Cálculo: Guía de Derivadas e Integrales

Cálculo: Hoja de trucos

• Se presenta una guía concisa de derivadas e integrales, incluyendo propiedades, fórmulas básicas y derivadas/integrales comunes.

Derivadas

• Sea $f$ y $g$ funciones diferenciables y $c$ una constante.

Propiedades y Fórmulas Básicas

• $(cf)' = cf'$
• $(f \pm g)' = f' \pm g'$
• $(fg)' = f'g + fg'$ (Regla del Producto)
• $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ (Regla del Cociente)
• $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$ (Regla de la Cadena)

Derivadas Comunes

• $\frac{d}{dx}(c) = 0$
• $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x\ln(a)$
• $\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}, x>0$
• $\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$
• $\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$
• $\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$
• $\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x)$
• $\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x)$
• $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x)$

Variantes de la Regla de la Cadena

• $\frac{d}{dx}([f(x)]^n) = n[f(x)]^{n-1} f'(x)$
• $\frac{d}{dx}(e^{f(x)}) = f'(x)e^{f(x)}$
• $\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{f'(x)}{f(x)}$
• $\frac{d}{dx}(\sin(f(x))) = f'(x)\cos(f(x))$
• $\frac{d}{dx}(\cos(f(x))) = -f'(x)\sin(f(x))$
• $\frac{d}{dx}(\tan(f(x))) = f'(x)\sec^2(f(x))$
• $\frac{d}{dx}(\sec(f(x))) = f'(x)\sec(f(x))\tan(f(x))$
• $\frac{d}{dx}(\cot(f(x))) = -f'(x)\csc^2(f(x))$
• $\frac{d}{dx}(\csc(f(x))) = -f'(x)\csc(f(x))\cot(f(x))$

Integrales

• Sea $f$ y $g$ funciones continuas.

Propiedades y Fórmulas Básicas

• $\int cf(x) dx = c\int f(x) dx$
• $\int f(x) \pm g(x) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
• $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ donde $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$

Integrales Comunes

• $\int k dx = kx + c$
• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln\lvert x \rvert + c$
• $\int e^x dx = e^x + c$
• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + c$
• $\int \cos(x) dx = \sin(x) + c$
• $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + c$
• $\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + c$
• $\int \sec(x)\tan(x) dx = \sec(x) + c$
• $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + c$
• $\int \csc(x)\cot(x) dx = -\csc(x) + c$
• $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$

Economía y Empresa

Introducción a la Economía

La economía como ciencia social

• La economía estudia la asignación eficiente de recursos escasos para producir bienes y servicios para necesidades ilimitadas.
• Eficiencia implica el mejor aprovechamiento de los recursos.
• Escasez implica que los recursos son limitados frente a las necesidades ilimitadas.
• Las preguntas básicas que responde la economía son qué, cómo y para quién producir.
• Distinción entre Microeconomía, que estudia agentes económicos individuales, y Macroeconomía, que estudia la economía en conjunto.
• El método científico en economía implica observación, formulación de hipótesis, contraste, conclusiones y elaboración de teorías.
• Un modelo económico es una representación simplificada de la realidad con supuestos, pudiendo ser descriptivo o normativo.
• La economía positiva describe la realidad, mientras que la economía normativa recomienda cómo debería ser.
• Los factores de producción son tierra, trabajo, capital y tecnología.
• Los agentes económicos son hogares, empresas y el sector público.

El mercado

• El mercado facilita el intercambio de bienes y servicios mediante la oferta y la demanda.
• La oferta es la cantidad de bienes/servicios que los productores venden a un precio determinado.
• La demanda es la cantidad que los consumidores compran a un precio determinado.
• Tipos de mercado: bienes y servicios, factores y financieros.

