Cálculo Diferencial e Integral

Study Notes

Cálculo

Definición: Rama de las matemáticas que estudia el cambio y la acumulación, se divide en dos áreas principales: cálculo diferencial y cálculo integral.
Cálculo Diferencial:
- Derivada: Medida de cómo cambia una función a medida que su entrada cambia.
  - Reglas de derivación:
    - Regla de la suma: (f + g)' = f' + g'
    - Regla del producto: (fg)' = f'g + fg'
    - Regla del cociente: (f/g)' = (f'g - fg')/g²
    - Regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
- Interpretación geométrica: La derivada representa la pendiente de la tangente a la curva en un punto.
- Aplicaciones:
  - Máximos y mínimos de funciones.
  - Problemas de optimización.
  - Análisis de la tasa de cambio.
Cálculo Integral:
- Integral: Representa la acumulación de cantidades, área bajo la curva de una función.
  - Integral definida: ∫[a, b] f(x) dx = área bajo la curva de f(x) desde x=a hasta x=b.
  - Integral indefinida: ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde F' = f.
- Teorema Fundamental del Cálculo:
  - Relaciona la derivación con la integración.
  - Si F es una antiderivada de f en [a, b], entonces ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a).
- Métodos de integración:
  - Sustitución.
  - Integración por partes.
  - Integrales impropias.
Límites:
- Concepto fundamental en cálculo; describe el comportamiento de una función a medida que se aproxima a un punto.
- Notación: lim (x→c) f(x).
- Propiedades de los límites:
  - Limites de suma, producto y cociente.
  - Límite infinito y límites laterales.
Series y Sucesiones:
- Sucesiones: Secuencia ordenada de números.
  - Ejemplo: aritméticas, geométricas.
- Series: Suma de los términos de una sucesión.
  - Convergencia y divergencia.
  - Pruebas de convergencia: criterio de comparación, criterio de la raíz.
Aplicaciones en la vida real:
- Física: Movimiento, velocidad, aceleración.
- Economía: Maximizando beneficios, minimizando costos.
- Biología: Crecimiento poblacional, difusión de sustancias.

Cálculo

Rama de las matemáticas que investiga el cambio y la acumulación, con dos áreas principales: cálculo diferencial y cálculo integral.

Cálculo Diferencial

Derivada: Representa la tasa de cambio de una función con respecto a su variable independiente.
Reglas de derivación:
- Regla de la suma: Derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas.
- Regla del producto: Derivada del producto de dos funciones usa la derivada de cada función multiplicada por la otra.
- Regla del cociente: Derivada del cociente se basa en la derivada de cada función y su relación con el denominador.
- Regla de la cadena: Calcula la derivada de una función compuesta multiplicando la derivada externa por la derivada interna.
Interpretación geométrica: La derivada indica la pendiente de la tangente a una curva en un punto específico.
Aplicaciones:
- Determinación de máximos y mínimos de funciones.
- Resolución de problemas de optimización.
- Análisis de tasas de cambio.

Cálculo Integral

Integral: Se enfoca en la acumulación de cantidades, representando el área bajo la curva de una función.
Integral definida: Calcula el área bajo la curva de f(x) entre los límites a y b.
Integral indefinida: Representa una familia de funciones cuya derivada es f; incluye una constante de integración C.
Teorema Fundamental del Cálculo: Establece que la integración y la derivación son procesos inversos; relaciona el valor de la integral definida con los valores de una antiderivada.
Métodos de integración:
- Sustitución: Técnica para simplificar integrales.
- Integración por partes: Basada en la regla del producto para derivadas.
- Integrales impropias: Abordan situaciones donde el intervalo de integración o la función no están bien definidos.

Límites

Concepto esencial en cálculo que describe cómo una función se comporta al acercarse a un punto específico.
Notación usada: lim (x→c) f(x).
Propiedades de los límites:
- Incluyen límites de la suma, producto y cociente.
- Consideran el concepto de límites infinitos y límites laterales.

Series y Sucesiones

Sucesiones: Secuencias ordenadas de números, como aritméticas y geométricas.
Series: Suma de los términos de una sucesión, con focos en su convergencia o divergencia.
Pruebas de convergencia: Métodos para determinar si una serie converge, incluyendo el criterio de comparación y el criterio de la raíz.

Aplicaciones en la vida real

En física: Analiza movimiento, velocidad y aceleración.
En economía: Se aplica para maximizar beneficios y minimizar costos.
En biología: Utilizado en estudios de crecimiento poblacional y difusión de sustancias.

Description

Este cuestionario cubre los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. Explora las derivadas, sus reglas y la interpretación geométrica, así como las integrales y su aplicación en problemas de optimización y áreas bajo la curva. ¡Ponte a prueba y refuerza tus conocimientos en esta rama de las matemáticas!