Ce este analiza Fourier?

• Analiza Fourier este un instrument matematic folosit pentru a descompune o funcție în componentele sale de frecvență.
• Permite divizarea unui semnal complex într-o serie de unde sinusoidale mai simple, cu frecvență, amplitudine și fază specifice.

Aplicații ale analizei Fourier

• Procesarea semnalelor: Filtrarea zgomotului, comprimarea datelor audio și video, analiza datelor seismice.
• Procesarea imaginilor: Îmbunătățirea calității, detectarea marginilor, comprimarea datelor.
• Fizică: Analiza undelor, rezolvarea ecuațiilor diferențiale, studiul mecanicii cuantice.
• Inginerie: Proiectarea filtrelor, analiza sistemelor de control, modelarea comportamentului circuitelor.

Tipuri de Transformate Fourier

• Transformata Fourier de Timp Continuu (CTFT): Pentru semnale continue în timp.
• Transformata Fourier de Timp Discret (DTFT): Pentru semnale discrete în timp.
• Seria Fourier (FS): Pentru semnale periodice.
• Transformata Discretă Fourier (DFT): Pentru semnale discrete și de durată finită, baza procesării digitale a semnalelor.

Transformata Discretă Fourier (DFT)

• Este o versiune a transformatei Fourier aplicată secvențelor discrete de lungime finită.
• Este fundamentală în procesarea digitală a semnalelor, deoarece computerele lucrează cu date discrete.

Formula DFT

• Transformă o secvență de N numere complexe $x_0, x_1,..., x_{N-1}$ într-o secvență de N numere complexe $X_0, X_1,..., X_{N-1}$.
• Formula: $X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi kn/N}$
  • $X_k$: al k-lea coeficient DFT
  • $x_n$: al n-lea valor de intrare
  • $N$: lungimea secvenței
  • $j$: unitatea imaginară

Formula Inversă DFT (IDFT)

• Transformă secvența $X_0, X_1,..., X_{N-1}$ înapoi în secvența originală $x_0, x_1,..., x_{N-1}$.
• Formula: $x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\pi kn/N}$

Proprietățile DFT

• Liniaritate: DFT a unei combinații liniare este aceeași combinație liniară a DFT-urilor individuale.
• Simetrie: Dacă semnalul de intrare este real, DFT are simetrie hermitiană.
• Deplasare în timp: Un decalaj în timp în semnalul original corespunde unei multiplicări cu o fază liniară în domeniul frecvenței.
• Convoluție: DFT transformă convoluția a două semnale în multiplicarea DFT-urilor lor.

Aplicațiile DFT

• Analiza spectrului: Identifică componentele de frecvență dintr-un semnal.
• Filtrarea digitală: Proiectează filtre care modifică spectrul semnalului.
• Compresia datelor: Baza algoritmilor de compresie audio și video (MP3, JPEG).

Exemplu DFT

• Semnal discret cu patru puncte: $x = [1, 2, 3, 4]$.
• Aplicând DFT: $X_k = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-j2\pi kn/4}$.
• Componentele:
  • $X_0 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
  • $X_1 = 1 - 2j - 3 + 4j = -2 + 2j$
  • $X_2 = 1 - 2 + 3 - 4 = -2$
  • $X_3 = 1 + 2j - 3 - 4j = -2 - 2j$
• DFT a semnalului $x$: $X = [10, -2 + 2j, -2, -2 - 2j]$.
• Transformă o secvență de timp în reprezentarea sa de frecvență.