Capítulo 1: Sistemas de Numeração

• Capítulo 1 trata de sistemas de numeração.

Números

• Pitágoras, filósofo e matemático grego, fundou a escola pitagórica de pensamento.
• Para Pitágoras, o número é a essência de tudo e existem 4 elementos no Universo: terra, água, ar e fogo.
• Pitágoras e seus discípulos se referiam a números, não a numerais.
• Número é a ideia de quantidade, enquanto numeral é a representação dessa quantidade.
• Numeral é qualquer representação de um número, seja escrita, falada ou digitada.
• Diferentes numerais podem representar o mesmo número, como "XX" em algarismos romanos, "20" em indo-arábicos, e "vinte" em português.

Você Sabia?

• Os números têm várias funções, como medir, codificar, ordenar e colecionar.
• Utilizar números é essencial para quantificar elementos em coleções.

O surgimento dos números

• O conceito de número é fundamental na matemática e levou muito tempo para ser construído.
• Inicialmente não havia esse conceito e os números eram nomes, como "três pedras" ou "três homens".
• Mais tarde, os números foram separados dos objetos e tornaram-se abstratos, criando assim os sistemas numéricos.
• Na Pré-História, os seres humanos representavam a quantidade de animais caçados através de pinturas.
• Com o passar do tempo, essas imagens foram se transformando em numerais.
• O comércio e a divisão de alimentos nas primeiras cidades impulsionaram o desenvolvimento da matemática.
• Cones de argila para contagens foram substituídos por marcas em placas de argila, contribuindo para a origem da escrita.
• Sistemas de numeração surgiram para organizar algarismos e criar símbolos para representar quantidades maiores.
• Evidências arqueológicas indicam que o homem já era capaz de contar há 50.000 anos.
• A necessidade de contar objetos deu origem ao número natural.
• Todas as civilizações que criaram alguma forma de linguagem escrita desenvolveram símbolos para o número natural.

Você Sabia?

• A história dos sinais de numeração é tão longa quanto a da escrita.
• O processo de aquisição dos números, por parte das crianças, está para toda a sua aprendizagem futura da Matemática.
• Esse processo se inicia pela contagem.
• Crianças de 3 a 5 anos, ao contarem uma coleção de objetos, "recitam" números muitas vezes "saltando" alguns e repetindo outros.

Educação Infantil não é só brincadeira

• "Desde que nascem, as crianças começam a aprender – e elas não pedem licença".
• Estudos demonstram que não se deve subestimar nem superestimar o aluno.
• Existem duas perspectivas no Ensino Infantil: uma trabalha apenas com brincadeiras e a outra funciona semelhante a um curso preparatório para o primeiro ano do Fundamental.
• Buscar um caminho do meio, uma Educação Infantil onde a criança possa aprender brincando.

Os animais e a noção de número

• A matemática não é exclusiva dos seres humanos.
• Pássaros como corvos e rouxinóis demonstram habilidades matemáticas quando testados.
• Corvos conseguem diferenciar um número exato de componentes até quatro.
• A professora Irene Pepperberg demonstrou que papagaios conseguem diferenciar números.
• Animais como galinhas, abelhas e macacos podem diferenciar números e realizar operações matemáticas.

Você Sabia?

• Os Algarismos indo-arábicos foram criados e desenvolvidos pela civilização do vale do Indo (região do Paquistão).
• O sistema numérico arábico é um dos avanços mais importantes da matemática.
• A maioria dos historiadores concorda que a sua origem foi na india.
• Esse sistema de numeração é chamado de "número indiano" em árabe.
• Expandiu-se pelo mundo islâmico e, via al-Andalus, para o resto da Europa.

Sistemas de numeração romano

• Roma foi organizada política e arquitetonicamente, mas tinha um sistema numérico pouco prático para operações aritméticas.
• Há poucos matemáticos romanos de destaque.
• Hoje, o uso do sistema de numeração romano é específico para algumas situações.
• Utilizada em relógios e nomes de papas e reis.
• Também para indicar séculos e em publicações.
• As letras maiúsculas do alfabeto latino representam os numerais romanos.
• I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Regras para formar outros numerais romanos combinando símbolos

• É permitido repetir os algarismos I, X, C e M até três vezes.
• II = 2, XXX = 30
• Quando um símbolo de menor valor está à direita de um símbolo de maior valor, eles devem ser adicionados.
• VI = 6, XV = 15
• Subtrai-se o valor do primeiro no segundo quando: I está à esquerda de V ou X, X está à esquerda de L ou C, e C está à esquerda de D ou M.
• IX = 9, XC = 90

Leitura e escrita de séculos

• Para ler um século, observe o término do número.
• Se terminar em 00, retire os dois zeros e o número restante indica o século (ex: 1800 d.C. = séc. XVIII).
• Se não terminar em 00, acrescente uma unidade ao número restante após a retirada dos 2 últimos algarismos (ex: 1593 d.C. = séc. XVI, 15 + 1 = 16).
• Exemplos: o ano 1790 d.C. é representado pelo séc. XVIII, pois 17 + 1 = 18 e o ano 930 d.C. é representado pelo séc. X, pois 9 + 1 = 10.

