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Questions and Answers

Quel est le résultat de l'intégrale de $rac{ ext{dz}}{1+i2}$ ?

  • -1
  • 13 (correct)
  • 0
  • 1

    • Selon le théorème 4.4.1, que représente la fonction complexe F(z) ?

  • Une fonction non-holomorphe
  • Le potentiel d'un champ de vecteurs
  • La somme des points z1 et z2
  • La dérivée de la fonction holomorphe f(z) (correct)

    • Que représente l'équation paramétrique z(t) = x(t) + iy(t) dans le théorème 4.4.4 ?

  • Un domaine connexe
  • Un chemin dans l'espace complexe (correct)
  • La dérivée d'une fonction continue
  • Une fonction holomorphe

    • Que représente l'intégrale de $ ext{cos}(z)$ selon l'exemple 4.4.3 ?

    <p>$2i ext{sinh}( ext{π})$</p> Signup and view all the answers

    Dans quel cas le théorème 4.4.4 est-il utilisé selon la remarque 4.4.5 ?

    <p>Si f(z) n'est pas holomorphe</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que le théorème 4.4.1 généralise, selon la remarque 4.4.2 ?

    <p>$F(b) - F(a)$</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition pour qu'une fonction f soit holomorphe sur un ouvert V ?

    <p>Être dérivable en tout point de V</p> Signup and view all the answers

    Que signifie le terme 'holomorphe' par rapport à une fonction f en z0 ?

    <p>La fonction f est dérivable en z0.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la conséquence des conditions de Cauchy-Riemann pour une fonction f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ?

    <p>Les dérivées partielles existent et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann.</p> Signup and view all the answers

    Comment se calcule la dérivée de la fonction f(z) = z^2 selon l'exemple 2.1.10 ?

    <p>f'(z) = 2z</p> Signup and view all the answers

    Pourquoi la fonction f(z) = z n'est-elle pas dérivable en tout point de C ?

    <p>(z+∆z) - z ne tend pas vers 0 quand ∆z tend vers 0.</p> Signup and view all the answers

    Comment s'exprime la dérivée du produit de deux fonctions f et g selon la proposition 2.1.11 ?

    <p>(f * g)'(z) = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)</p> Signup and view all the answers

    Quelle est l'expression pour déterminer la dérivée f'(z0) d'une fonction f(z) selon le texte ?

    <p>f'(z0) = ∂u(x0, y0) / ∂v(x0, y0) + i ∂x / ∂x</p> Signup and view all the answers

    Quelles conditions doivent être satisfaites pour qu'une fonction soit holomorphe en z0 ?

    <p>Les dérivées partielles doivent être continues sur un voisinage de z0.</p> Signup and view all the answers

    Comment détermine-t-on si une fonction est dérivable en z0 selon le texte ?

    <p>En évaluant les dérivées partielles pour x = x0 et y = y0.</p> Signup and view all the answers

    Quelle conséquence découle du fait que les dérivées partielles ne sont pas continues sur un voisinage de z0 ?

    <p>La fonction n'est pas dérivable en z.</p> Signup and view all the answers

    Comment peut-on confirmer que la fonction f(z) = z n'est pas dérivable en z0 selon le texte ?

    <p>En vérifiant que les dérivées partielles sont égales à 1.</p> Signup and view all the answers

    Pourquoi la réciproque du Théorème 2.3.1 n'est-elle pas toujours vraie selon le texte ?

    <p>Parce que la continuité des dérivées partielles n'implique pas toujours la différentiabilité de la fonction.</p> Signup and view all the answers

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