Cálculo de Derivadas Parciales

La segunda derivada parcial de una función f(x,y) con respecto a x

La segunda derivada parcial de una función f(x,y) con respecto a y

La segunda derivada parcial mixta de una función f(x,y), primero con respecto a x y luego con respecto a y

La segunda derivada parcial mixta de una función f(x,y), primero con respecto a y y luego con respecto a x

La derivada parcial de f con respecto a x, definida por la fórmula ∂f/∂x = 2xy³/(x² + y²)² cuando (x,y)≠(0,0) y 0 cuando (x,y)=(0,0).

La derivada parcial de f con respecto a y, definida por la fórmula ∂f/∂y = x²(x² - y²)/(x² + y²)² cuando (x,y)≠(0,0) y 0 cuando (x,y)=(0,0).

Una función es continua en un punto si su límite en ese punto existe y es igual al valor de la función en el punto.

Decimos que una derivada parcial es continua en un punto si su límite en ese punto existe y es igual al valor de la derivada parcial en el punto.

La derivada parcial de f con respecto a x no es continua en (0,0) porque su límite no existe.

La derivada parcial de f con respecto a x se obtiene al tratar a y como una constante y derivar la función como si fuera una función de una sola variable. En este caso, la derivada de f con respecto a x es 1/(2√(x+y)).

La derivada parcial de f con respecto a y se obtiene al tratar a x como una constante y derivar la función como si fuera una función de una sola variable. En este caso, la derivada de f con respecto a y es 1/(2√(x+y)).

La derivada parcial de f con respecto a x se obtiene al tratar a y como una constante y derivar la función como si fuera una función de una sola variable. En este caso, la derivada de f con respecto a x es 1/(2√x).

La derivada parcial de f con respecto a y se obtiene al tratar a x como una constante y derivar la función como si fuera una función de una sola variable. En este caso, la derivada de f con respecto a y es 1/(2√y).

La derivada parcial de f con respecto a x se obtiene aplicando la regla de la cadena: primero derivas el logaritmo (que es 1/(9-x^2-9y^2)), y luego multiplicas por la derivada del argumento del logaritmo, que es -2x.

La derivada parcial de f con respecto a y se obtiene aplicando la regla de la cadena: primero derivas el logaritmo (que es 1/(9-x^2-9y^2)), y luego multiplicas por la derivada del argumento del logaritmo, que es -18y.

La derivada parcial de f con respecto a x se obtiene aplicando la regla del producto: la derivada de x^2 + y^2 cos(xy) es 2x + y^2 * (-sin(xy) * y), luego multiplica por la derivada de x^2 + y^2 con respecto a x que es 2x.

La derivada parcial de f con respecto a y se obtiene aplicando la regla del producto: la derivada de x^2 + y^2 cos(xy) es 2x + y^2 * (-sin(xy) * y), luego multiplica por la derivada de x^2 + y^2 con respecto a y que es 2y.

La derivada parcial de f con respecto a x se obtiene aplicando la regla de la cadena: primero derivas la función x^2 + y^2 con respecto a x, que es 2x y luego multiplicas por la derivada de x^2 + y^2 con respecto a x que es 2x.

Un plano tangente a una superficie en un punto dado es un plano que 'toca' la superficie en ese punto y tiene la misma pendiente que la superficie en ese punto.

El vector que define la dirección de la mayor tasa de cambio de la función en un punto.

El plano tangente a la gráfica de una función de dos variables en un punto dado se puede calcular usando la fórmula: z = f(x0, y0) + ∂f/∂x(x0, y0)(x - x0) + ∂f/∂y(x0, y0)(y - y0)

La tasa de cambio de una función con respecto a una de sus variables, manteniendo las otras variables constantes.

La derivada parcial de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a una variable (𝑥 o 𝑦), donde la otra variable se considera una constante.

Una función f(x,y) es diferenciable en un punto (a,b) si existen las derivadas parciales de f en (a,b) y son continuas en ese punto.

Para que una función sea diferenciable en un punto, es necesario que las derivadas parciales existan y sean continuas en ese punto. Si la función tiene un cambio abrupto o 'esquina' en el punto, no será diferenciable.

Si una función es diferenciable en un punto, entonces las derivadas parciales deben ser continuas en ese punto. Esto significa que la función no puede tener saltos o discontinuidades bruscas en sus derivadas parciales.

La existencia de las derivadas parciales en un punto no implica automáticamente que la función sea diferenciable en ese punto. Para que la función sea diferenciable, las derivadas parciales también deben ser continuas en el punto.

Una función f(x,y) es continua en un punto (a,b) si el límite de la función cuando (x,y) se acerca a (a,b) es igual al valor de la función en (a,b).

Una función f(x,y) es diferenciable en un punto (a,b) si se puede aproximar localmente mediante una función lineal. En otras palabras, la función se comporta como una recta cerca del punto (a,b).

Para ver si una función es diferenciable en un punto, calcula las derivadas parciales y verifica si son continuas en ese punto.

La diferenciabilidad de una función es importante porque permite aproximar la función con un plano tangente, lo que facilita el análisis y la comprensión del comportamiento de la función en un punto.

La derivada parcial de una función f(x, y) con respecto a x en un punto (x0, y0) representa la tasa de cambio instantánea de la función en la dirección x en ese punto.

La derivada parcial de una función f(x, y) con respecto a y en un punto (x0, y0) representa la tasa de cambio instantánea de la función en la dirección y en ese punto.

El gradiente de una función f(x, y) en un punto (x0, y0) es un vector que apunta en la dirección de la mayor tasa de cambio de la función en ese punto. Está definido como (∂f/∂x, ∂f/∂y).

Hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de una función en un punto específico.

La ecuación del plano tangente a la gráfica de una función en un punto es z = f(x0, y0) + ∂f/∂x (x0, y0)(x - x0) + ∂f/∂y (x0, y0)(y - y0).

Las funciones f(x, y) que aparecen en el problema 5. son las funciones a las que se le aplica la fórmula del plano tangente.