Cálculo de funciones vectoriales

Funciones Vectoriales

• Una función vectorial asigna un vector a cada número real en su dominio.
• El dominio es un subconjunto de los números reales.
• El rango es un conjunto de vectores.

Componentes

• Una función vectorial $\mathbf{r}(t)$ se puede expresar usando funciones componentes:
  • $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$
• $f(t)$, $g(t)$ y $h(t)$ representan funciones reales con variable $t$.
• $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ y $\mathbf{k}$ son vectores unitarios en los ejes $x$, $y$ y $z$, respectivamente.

Límite y Continuidad

• El límite de una función vectorial $\mathbf{r}(t)$ cuando $t$ tiende a $a$ está definido como:
  • $\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} f(t), \lim_{t \to a} g(t), \lim_{t \to a} h(t) \rangle$
• Esta definición es válida si los límites de las funciones componentes existen.
• Para que $\mathbf{r}(t)$ sea continua en $t = a$, se deben cumplir tres condiciones:
  • $\mathbf{r}(a)$ debe estar definida.
  • $\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t)$ debe existir.
  • $\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$.

Derivada de una Función Vectorial

• La derivada de una función vectorial $\mathbf{r}(t)$ se define como:
  • $\mathbf{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{r}(t + h) - \mathbf{r}(t)}{h}$
• Se puede calcular derivando cada función componente:
  • $\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle = f'(t)\mathbf{i} + g'(t)\mathbf{j} + h'(t)\mathbf{k}$

Reglas de Derivación

• Suma: $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) + \mathbf{v}'(t)$
• Producto por escalar constante: $\frac{d}{dt}[c\mathbf{u}(t)] = c\mathbf{u}'(t)$
• Producto escalar con función escalar: $\frac{d}{dt}[f(t)\mathbf{u}(t)] = f'(t)\mathbf{u}(t) + f(t)\mathbf{u}'(t)$
• Producto punto: $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}'(t)$
• Producto cruz: $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}'(t)$
• Regla de la cadena: $\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(f(t))] = f'(t)\mathbf{u}'(f(t))$

Integrales

• La integral indefinida de $\mathbf{r}(t)$ es:
  • $\int \mathbf{r}(t) dt = \langle \int f(t) dt, \int g(t) dt, \int h(t) dt \rangle$
• La integral definida de $\mathbf{r}(t)$ de $a$ a $b$ es:
  • $\int_{a}^{b} \mathbf{r}(t) dt = \langle \int_{a}^{b} f(t) dt, \int_{a}^{b} g(t) dt, \int_{a}^{b} h(t) dt \rangle$

Capítulo 3: Movimiento con Aceleración Constante

Aceleración Media e Instantánea

Aceleración media

• Se define como el cambio de velocidad ($\Delta v$) dividido por el intervalo de tiempo ($\Delta t$):
  • $\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$
• $v_1$ es la velocidad en el tiempo $t_1$.
• $v_2$ es la velocidad en el tiempo $t_2$.

Aceleración instantánea

• Aceleración instantánea se define como el límite de la aceleración media cuando $\Delta t$ tiende a cero.
  • $a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}$
• Es la pendiente de la curva velocidad-tiempo en un instante dado.

Ejemplo:

• De 0 a 2 s: la aceleración es constante y positiva
  • $a = \frac{20 m/s - 0 m/s}{2 s - 0 s} = 10 m/s^2$
• De 2 s a 4 s: la aceleración es cero
• De 4 s a 6 s: la aceleración es constante y negativa
  • $a = \frac{0 m/s - 20 m/s}{6 s - 4 s} = -10 m/s^2$

Movimiento con Aceleración Constante

Ecuaciones cinemáticas

• Son aplicables cuando la aceleración $a$ es constante.
• $v = v_0 + at$
• $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
• $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
• $\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$
  • $x_0$ es la posición inicial.
  • $v_0$ es la velocidad inicial.
  • $x$ es la posición final.
  • $v$ es la velocidad final.
  • $t$ es el tiempo transcurrido y $\bar{v}$ es la velocidad media.

Deducción de las ecuaciones cinemáticas

• Desde la definición de aceleración media:
  • $a = \frac{v - v_0}{t - t_0} \Rightarrow v = v_0 + a(t - t_0)$
• Si $t_0 = 0$:
  • $v = v_0 + at$
• Desde la definición de velocidad media:
  • $\bar{v} = \frac{x - x_0}{t - t_0} \Rightarrow x = x_0 + \bar{v} (t - t_0)$
• Si $t_0 = 0$:
  • $x = x_0 + \bar{v} t$
• Con aceleración constante, la velocidad media es:
  • $\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$
• Sustituyendo en la ecuación de posición:
  • $x = x_0 + \frac{1}{2} (v_0 + v) t = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
• Eliminando el tiempo de las ecuaciones anteriores:
  • $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$

Caída libre

• Es un caso especial de movimiento con aceleración constante, donde la aceleración es la gravedad ($g \approx 9.8 m/s^2$).
• $v = v_0 - gt$
• $y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$
• $v^2 = v_0^2 - 2g(y - y_0)$
  • $y_0$ es la altura inicial.
  • $v_0$ es la velocidad inicial.
  • $y$ es la altura final.
  • $v$ es la velocidad final.
  • $t$ es el tiempo transcurrido.
• El signo negativo indica que la aceleración gravitacional apunta hacia abajo.