Quelle est la condition nécessaire pour que π soit considéré comme un état stable ?
Quelle est la condition nécessaire pour que π soit considéré comme un état stable ?
Dans la matrice de transition donnée, quelle est la probabilité de transition de l'état 1 à l'état 2 ?
Dans la matrice de transition donnée, quelle est la probabilité de transition de l'état 1 à l'état 2 ?
À quoi mène le passage à la limite pour une chaîne de Markov selon la proposition ?
À quoi mène le passage à la limite pour une chaîne de Markov selon la proposition ?
Si un état initial x0 influence le résultat final dans une chaîne de Markov, cela signifie que :
Si un état initial x0 influence le résultat final dans une chaîne de Markov, cela signifie que :
Quelle relation doit exister entre a et b si l'état stable est défini par π = (a, b) ?
Quelle relation doit exister entre a et b si l'état stable est défini par π = (a, b) ?
Dans la détermination d’un état stable, quel aspect peut être négligé selon la proposition ?
Dans la détermination d’un état stable, quel aspect peut être négligé selon la proposition ?
Si L = π est l'état stable, cela signifie que :
Si L = π est l'état stable, cela signifie que :
Quel est l'objectif principal de la validation d'un modèle de simulation?
Quel est l'objectif principal de la validation d'un modèle de simulation?
Quel est l'inconvénient des langages de programmation à usage général comme C, C++ et Java?
Quel est l'inconvénient des langages de programmation à usage général comme C, C++ et Java?
Pourquoi est-il important d'insérer de nombreux commentaires dans le code?
Pourquoi est-il important d'insérer de nombreux commentaires dans le code?
Quelles sont les étapes à suivre si les résultats de la validation ne sont pas satisfaisants?
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Qu'est-ce qui n'est pas une caractéristique des langages de programmation à usage général?
Qu'est-ce qui n'est pas une caractéristique des langages de programmation à usage général?
Quelle action doit être entreprise concernant les résultats de simulation?
Quelle action doit être entreprise concernant les résultats de simulation?
Quelles compétences sont nécessaires pour la génération d'écarts aléatoires dans la simulation?
Quelles compétences sont nécessaires pour la génération d'écarts aléatoires dans la simulation?
Quelle affirmation est incorrecte concernant le débogage d'un code?
Quelle affirmation est incorrecte concernant le débogage d'un code?
Quelle est la signification de "n" dans l'algorithme de simulation du processus de naissance et de mort ?
Quelle est la signification de "n" dans l'algorithme de simulation du processus de naissance et de mort ?
Quelle est la probabilité qu'une bactérie vivante à l'instant t donne naissance à une autre avant de mourir ?
Quelle est la probabilité qu'une bactérie vivante à l'instant t donne naissance à une autre avant de mourir ?
Dans le modèle de croissance de population de bactéries, quel est le paramètre qui représente l'intensité du processus de Poisson d'arrivée de nouvelles bactéries de l'extérieur ?
Dans le modèle de croissance de population de bactéries, quel est le paramètre qui représente l'intensité du processus de Poisson d'arrivée de nouvelles bactéries de l'extérieur ?
Quel est le processus qui modélise la durée de vie de chaque bactérie ?
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Quelle est la signification de la formule "t ←− t + (λ +µ )/n" dans l'algorithme ?
Quelle est la signification de la formule "t ←− t + (λ +µ )/n" dans l'algorithme ?
Comment l'algorithme gère-t-il le cas où il n'y a aucune bactérie dans la population (n = 0) ?
Comment l'algorithme gère-t-il le cas où il n'y a aucune bactérie dans la population (n = 0) ?
Quelle est la probabilité qu'une bactérie vivante à l'instant t meurt avant de donner naissance à une autre ?
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Quel est l'impact de l'augmentation du paramètre λ sur le comportement du processus de croissance de la population de bactéries ?
Quel est l'impact de l'augmentation du paramètre λ sur le comportement du processus de croissance de la population de bactéries ?
Flashcards
Simulation
Simulation
Une technique qui utilise un modèle virtuel d'un système pour étudier son comportement dans différentes configurations et charges de travail.
Avantages de la simulation
Avantages de la simulation
La simulation peut gérer des systèmes très complexes avec de nombreux composants qui interagissent.
Avantages de la simulation
Avantages de la simulation
La simulation permet d'expérimenter sans perturber les opérations du monde réel.
Avantages de la simulation
Avantages de la simulation
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Inconvénients de la simulation
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Inconvénients de la simulation
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Inconvénients de la simulation
Inconvénients de la simulation
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Utilité de la simulation
Utilité de la simulation
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État stable d'une chaîne de Markov
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Matrice de transition
Matrice de transition
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Equation de l'état stable
Equation de l'état stable
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Indépendance de l'état initial
Indépendance de l'état initial
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Chaîne de Markov homogène
Chaîne de Markov homogène
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Loi de Xn
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Convergence de la loi de Xn
Convergence de la loi de Xn
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Limite de la loi et état stable
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Qu'est-ce que la matrice fondamentale d'une chaîne absorbante ?
