Calculs de probabilités : rappels importants

Partie 1 : Rappels sur les calculs de probabilités

• Une expérience aléatoire a plusieurs résultats ou issues et son résultat ne peut être prédit avec certitude
• L'ensemble de toutes les issues d'une expérience est appelé l'univers

Événement

• Un événement est constitué d'une ou plusieurs issues d'une même expérience aléatoire
• « Obtenir un chiffre pair » en lançant un dé à six faces est l'événement constitué des issues 2, 4 et 6
• « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 » est l'événement constitué des issues 1 et 2

Probabilité

• La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1 qui exprime la chance que cet événement se produise
• Une probabilité de 0,8 signifie 8 chances sur 10, ou 80% de chances que l'événement se produise
• Un événement impossible a une probabilité de 0
• Un événement certain a une probabilité de 1
• L'équiprobabilité se produit lorsque chaque issue a la même chance de se produire

Calcul de probabilité en cas d'équiprobabilité

• Définition: P(A) = (Nombre d'issues favorables à A) / (Nombre d'issues total)
• En lançant un dé à 6 faces, les événements E (« Obtenir un 3 »), F (« Obtenir un chiffre pair ») et G (« Obtenir un chiffre strictement supérieur à 3 ») ont des probabilités différentes
• P(E) = 1/6, car il y a une seule issue favorable (3) sur six issues possibles
• P(F) = 3/6 = 1/2, car il y a trois issues favorables (2, 4, 6) sur six
• P(G) = 3/6 = 1/2, car il y a trois issues favorables (4, 5, 6) sur six
• Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer un as (événement E) est de 4/32 = 1/8, car il y a 4 as parmi les 32 cartes

Partie 2 : Événement contraire, réunion, intersection

• L'événement contraire de A (𝐴̅), est l'ensemble des issues qui n'appartiennent pas à A
• L'événement contraire de « Obtenir un chiffre pair » est « Obtenir un chiffre impair » lors du lancer d'un dé
• L'événement contraire de « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 » est d'obtenir 3, 4, 5 ou 6
• La probabilité de l'événement contraire d'un événement A est: P(𝐴̅) = 1 − P(A)
• Si la probabilité de gagner au tennis contre Evelyne est de 0,2, la probabilité de perdre (l'événement contraire) est de 0,8

Loi de probabilité

• Une loi de probabilité présente les probabilités de toutes les issues d'une expérience
• La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1

Utilisation d'une loi de probabilité

• Pour compléter le tableau de probabilité: Étant donné un sac avec des jetons numérotés de 1 à 5, si P(1) = 1/15, P(2) = 4/15, P(4) = 3/15, P(5) = 4/15, alors P(3) = 1 - (1/15 + 4/15 + 3/15 + 4/15) = 3/15 = 1/5
• Pour calculer des probabilités: P(tirer un chiffre pair) = P(2) + P(4) = 4/15 + 3/15 = 7/15
• Pour calculer l'évènement contraire: P(ne pas tirer un chiffre pair) = 1 - P(tirer un chiffre pair) = 1 - 7/15 = 8/15

Réunion et intersection de deux événements

• Définitions:
  • Si A = {1 ; 2} et B = {1 ; 3 ; 4}, alors A ∩ B = {1} et A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4}

Calcul de la probabilité d'une intersection

• Si A est l'événement « Obtenir un multiple de 2 » et B est l'événement « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » lors du lancer d'un dé à six faces
• A ∩ B est l'événement « Obtenir un multiple de 2 inférieur ou égal à 4 »
• Les issues de A sont {2 ; 4 ; 6}, les issues de B sont {1 ; 2 ; 3 ; 4}, et les issues de A ∩ B sont {2 ; 4}
• P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 4/6 = 2/3, et P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3

Théorème

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• Si A est l'événement « Obtenir un nombre impair » et B est l'événement « Obtenir un multiple de 3 », alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3, P(A ∩ B) = 1/6
• P(A ∪ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 4/6 = 2/3

Partie 3 : Arbre des possibles

• Un arbre des possibles est une représentation schématique des issues d'une expérience
• Exemple:
  • Dans un sac avec un jeton bleu, un rouge, un jaune et un vert, l'arbre des possibles montre ces quatre issues

Utilisation d'un arbre des possibles

• En lançant une pièce de monnaie deux fois de suite, on peut utiliser un arbre pour visualiser toutes les issues possibles
• Si E est l'événement « On obtient au moins une fois PILE », l'arbre aide à calculer P(E)
• 1er niveau de l'arbre: issues du 1er lancer
• 2e niveau de l'arbre: issues du 2e lancer
• II y a 4 issues en tout: (P ; P), (P ; F), (F ; P) et (F ; F).
• L'événement E contient 3 issues: (P ; P), (P ; F) et (F ; P).
• P(E) = 3/4
• Une autre façon de calculer est de calculer la probabilité de l'évènement contraire "On obtient deux fois FACE"