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Questions and Answers
Qual a integral que representa o volume do sólido de revolução?
Qual a integral que representa o volume do sólido de revolução?
$\int_{0}^{1} \pi [(2-(x^3 + 1))^2 - (2-(x/2 + 3/2))^2] dx + \int_{1}^{2} \pi [(2-(x/2 + 3/2))^2 - (2-(-x/2 + 1))^2] dx$
Quais são os pontos de intersecção das curvas que delimitam a região S?
Quais são os pontos de intersecção das curvas que delimitam a região S?
(0, 1) e (1, 2)
Qual o método de integração utilizado para calcular o volume?
Qual o método de integração utilizado para calcular o volume?
Método das cascas cilíndricas.
Explique o significado do termo $(2 - (x^3 + 1))^2$ na integral.
Explique o significado do termo $(2 - (x^3 + 1))^2$ na integral.
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O que acontece com o volume do sólido se o eixo de rotação for movido para x = 3?
O que acontece com o volume do sólido se o eixo de rotação for movido para x = 3?
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Study Notes
Definição da região S
- A região S é delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x/2 + 3/2, e y = -x/2 + 1.
- É necessário encontrar os pontos de intersecção entre as curvas para definir os limites de integração.
Pontos de intersecção
- Para encontrar os pontos de intersecção entre y = x³ + 1 e y = x/2 + 3/2, igualamos as duas equações: x³ + 1 = x/2 + 3/2 x³ - x/2 = 1/2 Resolvendo numericamente (ou graficamente), encontramos aproximadamente x ≈ 0.5.
- Para encontrar os pontos de intersecção entre y = x³ + 1 e y = -x/2 + 1, igualamos as duas equações: x³ + 1 = -x/2 + 1 x³ + x/2 = 0 x(x² + 1/2) = 0 A solução é x = 0.
- Para encontrar os pontos de intersecção entre y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1, igualamos as duas equações: x/2 + 3/2 = -x/2 + 1 x = -x/2 + 1/2 x = -1 2x = -x + 1 3x = 1 → x = 1/3
Limites de integração
- Com base nos pontos de intersecção, os limites de integração serão aproximadamente de -1 a 0.5. Mais precisão requer encontrar os pontos exatos usando métodos analíticos ou numéricos.
Método de integração
-
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo x = 2, usaremos o método de integração por discos, adaptada para o eixo vertical, e a fórmula:
V = ∫[f(x) - (-g(x))]² *π dx
-
onde: V é o volume f(x) = distância da curva superior a x=2 g(x) = distância da curva inferior a x=2
Expressão para o cálculo do volume
- Para cada ponto x entre os limites de integração definidos, o raio do disco circular que compõe o volume será dado pela distância perpendicular a x=2 das duas curvas que limitam a região rotacionada.
- Portanto, f(x) = |2 - x³ - 1| e g(x) = | 2 - (x/2 + 3/2)|
- O cálculo final implica em determinar f(x) e g(x) pelos valores absolutos das suas perpendiculares para o eixo x=2.
Cálculo da integral
-
Substituindo as expressões de f(x) e g(x) na fórmula do método dos discos (em torno de x=2), temos:
V = π∫-10.5 [(|2 - (x³ + 1)|)² − (|2 - (x/2 + 3/2)|)²] dx
-
O cálculo da integral resultante precisa obter os valores absolutos das expressões para f(x) e g(x). A avaliação matemática completa da integral usando as expressões fornecidas, e métodos analíticos ou numéricos determina o valor do volume.
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Para o cálculo preciso, será necessário encontrar as expressões explícitas para f(x) e g(x), em relação à distância a partir da curva em questão ao eixo x = 2.
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Somente após obter as expressões de f(x) e g(x), substituí-las na expressão da integral, calcular os limites da integral adequadamente e resolvê-la numericamente, obtendo um valor numérico preciso para o volume.
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Description
Neste quiz, você irá explorar a definição da região S delimitada por curvas. Aprenda a calcular os pontos de interseção entre as funções e a determinar os limites de integração. Teste seus conhecimentos sobre o cálculo de áreas sob curvas!