Qu'est-ce que la matrice fondamentale d'une chaîne absorbante ?
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Comment trouver le nombre moyen de passages à un état non absorbant avant absorption ?
Comment trouver le nombre moyen de passages à un état non absorbant avant absorption ?
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Comment calculer le nombre moyen d'étapes avant absorption ?
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Comment calculer la probabilité d'absorption dans une chaîne de Markov absorbante ?
Comment calculer la probabilité d'absorption dans une chaîne de Markov absorbante ?
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Quel est le nombre moyen d'étapes avant absorption en partant de l'état 1 ?
Quel est le nombre moyen d'étapes avant absorption en partant de l'état 1 ?
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Quelle est la probabilité d'absorption dans une chaîne de Markov absorbante avec un seul état absorbant ?
Quelle est la probabilité d'absorption dans une chaîne de Markov absorbante avec un seul état absorbant ?
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Qu'est-ce qu'une chaîne de Markov absorbante ?
Qu'est-ce qu'une chaîne de Markov absorbante ?
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Comment déterminer les classes d'états récurrents et transitoires ?
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Processus de naissance et de mort
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Algorithme de simulation de naissance et de mort
Algorithme de simulation de naissance et de mort
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Taux de naissance (λ)
Taux de naissance (λ)
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Taux de mort (µ)
Taux de mort (µ)
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Processus de Poisson
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Intensité du processus de Poisson (γ)
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Propriété sans mémoire
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Variable Xt
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Taux d’arrivée (λ)
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Temps de service moyen (1/µ)
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Taux d’utilisation (ρ)
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Temps d’attente moyen dans le système (W)
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Nombre moyen de clients dans le système (L)
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Validation du modèle de simulation
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Production et analyse des résultats
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Outils de simulation
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Langages de programmation à usage général
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Langages de programmation dédiés à la simulation
Langages de programmation dédiés à la simulation
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Logiciels de simulation visuelle
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Modèles de simulation basés sur les équations différentielles
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Modèles de simulation basés sur les chaînes de Markov
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Study Notes
Modélisation et Simulation
- Le sujet est une matière méthodologique couvrant les principes de base de la modélisation et simulation informatique.
- Son objectif est d'initier les étudiants aux concepts de base de la modélisation et de la simulation et de leur permettre d'acquérir des compétences pour mieux comprendre et améliorer les performances des systèmes.
- Les prérequis sont les probabilités et les statistiques.
Informations sur la matière : MS
- Semestre : 1er semestre de la première année Master Informatique (Tronc commun).
- Volume horaire hebdomadaire : 1h30 de cours et 1h30 de travaux pratiques (TP).
- Responsable de la matière : Dr. Bouras Ikram.
- Contact : [email protected]
- Bureau : 32.
- Évaluation : Examen (60%) et travaux pratiques (TP) (40%).
Le programme
- Chapitre 01 : Introduction à la modélisation et à la simulation.
- Chapitre 02 : Techniques d'évaluation des performances : Chaîne de Markov à temps discret.
- Chapitre 03 : Techniques d'évaluation des performances : Les Files d'attente.
- Chapitre 04 : La simulation.
- Chapitre 05 : Les outils de simulation.
Un système
- Un système est un ensemble de moyens et d'éléments (matériels, logiciels, naturels ou artificiels) organisés pour atteindre un objectif donné.
Exemples de systèmes
- Réseau de communication : Ensemble des ressources matérielles et logicielles utilisées pour la transmission et l'échange d'informations entre entités.
- Système d'armes : Ensemble des dispositifs mécaniques, électroniques et/ou logiciels permettant aux militaires d'accomplir une mission.
- Chaîne de production : Ensemble des opérations de fabrication nécessaires à la fabrication d'un produit.
Les caractéristiques d'un système
- Les composants qui le composent.
- Les relations entre ces composants.
- Son environnement.
- Sa mission (objectifs et raison d'être).
- Ses évolutions au cours du temps.
Exemple d'un système
- Une usine de production (main-d'œuvre, achats, approvisionnement, gestion des stocks, fabrication, ventes, ordonnancement de la production, administratif).
État du système
- À chaque instant, le système est dans un état défini par l'état de ses composants et des relations qui les relient.
- Cet état est décrit par les valeurs prises par les variables (e.g., nombre de clients en attente, nombre de clients en cours de service, état des serveurs).
- L'état du système change lorsque l'état ou les relations changent entre les composants.
- L'évolution du système au cours du temps est déterminée par la succession des états traversés et les valeurs des variables.
Types de systèmes
- Discret : Évolution à des instants discrets, espacés d'une durée constante (période d'échantillonnage). Exemple : arrivée d'un client à un guichet.
- Continu : Évolution continue au cours du temps. Exemple : croissance d'une population.
