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Questions and Answers
¿Cuál es el valor del límite $\lim_{x \to 1} (3x^3 - 2x^2 + x + 1)$?
¿Cuál es el valor del límite $\lim_{x \to 1} (3x^3 - 2x^2 + x + 1)$?
- 5
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- 3 (correct)
- 4
¿Cuál es el resultado de $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$?
¿Cuál es el resultado de $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$?
- 0
- Indeterminado
- 4 (correct)
- 2
Evalúe el límite $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}$.
Evalúe el límite $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}$.
- No existe
- 8
- 12 (correct)
- 4
¿Cuál es el límite de $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$?
¿Cuál es el límite de $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$?
Determina el valor de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}$.
Determina el valor de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}$.
Encuentra el límite $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$.
Encuentra el límite $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$.
¿Cuál es el valor de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x \tan(x)}$?
¿Cuál es el valor de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x \tan(x)}$?
Calcula el límite $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 + 3x + 1}$.
Calcula el límite $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 + 3x + 1}$.
Calcula el límite $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - x)$.
Calcula el límite $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - x)$.
Si $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{si } x < 0 \ x - 1, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$, ¿cuál es el valor de $\lim_{x \to 0^-} f(x)$?
Si $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{si } x < 0 \ x - 1, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$, ¿cuál es el valor de $\lim_{x \to 0^-} f(x)$?
¿Cuál es el valor del límite $\lim_{x \to 16} \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt[4]{x} - 2}$?
¿Cuál es el valor del límite $\lim_{x \to 16} \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt[4]{x} - 2}$?
¿Qué valor tiene el límite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x) - \sin(3x)}{\sin(x)}$?
¿Qué valor tiene el límite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x) - \sin(3x)}{\sin(x)}$?
Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-\cos(3x)}{x^2}$.
Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-\cos(3x)}{x^2}$.
Si $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{si } x \leq 0 \ ax + b, & \text{si } 0 < x < 2 \ -x^2, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$, ¿qué condiciones deben cumplir $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en $x = 0$ y $x = 2$?
Si $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{si } x \leq 0 \ ax + b, & \text{si } 0 < x < 2 \ -x^2, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$, ¿qué condiciones deben cumplir $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en $x = 0$ y $x = 2$?
Dado que $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ representa el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a 3 por la izquierda y $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ representa el límite cuando $x$ se acerca a 3 por la derecha, ¿qué puedes concluir sobre el límite $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-4}{x-3}$ basado en sus límites laterales?
Dado que $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ representa el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a 3 por la izquierda y $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ representa el límite cuando $x$ se acerca a 3 por la derecha, ¿qué puedes concluir sobre el límite $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-4}{x-3}$ basado en sus límites laterales?
Utilizando el teorema del emparedado, ¿qué se requiere demostrar para evaluar $\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$?
Utilizando el teorema del emparedado, ¿qué se requiere demostrar para evaluar $\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$?
Para el polinomio $1 - x - x^3$, ¿qué paso del método de bisección se utiliza para demostrar que tiene una raíz en el intervalo $[0, 1]$?
Para el polinomio $1 - x - x^3$, ¿qué paso del método de bisección se utiliza para demostrar que tiene una raíz en el intervalo $[0, 1]$?
Si se aplica el método de bisección para encontrar una raíz del polinomio $x^3 + 4x - 2$ en el intervalo $[0, 1]$, ¿cuál es el propósito de calcular el punto medio del intervalo en cada iteración?
Si se aplica el método de bisección para encontrar una raíz del polinomio $x^3 + 4x - 2$ en el intervalo $[0, 1]$, ¿cuál es el propósito de calcular el punto medio del intervalo en cada iteración?
Considerando el límite $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{x-8}$, ¿cuál de los siguientes pasos es más apropiado para resolverlo?
Considerando el límite $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{x-8}$, ¿cuál de los siguientes pasos es más apropiado para resolverlo?
Flashcards
¿Qué es un límite?
¿Qué es un límite?
Un valor al que una función se acerca a medida que la entrada se acerca a un cierto valor.
¿Cómo calcular un límite?
¿Cómo calcular un límite?
Sustituir el valor al que tiende x en la función y evaluar.
¿Qué es continuidad?
¿Qué es continuidad?
Una función continua en un punto si el límite de la función en ese punto es igual al valor de la función en ese punto.
¿Qué es un límite lateral izquierdo?
¿Qué es un límite lateral izquierdo?
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¿Qué es un límite lateral derecho?
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¿Cuando existe un límite?
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¿Teorema del emparedado?
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¿Discontinuidad?
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¿Discontinuidad removible?
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¿Discontinuidad de salto?
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¿Método de bisección?
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¿Qué es un polinomio?
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Study Notes
Cálculo de Límites
- Cálculo de los siguientes límites requiere evaluar expresiones algebraicas y funciones trigonométricas a medida que la variable se acerca a un valor específico.
Límites Algebraicos
- Para el límite cuando x se acerca a -1 de (3x³ - 2x² + x + 1), sustituir x = -1 en el polinomio resulta en -3 - 2 - 1 + 1 = -5.
- El límite cuando x se acerca a 2 de (x² - 4) / (x - 2) se simplifica factorizando el numerador como (x-2)(x+2), y cancelando el término (x-2), resultando en un límite de 4.
