Cálculo Diferencial e Integral

Cálculo

• Definición: Rama de las matemáticas que estudia el cambio y la acumulación, se divide en dos áreas principales: cálculo diferencial y cálculo integral.

• Cálculo Diferencial:

  • Derivada: Medida de cómo cambia una función a medida que su entrada cambia.
    • Reglas de derivación:
      • Regla de la suma: (f + g)' = f' + g'
      • Regla del producto: (fg)' = f'g + fg'
      • Regla del cociente: (f/g)' = (f'g - fg')/g²
      • Regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
  • Interpretación geométrica: La derivada representa la pendiente de la tangente a la curva en un punto.
  • Aplicaciones:
    • Máximos y mínimos de funciones.
    • Problemas de optimización.
    • Análisis de la tasa de cambio.

• Cálculo Integral:

  • Integral: Representa la acumulación de cantidades, área bajo la curva de una función.
    • Integral definida: ∫[a, b] f(x) dx = área bajo la curva de f(x) desde x=a hasta x=b.
    • Integral indefinida: ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde F' = f.
  • Teorema Fundamental del Cálculo:
    • Relaciona la derivación con la integración.
    • Si F es una antiderivada de f en [a, b], entonces ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a).
  • Métodos de integración:
    • Sustitución.
    • Integración por partes.
    • Integrales impropias.

• Límites:

  • Concepto fundamental en cálculo; describe el comportamiento de una función a medida que se aproxima a un punto.
  • Notación: lim (x→c) f(x).
  • Propiedades de los límites:
    • Limites de suma, producto y cociente.
    • Límite infinito y límites laterales.

• Series y Sucesiones:

  • Sucesiones: Secuencia ordenada de números.
    • Ejemplo: aritméticas, geométricas.
  • Series: Suma de los términos de una sucesión.
    • Convergencia y divergencia.
    • Pruebas de convergencia: criterio de comparación, criterio de la raíz.

• Aplicaciones en la vida real:

  • Física: Movimiento, velocidad, aceleración.
  • Economía: Maximizando beneficios, minimizando costos.
  • Biología: Crecimiento poblacional, difusión de sustancias.

Cálculo

• Rama de las matemáticas que investiga el cambio y la acumulación, con dos áreas principales: cálculo diferencial y cálculo integral.

Cálculo Diferencial

• Derivada: Representa la tasa de cambio de una función con respecto a su variable independiente.
• Reglas de derivación:
  • Regla de la suma: Derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas.
  • Regla del producto: Derivada del producto de dos funciones usa la derivada de cada función multiplicada por la otra.
  • Regla del cociente: Derivada del cociente se basa en la derivada de cada función y su relación con el denominador.
  • Regla de la cadena: Calcula la derivada de una función compuesta multiplicando la derivada externa por la derivada interna.
• Interpretación geométrica: La derivada indica la pendiente de la tangente a una curva en un punto específico.
• Aplicaciones:
  • Determinación de máximos y mínimos de funciones.
  • Resolución de problemas de optimización.
  • Análisis de tasas de cambio.

Cálculo Integral

• Integral: Se enfoca en la acumulación de cantidades, representando el área bajo la curva de una función.
• Integral definida: Calcula el área bajo la curva de f(x) entre los límites a y b.
• Integral indefinida: Representa una familia de funciones cuya derivada es f; incluye una constante de integración C.
• Teorema Fundamental del Cálculo: Establece que la integración y la derivación son procesos inversos; relaciona el valor de la integral definida con los valores de una antiderivada.
• Métodos de integración:
  • Sustitución: Técnica para simplificar integrales.
  • Integración por partes: Basada en la regla del producto para derivadas.
  • Integrales impropias: Abordan situaciones donde el intervalo de integración o la función no están bien definidos.

Límites

• Concepto esencial en cálculo que describe cómo una función se comporta al acercarse a un punto específico.
• Notación usada: lim (x→c) f(x).
• Propiedades de los límites:
  • Incluyen límites de la suma, producto y cociente.
  • Consideran el concepto de límites infinitos y límites laterales.

Series y Sucesiones

• Sucesiones: Secuencias ordenadas de números, como aritméticas y geométricas.
• Series: Suma de los términos de una sucesión, con focos en su convergencia o divergencia.
• Pruebas de convergencia: Métodos para determinar si una serie converge, incluyendo el criterio de comparación y el criterio de la raíz.

Aplicaciones en la vida real

• En física: Analiza movimiento, velocidad y aceleración.
• En economía: Se aplica para maximizar beneficios y minimizar costos.
• En biología: Utilizado en estudios de crecimiento poblacional y difusión de sustancias.