Demanda

• La demanda es la cantidad de un bien o servicio que los compradores desean adquirir a un precio específico.
• Los factores que afectan la demanda incluyen el precio del bien, la renta, el precio de bienes relacionados, los gustos del consumidor, las expectativas y el tamaño del mercado.
• La función de demanda relaciona la cantidad demandada con estos factores ($Q_d = f(P, R, P_y, G, E, N)$).
• La curva de demanda representa gráficamente la relación inversa entre precio y cantidad demandada.
• La curva se desplaza por cambios en factores aparte del precio, aumentando (derecha) o disminuyendo (izquierda) la demanda.

Oferta

• La oferta es la cantidad de un bien o servicio que los productores están dispuestos a vender a un precio determinado.
• Los factores que afectan la oferta son el precio del bien, el precio de los factores, la tecnología, las expectativas y el número de productores.
• La función de oferta relaciona la cantidad ofrecida con estos factores ($Q_s = f(P, P_f, A, E, N)$).
• La curva de oferta tiene pendiente positiva y muestra la relación entre precio y cantidad ofrecida.
• La curva se desplaza por cambios en factores aparte del precio, aumentando (derecha) o disminuyendo (izquierda) la oferta.

Equilibrio de mercado

Conceptos clave

• El equilibrio de mercado ocurre cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida.
• El precio de equilibrio es el precio al que se igualan la oferta y la demanda.
• La cantidad de equilibrio es la cantidad intercambiada al precio de equilibrio.
• Gráficamente, se determina en la intersección de las curvas de oferta y demanda.

Desequilibrios

• El exceso de oferta se produce cuando la cantidad ofrecida supera a la demandada, lo que provoca una disminución de los precios.
• El exceso de demanda se produce cuando la cantidad demandada supera a la ofrecida, lo que provoca un aumento de los precios.

Cambios en el equilibrio

• El equilibrio cambia cuando hay desplazamientos en las curvas de oferta o demanda.
• Un aumento de la demanda conduce a un aumento tanto del precio como de la cantidad de equilibrio.
• Un aumento de la oferta disminuye el precio de equilibrio y eleva la cantidad de equilibrio.

Elasticidad

Nociones generales

• La elasticidad mide la sensibilidad de la cantidad demandada u ofrecida a cambios en factores determinantes.

Elasticidad precio de la demanda

• La elasticidad precio de la demanda ($E_{p} = \frac{% \Delta Q}{% \Delta P}$) mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante cambios en el precio.
• Demanda elástica ($E_{p} > 1$): muy sensible a cambios en el precio.
• Demanda inelástica ($E_{p} < 1$): poco sensible a cambios en el precio.
• Demanda unitaria ($E_{p} = 1$): varía en la misma proporción que el precio.
• Demanda perfectamente elástica ($E_{p} = \infty$): infinitamente sensible al precio.
• Demanda perfectamente inelástica ($E_{p} = 0$): no varía ante el precio.

Factores que influyen en la elasticidad precio

• Disponibilidad de sustitutivos: más sustitutivos, mayor elasticidad.
• Proporción del gasto en el bien: mayor proporción, mayor elasticidad.
• Tiempo: la elasticidad es mayor a largo plazo.
• Tipo de bien: los bienes de lujo tienen una demanda más elástica.

Elasticidad renta de la demanda

• La elasticidad renta de la demanda ($E_{R} = \frac{% \Delta Q}{% \Delta R}$) mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante cambios en la renta.
• Bienes normales ($E_{R} > 0$): la demanda aumenta cuando la renta lo hace.
• Bienes inferiores ($E_{R} < 0$): la demanda disminuye con el aumento de la renta.
• Bienes de lujo ($E_{R} > 1$): la cantidad demandada aumenta más que la renta.
• Bienes de primera necesidad ($0 < E_{R} < 1$): la cantidad demandada aumenta menos que la renta.