- El límite cuando x se acerca a 1 de (x² - 1) / (2x² - x - 1) se factoriza y simplifica a (x+1) / (2x+1) resultando en un límite de 2/3.
- El límite cuando x se acerca a -2 de (x³ + 8) / (3x + 6) se factoriza y simplifica a (x² - 2x + 4) / 3 resultando en un límite de 4.
- El límite cuando x se acerca a 1 de (x³ - 3x + 2) / (x⁴ - 4x + 3) requiere factorizar ambos polinomios, resultando en 1/2.
- El límite cuando x tiende a 0 de (1 - √(1 - x²)) / x² requiere racionalización, multiplicando por el conjugado, resultando en un límite de 1/2.
- El límite cuando x se acerca a 4 de (√(1 + 2x) - 3) / (√(x) - 2) se resuelve racionalizando ambos numerador y denominador, resultando en un límite de 4/3.
- El límite cuando x se acerca a 8 de (√(9 + 2x) - 5) / (∛(x) - 2) requiere racionalización y factorización, resultando en un límite de 36/5.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (√(1 + x) - √(1 - x)) / x se resuelve multiplicando por el conjugado, resultando en un límite de 1.
- El límite cuando x se acerca a 16 de (⁴√(x) - 2) / (√(x) - 4) se simplifica al reconocer que ⁴√(16) = 2 y √(16) = 4, resultando en un límite de 1/2.
Límites Trigonométricos
- El límite cuando x se acerca a π de cos(sen x) / cos x requiere reconocer que cos(π) = -1 y sen(π) = 0, resultando en cos(0) / -1 = -1.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (sen x) / (2x) es 1/2.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (sen 5x) / x se resuelve utilizando la regla de L'Hôpital o reconociendo el límite fundamental, resultando en un límite de 5.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (x tan x) / (sen x) se simplifica a tan(0) = 0.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (1 - cos x) / x² se resuelve usando la regla de L'Hôpital o la identidad trigonométrica, resultando en un límite de 1/2.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (1 - cos x) / (x sen x) se simplifica usando la regla de L'Hôpital o identidades trigonométricas, resultando en un límite de 1/2.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (sen² x) / (x tan x) se simplifica a través de identidades trigonométricas, resultando en un límite de 0.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (sen²(2x)) / x² se resuelve usando la regla de L'Hôpital o el límite fundamental, resultando en un límite de 4.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (sen 5x - sen 3x) / (sen x) se resuelve usando la regla de L'Hôpital o identidades trigonométricas, resultando en un límite de 2.
- El límite cuando x se acerca a 0 de (cos x - cos 3x) / x² requiere el uso de identidades trigonométricas y la regla de L'Hôpital, resultando en un límite de 4.
Límites Laterales
- El límite (x² - 4) / (x - 3) cuando x tiende a 3 por la izquierda (x→3⁻) es -∞.
- El límite (x² - 4) / (x - 3) cuando x tiende a 3 por la derecha (x→3⁺) es +∞.
- El límite x / (x² - 4) cuando x tiende a -2 por la izquierda (x→-2⁻) es +∞.
- El límite x / (x² - 4) cuando x tiende a -2 por la derecha (x→-2⁺) es -∞.
- El límite x / (x² - 4) cuando x tiende a 2 por la izquierda (x→2⁻) es -∞.
- El límite x / (x² - 4) cuando x tiende a 2 por la derecha (x→2⁺) es +∞.
Límites al Infinito
- El límite cuando x tiende a ∞ de (3x⁴ + 2x³ - x² - x - 1) / (2x² + 3x + 1) es ∞.
- El límite cuando x tiende a ∞ de (1 - 2x - 4x²) / (2x² + 3x + 1) es -2.
- El límite cuando x tiende a ∞ de (x + 1) / (2x² + 3x + 1) es 0.
- El límite cuando x tiende a ∞ de (√(x² + 2x + 1)) / (3x + 1) es 1/3.
- El límite cuando x tiende a ∞ de (√(x² + 2x) - x) se simplifica multiplicando y dividiendo por el conjugado, resultando en un límite de 1.
Límites con Constantes
- Límite cuando x tiende a ∞ de (√(x² + ax) - √(x² + bx)) es (a - b) / 2.
Teorema del Emparedado
- Demostrar, utilizando el teorema del emparedado, que el límite cuando x se acerca a 0 de x sen(1/x) es 0.
Continuidad de Funciones
- Dada la función f(x) = x² + 1 si x < 0, y f(x) = x - 1 si x ≥ 0:
- Esbozar la gráfica de f(x) revela una discontinuidad en x = 0.
- Determinar el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda es 1, y por la derecha es -1, indicando que la función no es continua en x = 0.
Función Continua en Partes
- La función dada f(x) = x² + 1 si x ≤ 0, ax + b si 0 < x < 2 y -x² si x ≥ 2 es continua en todas partes si a = -2 y b = 1.
Teorema de la Raíz Intermedia
- Demostrar que el polinomio 1 - x - x³ tiene una raíz en el intervalo [0, 1].
- Usando 8 iteraciones del método de bisección, partiendo del intervalo [0, 1], se aproxima esta raíz.
- Demostrar que el polinomio x³ + 4x - 2 tiene una raíz en el intervalo [0, 1].
- Usando 8 iteraciones del método de bisección, partiendo del intervalo [0, 1], se aproxima esta raíz.
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