Cálculo I: Límites de funciones

Cálculo I

Sección 1.1

• Para una función $f$ dada por su gráfica, se debe determinar el valor de límites y el valor de la función en un punto.

• Si el límite no existe, se debe explicar la razón.

• Ejemplo:

  • (a) $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$

  • (b) $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = 2$

  • (c) $\lim_{x \to 3^{+}} f(x)$ no existe.

  • (d) $\lim_{x \to 3} f(x) = 3$

  • (e) $f(3)$ no existe.

• Esbozar la gráfica de una función definida a trozos y determinar los valores de $a$ para los cuales $\lim_{x \to a} f(x)$ existe.

• La función dada es:

$$ f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{si } x < 2 \ x - 2, & \text{si } x \geq 2 \end{cases} $$

Sección 1.2

• Calcular los siguientes límites si existen:

  • (a) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} = -3$

  • (b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} = 0$

  • (c) $\lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^3 - 8}{h} = 12$

  • (d) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2x}}{x^2 - 2x} = -\frac{1}{8} \sqrt{2}$

  • (e) $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

Sección 1.3

• Determinar si las siguientes funciones son continuas en el punto dado:

  • (a)

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}, & \text{si } x \neq 2 \ 1, & \text{si } x = 2 \end{cases} \quad \text{en } x = 2 $$

Es discontinua. - (b)

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}, & \text{si } x \neq 2 \ 5, & \text{si } x = 2 \end{cases} \quad \text{en } x = 2 $$

Es continua. - (c) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ en $x = 1$ Es discontinua.

• Encontrar los valores de $a$ y $b$ que hacen que $f$ sea continua en todos los puntos:

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & \text{si } x < 2 \ ax^2 - bx + 3, & \text{si } 2 \le x < 3 \ 2x - a + b, & \text{si } x \geq 3 \end{cases} $$

La solución es $a = 1, b = 3$.

Sección 1.5

• Encontrar la derivada de la función $f(x) = x^2 - 8x + 9$ en el número $a$.
• $f'(a) = 2a - 8$
• Encontrar una ecuación de la recta tangente a la parábola $y = x^2 - 8x + 9$ en el punto $(3, -6)$.
• La solución es $y = -2x$
• Encontrar $f'(x)$ desde la primera definición, donde $f(x) = \sqrt{3 - x}$.
• $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = -\frac{1}{2\sqrt{3 - x}}$