Elasticidad cruzada de la demanda

• La elasticidad cruzada ($E_{xy} = \frac{% \Delta Q_x}{% \Delta P_y}$) mide la sensibilidad de la cantidad demandada de un bien ante cambios en el precio de otro.
• Bienes sustitutivos ($E_{xy} > 0$): la cantidad demandada de X aumenta si sube el precio de Y.
• Bienes complementarios ($E_{xy} < 0$): la cantidad demandada de X baja si sube el precio de Y.
• Bienes independientes ($E_{xy} = 0$): El precio del bien Y no afecta la cantidad demandada del bien X.

Elasticidad precio de la oferta

• La elasticidad precio de la oferta ($E_{p} = \frac{% \Delta Q}{% \Delta P}$) mide la sensibilidad de la cantidad ofrecida ante cambios en el precio.
• Oferta elástica ($E_{p} > 1$): muy sensible a los cambios en el precio.
• Oferta inelástica ($E_{p} < 1$): poco sensible a los cambios en el precio.
• Oferta unitaria ($E_{p} = 1$): varía en la misma proporción que el precio.
• Oferta perfectamente elástica ($E_{p} = \infty$): infinitamente sensible al precio.
• Oferta perfectamente inelástica ($E_{p} = 0$): no varía ante el precio.

Factores que influyen en la elasticidad precio de la oferta

• Disponibilidad de factores de producción: Cuanto mayor sea, mayor será la elasticidad precio de la oferta.
• Tiempo: A largo plazo la oferta es más elástica.
• Capacidad productiva: A mayor capacidad, mayor elasticidad.

Fallos del mercado

Concepto

• Un fallo de mercado ocurre cuando el mercado no asigna los recursos de manera eficiente.

Tipos

• Externalidades: costos o beneficios no reflejados en el precio.
• Bienes públicos: no excluyentes ni rivales.
• Información asimétrica: una parte tiene más información.
• Poder de mercado: una empresa influye en el precio.

Externalidades

• Una externalidad es un efecto de consumo o producción que afecta a terceros.
• Externalidad negativa: efecto perjudicial (ej. contaminación).
• Externalidad positiva: efecto benéfico (ej. educación).
• Las externalidades resultan en cantidades ineficientes producidas por el mercado.

Soluciones para las externalidades

• Impuestos: gravar actividades con externalidades negativas.
• Subvenciones: subvencionar actividades con externalidades positivas.
• Regulación: limitar actividades dañinas.
• Teorema de Coase: si los derechos de propiedad están bien definidos y los costes de transacción son bajos, las partes pueden negociar soluciones eficientes.

Bienes públicos

• Un bien público es no excluyente ni rival.
• No Excluyente Imposible impedir el consumo.
• No Rival El consumo de una persona no reduce la cantidad disponible para otros.
• Ejemplos: defensa nacional, alumbrado público.

Soluciones para los bienes públicos

• Financiacion pública: El estado financia con impuestos.
• Producción privada con financiación pública: El Estado subcontrata a empresas privadas.

Información asimétrica

• La información asimétrica ocurre cuando una parte tiene más información que la otra.
• Selección adversa: información oculta sobre las características de alguien (ej., seguros).
• Riesgo moral: información oculta sobre las acciones de alguien (ej., seguros).

Soluciones para la información asimétrica

• Señalización: revelar información relevante.
• Selección: diseñar contratos para incentivar la revelación.
• Regulación: obligación del estado de revelar la información.

Poder de mercado

• El poder de mercado es la capacidad de una empresa para influir en el precio.
• Las empresas con poder de mercado restringen la producción y suben los precios.

Soluciones para el poder de mercado

• Regulación: El Estado regula empresas con poder de mercado.
• Defensa de la competencia: Se impide las practicas que limitan la competencia.

El sector público

Funciones del sector público

• El estado asigna recursos y corrige fallos de mercado.
• El estado redistribuye la renta y reduce la desigualdad.
• El estado estabiliza la economía.

Instrumentos del sector público

• Impuestos: para financiar actividades.
• Gasto público: en bienes, servicios y transferencias
• Regulación: establecer normas

El presupuesto del sector público

• Es un documento que recoge ingresos y gastos przewistos del Estado.
• Puede haber superavit o deficit presupuestario.

