Cálculo: Vectores en el Espacio 3D

Cálculo Avanzado I

Capítulo 1: Álgebra Vectorial

1.1 Vectores en el Espacio 3D

• Un vector es un segmento de línea dirigido, caracterizado por su magnitud (longitud) y dirección.
• La notación de un vector es $\vec{a}$ o a.
• La magnitud de un vector se denota como $|\vec{a}|$ o $||a||$.

Operaciones con Vectores

• Adición: $\vec{a} + \vec{b}$
• Multiplicación Escalar: $c\vec{a}$

Propiedades de las Operaciones con Vectores

• Sean $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ vectores y $k, l$ escalares:
  • Ley Conmutativa: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
  • Ley Asociativa: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$
  • Identidad Aditiva: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
  • Inverso Aditivo: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$
  • Ley Asociativa: $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$
  • Ley Distributiva: $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$
  • Ley Distributiva: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
  • Identidad Multiplicativa: $1\vec{a} = \vec{a}$

Forma de Componentes

• $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
• $\hat{i} = \langle 1, 0, 0 \rangle$, $\hat{j} = \langle 0, 1, 0 \rangle$ y $\hat{k} = \langle 0, 0, 1 \rangle$ son los vectores base estándar.

Magnitud en Forma de Componentes

• Si $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$, entonces $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$.

Vector Unitario

• Un vector con magnitud 1.
• Un vector unitario en la dirección de $\vec{a}$ se calcula $\hat{u} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$.

1.2 Producto Punto

Definición

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$.

Forma de Componentes

• Si $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ y $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$, entonces $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

Propiedades del Producto Punto

• Ley Conmutativa: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• Ley Distributiva: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
• $(c\vec{a}) \cdot \vec{b} = c(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (c\vec{b})$
• $\vec{0} \cdot \vec{a} = 0$
• $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Aplicaciones

• Ángulo entre Dos Vectores: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
• Vectores Ortogonales: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Proyección Vectorial de $\vec{b}$ sobre $\vec{a}$: $proj_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$

Proyección Escalar de $\vec{b}$ sobre $\vec{a}$

• $comp_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$

1.3 Producto Cruz

Definición

• $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \hat{n}$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$, y $\hat{n}$ es un vector unitario perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ siguiendo la regla de la mano derecha.

Forma de Componentes

• Si $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ y $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$, entonces
• $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k}$.

Propiedades del Producto Cruz

• Anti-conmutativa: $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$
• Distributiva: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
• $(c\vec{a}) \times \vec{b} = c(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (c\vec{b})$
• $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
• $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$
• $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$

Aplicaciones

• Área del Paralelogramo: $|\vec{a} \times \vec{b}|$
• Volumen del Paralelepípedo: $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$

1.4 Ecuaciones de Líneas y Planos

Líneas

• Ecuación Vectorial: $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v}$, donde $\vec{r}$ es el vector de posición de cualquier punto en la línea, $\vec{r_0}$ es el vector de posición de un punto conocido en la línea, $\vec{v}$ es el vector de dirección, y $t$ es un parámetro.
• Ecuaciones Paramétricas:
  • $x = x_0 + at$
  • $y = y_0 + bt$
  • $z = z_0 + ct$
  • donde $\vec{v} = \langle a, b, c \rangle$

Planos

• Ecuación Vectorial: $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0$, donde $\vec{n}$ es el vector normal al plano, $\vec{r}$ es el vector de posición de cualquier punto en el plano, y $\vec{r_0}$ es el vector de posición de un punto conocido en el plano.
• Ecuación Escalar: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, donde $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$.
• Ecuación General: $ax + by + cz + d = 0$.

1.5 Superficies Cuádricas