- Déterministe : Réagit toujours de la même façon à un événement, son évolution étant unique à partir d'un état donné. Exemple : un programme en mono-programmation.
- Probabiliste (stochastique) : Son comportement est décrit en termes de probabilité ; une marge d'erreur accompagne la prédiction du comportement. Exemple : Système de gestion de stocks.
La modélisation
- Une représentation mathématique, physique ou logique d'un système réel (physique, économique, humain).
- L'objectif est d'étudier un système et d'expliquer certains aspects de son comportement.
- C'est une alternative à l'étude directe du système lorsqu'il est inaccessible, trop coûteux ou change trop rapidement/lentement.
- L'étude est faite sur un modèle équivalent au système réel.
Avantages de manipuler un modèle
- Évite la construction d'un système inexistant ou les expériences directes sur un système existant.
- Supprime les problèmes de sécurité ou économiques qu'une expérience réelle pourrait causer.
Processus de modélisation
- Définir le système, ses objectifs et ses frontières.
- Déterminer le niveau de détails requis.
- Identifier des mesures de performances pertinentes.
- Développer le modèle.
- Exécuter des scénarios et évaluer les résultats.
- Implémentation du modèle / système.
La simulation
- Implémentation dynamique d'un modèle pour faire vivre le modèle en fonction du temps (ou d'autres variables).
- Traduction d'un modèle en programmes informatiques (algorithmes).
- Étude du comportement d'un système en faisant évoluer le modèle en fonction du temps.
- Permet de simuler des expériences sur un modèle plutôt que sur le système lui-même.
- Donne un contrôle sur le temps et permet de simuler des événements rares
Les étapes de la simulation
- Décrire le problème et les données
- Construire un modèle du problème
- Appliquer les données et formuler du code
- Vérifier les résultats
- Rejeter ou valider le modèle
Chapitre 02 : Évaluation des performances
- L'évaluation des performances vise à prédire le comportement d'un système
- Permet aux concepteurs de mesurer divers aspects du comportement du système (réactivité, débit, utilisation des ressources, évolutivité)
- Garantit que les systèmes répondent aux normes de performance requises et fournissent des résultats optimaux.
Outils d'évaluation des performances
- Méthodes mathématiques (modélisation analytique) : Utilise des modèles mathématiques pour représenter le système et prédire ses performances en fonction de paramètres connus ou supposés. (Rapide et efficace en calcul, mais limitée aux systèmes facilement modélisés)
- Simulation : Création d'un modèle virtuel du système pour effectuer des expériences et étudier son comportement dans différentes configurations. (Utile pour systèmes complexes mais plus coûteux en calcul)
Chaînes de Markov
- Suites de variables aléatoires où l'état futur dépend seulement de l'état présent (propriété de Markov).
- Représentées graphiquement par un diagramme de transition.
- Homogènes : Les probabilités de transition ne dépendent pas du temps.
- Matrices de transition : Matrice présentant les probabilités de transition entre les différents états.
Définition (Chaîne de Markov)
- Une suite (Xt)t∈N de variables aléatoires à valeurs dans un ensemble E
- L'état futur du processus ne dépend du passé que par l'état présent
- La suite (Xt, t>0) est une famille de v.a. à valeurs dans l'espace des états discret E par
- P(Xt+1= it+1 | Xt=it)
Etats récurrents et transients
- Etat récurrent : La probabilité de retourner à l'état j en un temps fini est égale à 1, partant de l'état j.
- Etat transient : La probabilité de retourner à l'état j en un temps fini est strictement inférieur à 1, partant de l'état j.
Classes récurrentes/transientes
- Proposition : Deux états communiquant sont tous les deux récurrents ou tous les deux transitifs.
- Définition : Une classe est récurrente si un de ses états est récurrent.
- Proposition : Une classe récurrente est fermée.
Loi d'une chaîne de Markov
- Une suite d'états (x1, x2,..., xm) définit un chemin de longueur m allant de x1 à xm dans le graphe associé à la chaîne de Markov
- P(x1, x2)...P(xm-1, xm)> 0 Définir la loi de Xn avec la loi initiale Ho
La loi de Xn
- On identifie une probabilité μ sur E et le vecteur ligne dont la ième coordonnée est μ(xi).
- Soit (Xt) est une chaîne de Markov de matrice de transition P, et soit μ0 la loi de Xo. Alors la loi de X₁ est donnée par : μ₁=μ0P, et pour tout entier t, la loi de Xt est μt+1 = μtP.
Périodicité
- Définition: Période d'un état, pour la chaîne de Markov homogène: pgcd des entiers t > 1 pour lesquels P(i,i) t > 0.
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Description
Ce quiz explore les concepts clés des chaînes de Markov, en se concentrant sur les chaînes absorbantes. Il couvre les définitions, formules, et probabilités associées pour comprendre le comportement de tels systèmes. Testez vos connaissances sur les états absorbants et leur impact sur le modèle de Markov.
