Cálculo: Interseções e Limites de Integração

Definição da região S

• A região S é delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x/2 + 3/2, e y = -x/2 + 1.
• É necessário encontrar os pontos de intersecção entre as curvas para definir os limites de integração.

Pontos de intersecção

• Para encontrar os pontos de intersecção entre y = x³ + 1 e y = x/2 + 3/2, igualamos as duas equações: x³ + 1 = x/2 + 3/2 x³ - x/2 = 1/2 Resolvendo numericamente (ou graficamente), encontramos aproximadamente x ≈ 0.5.
• Para encontrar os pontos de intersecção entre y = x³ + 1 e y = -x/2 + 1, igualamos as duas equações: x³ + 1 = -x/2 + 1 x³ + x/2 = 0 x(x² + 1/2) = 0 A solução é x = 0.
• Para encontrar os pontos de intersecção entre y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1, igualamos as duas equações: x/2 + 3/2 = -x/2 + 1 x = -x/2 + 1/2 x = -1 2x = -x + 1 3x = 1 → x = 1/3

Limites de integração

• Com base nos pontos de intersecção, os limites de integração serão aproximadamente de -1 a 0.5. Mais precisão requer encontrar os pontos exatos usando métodos analíticos ou numéricos.

Método de integração

• Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo x = 2, usaremos o método de integração por discos, adaptada para o eixo vertical, e a fórmula:

  V = ∫[f(x) - (-g(x))]² *π dx

• onde: V é o volume f(x) = distância da curva superior a x=2 g(x) = distância da curva inferior a x=2

Expressão para o cálculo do volume

• Para cada ponto x entre os limites de integração definidos, o raio do disco circular que compõe o volume será dado pela distância perpendicular a x=2 das duas curvas que limitam a região rotacionada.
• Portanto, f(x) = |2 - x³ - 1| e g(x) = | 2 - (x/2 + 3/2)|
• O cálculo final implica em determinar f(x) e g(x) pelos valores absolutos das suas perpendiculares para o eixo x=2.

Cálculo da integral

• Substituindo as expressões de f(x) e g(x) na fórmula do método dos discos (em torno de x=2), temos:

  V = π∫_-1^0.5 [(|2 - (x³ + 1)|)² − (|2 - (x/2 + 3/2)|)²] dx

• O cálculo da integral resultante precisa obter os valores absolutos das expressões para f(x) e g(x). A avaliação matemática completa da integral usando as expressões fornecidas, e métodos analíticos ou numéricos determina o valor do volume.

• Para o cálculo preciso, será necessário encontrar as expressões explícitas para f(x) e g(x), em relação à distância a partir da curva em questão ao eixo x = 2.

• Somente após obter as expressões de f(x) e g(x), substituí-las na expressão da integral, calcular os limites da integral adequadamente e resolvê-la numericamente, obtendo um valor numérico preciso para o volume.