Ler números a partir de 4.000 em romano

• Para escrever números acima de 4.000, basta colocar traços horizontais sobre as letras.
• Cada traço indica que o algarismo deve ser multiplicado por 1.000.
• V = 5 x 1.000 = 5.000, VII = 7 x 1.000 = 7.000, IV = 4 x 1.000.000 = 4.000.000, IX= 4 x 1.000.000 + 10 x 1.000 = 4.010.000.

Para analisar:

• Alguns sistemas de numeração têm mais de 5.000 anos.
• Uma grande diferença entre eles é que uns são posicionais e outros não.
• No sistema de numeração posicional, o valor de cada algarismo depende da posição que ele ocupa.
• Exemplo: 1 → representa 1 unidade, 10 → representa 10 unidades, 100 → representa 100 unidades.
• No sistema egípcio, a posição do algarismo não muda o número: Nl ou IN simbolizam o número onze.
• No sistema de numeração romano, XI simboliza onze e IX simboliza nove.
• O romano é um sistema posicional como o nosso, no qual 23 é diferente de 32.

Amplie o conhecimento

• Povos antigos contavam com os ábacos.
• Para explicar, vamos recorrer a um ábaco bem simples, contendo 5 pinos de arame verticais.
• A cada unidade, colocamos uma peça no primeiro pino.
• Quando completamos 10 peças no primeiro pino, substituímos por uma única peça no segundo pino.
• Cada peça que estiver no segundo pino fica equivalente a 10 peças no primeiro ou 10¹ peças.
• Repetimos tudo no segundo pino e, quando tivermos 10 peças, trocamos por uma única no terceiro pino.
• Uma peça do terceiro pino equivalente a 10 do segundo ou 102, ou seja, 100 do primeiro.

O sistema indo-árabico, ou decimal

• Baseado nas seguintes regras: Utilizamos apenas 10 símbolos para escrever qualquer número (0-9).
• Dez unidades de uma ordem formam uma ordem imediatamente superior à esquerda.
• Consideramos a posição do algarismo para saber quantas unidades representa (sistema posicional).
• Ex: 5 pode representar 50 (2° ordem) ou 500 (3° ordem).
• O zero representa a ausência de elementos na ordem que aparece.
• Cada grupo de três ordens é chamado de classe.

Classes

• Unidade, Dezena, Centena de bilhão / milhão / milhar
• A ordem é infinita
• Exemplo de Leitura e decomposição de números: 132.400.000
• O matemático árabe Mohammed Ibn Musa al-Khwarizmi (780-850 d.C.) escreveu um livro explicando detalhadamente os cálculos hindus.
• Os símbolos indo-arábicos fossem chamados de algarismos em sua homenagem.
• O sistema de escrita em relevo conhecido pelo nome de braille é constituído por 63 sinais formados por pontos a partir do conjunto matricial 123456.
• Esse conjunto de 6 pontos chama-se sinal fundamental.
• O espaço por ele ocupado, ou por qualquer outro sinal, denomina-se cela braille.
• Para facilmente se identificarem e se estabelecer exatamente a sua posição relativa, os pontos são numerados de cima para baixo e da esquerda para a direita.
• Os três pontos que formam a coluna ou fila vertical esquerda têm números 1, 2, 3; aos que compõem a coluna ou fila vertical direita, cabem os números 4, 5, 6.
• Os números dos pontos dos sinais braille escrevem-se consecutivamente, com o sinal de número apenas antes do primeiro ponto de cada cela.

Os números naturais

• Obtemos o conjunto dos números naturais iniciando com o zero e acrescentando sempre uma unidade: 0, 1, 2, 3...
• São infinitos, como indicam as reticências.
• Tamanho do subconjunto depende da quantidade de alunos na turma.
• Subconjunto A é uma parte do conjunto B.
• Antecessor e sucessor: todos os números possuem um sucessor, mas o zero não tem antecessor.
• Se dois ou mais números aparecem em sequência, dizemos que são números consecutivos.
• O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN.
• asterisco simboliza a exclusão do zero: IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6... 100...).
• O conjunto dos números naturais ou até outro conjunto qualquer é representado entre chaves.

Podemos generalizar os elementos chamando-os de X

• X é maior que 5 (X>5) = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...).
• X é maior que 5 e menor que 10 (510), escrevemos XE IN/5 ≤ X ≤ 10 (X pertence aos naturais tal que X é maior ou igual a 5 e menor ou igual a 10).

Os números naturais e a reta numérica

• Números são usados para representar quantidades de forma gráfica.
• A reta numérica é simplesmente uma linha em que se encontram, de certa maneira, os números.
• Distribuímos os números em ordem crescente de forma que exista sempre a mesma distância.