Política fiscal

• Conjunto de medidas del Estado para influir en la actividad económica a través de los impuestos y el gasto público.
• Puede ser expansiva o contractiva.

Política monetaria

• medidas del banco central para influir en la cantidad de dinero y el crédito en la economía.
• Puede ser expansiva o contractiva.

El mercado del trabajo

El mercado del trabajo

• El mercado de trabajo se forma por la oferta y la demanda de trabajo .
• La oferta: Cantidad de trabajo que los trabajadores estan dispuestos a ofrecer.
• La demanda de trabajo: Cantidad de trabajo de los empresos están dispuestos a contratar.

Factores que afectan la oferta de trabajo

• Salario
• Población activa
• Preferencias por el ocio
• Nivel educativo.

Factores que afectan la demanda de trabajo

• Salario
• Productividad de trabajo
• La demanda del producto
• El precio de los bienes de capital

Equilibrio del mercado

• El equilibrio se da cuando la oferta y la demanda de trabajo son iguales.
• el salario de equilibrio es igual a la oferta y la demanda
• Desempleo: situación en la que una personas que está buscando trabajo no lo encuentra.

####### Desempleo

• Desempleo friccional: originado por el tiempo en encontrar trabajo.
• Desempleo estructural: la falta de entendimiento de cualificaciónes de los trabajadores.
• Desempleo cíclico: originado por las fluctuaciones económicas.

Políticamente para reducir el desempleo

• Políticas de demanda: política fiscal expansiva.
• Políticas de oferta: Aumentar la flexibilidad del mercado laboral.

El dinero y la Inflación

• El dinero se puede utilizar como medio de pago fiable.
• Facilita transacciones económicas.
• Medio de depósito de valor.

tipos de dineroMercancía

• Bien que se utiliza como dinero con valor intrínseco. oro.
• Dinero fiduciario: no tiene valor intrínseco decretado como modo de pago.
• Dinero bancario: se utiliza transacciones bancarías como método de pago.

Oferta y demanda monetaria

• La oferta monetaria: la cantidad de dinero que hay en una económica.
• La demanda de dinero: la cantidad de dinero que los agentes económicos desean mantener en efectivo o en depósitos bancarios.
• Motivos para demandar dinero: Transacciones- realizar pagos. Precaución- gastos imprevistos. Especulación- Inversion.

Banco central

• Es la institución de controlar de la oferta monetaria.

Inflación

• El aumento generalizado de los precios de los bienes servicios en una económica.

Causas de la inflación

• Inflación de demanda: aumento por encima de la capacidad productiva de la económica.
• Inflación de costes: aumento en los costes de producción.
• Inflación monetaria: aumento excesivo en la cantidad de dinero.

Consecuencias de la inflación

• Perdida de poder adquisitivo
• Incertidumbre
• Deterioro de la competitividad
• Políticas para controlar la inflación.
• Política económica contractiva.
• Política fiscal contactiva.
• Políticas para aumentar la productividad.

Crecimiento Económico

• Se da por el aumento sostenido de la producción servicios.
• Tasa de crecimiento económico.

Factores que el crecimiento de la economía

• Capital físico la maquinaria equipos
• Capital humano la formación de educación de sus trabajarores
• Recursos naturales
• Tenología
• instituciones

Políticas para fomentar el crecimiento económico

• Inversión en capital físico: Fomentar la inversión en maquinaria.
• Inversión de capital humano
• Fomento de la innovación tenología
• Mejora de las instituciones

Desarrollo sostenible

• Desarrollo que satisface las necesidades del prenséntenlo sin compromete la capacidad de las generation futura.
• Dimensiones del desarrollo sostenible:
• Dimensión Económica
• Dimensión Social.
• Dimensión ambiental

Comercio internacional

• es El intercambio de bienes y servicios entre países.

Ventajas del comercio internacional

• Aumento de la eficiencia
• Aumento de la calidad de vida