Cálculo: Conceptos clave

Límites

• El límite de una función F(x) cuando x se acerca a c es L si, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε.
• La notación para un límite es lim (x→c) f(x) = L.
• La existencia de un límite en un punto no implica que la función esté definida en ese punto.
• Los límites laterales se refieren al valor al que una función tiende desde la izquierda o desde la derecha de un punto específico.
• En los límites al infinito, N y M son números positivos grandes.
  • lim (x→∞) f(x) = L significa que para |x| > N, |f(x) - L| < ε.
  • lim (x→c) f(x) = ∞ significa que para |x - c| < δ, |f(x)| > M.
  • lim (x→∞) f(x) = ∞ significa que para |x| > N, |f(x)| > M.

Propiedades de los Límites

• Límite de una constante: lim (x→c) k = k.
• Límite de la función identidad: lim (x→c) x = c.
• Límite del producto de una función y una constante: lim (x→c) kf(x) = k lim(x→c) f(x).
• Límite de una suma: lim (x→c) [f(x) + g(x)] = lim (x→c) f(x) + lim (x→c) g(x).
• Límite de una resta: lim (x→c) [f(x) - g(x)] = lim (x→c) f(x) - lim (x→c) g(x).
• Límite de un producto: lim (x→c) [f(x)g(x)] = lim (x→c) f(x) * lim (x→c) g(x).
• Límite de un cociente: lim (x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) f(x) / lim (x→c) g(x) si lim (x→c) g(x) ≠ 0.
• Límite de una potencia: lim (x→c) f(x)^g(x) = lim (x→c) f(x)^lim(x→c) g(x) si f(x) > 0.
• Límite de un logaritmo: lim (x→c) log f(x) = log lim (x→c) f(x).

Límites Notables

• Límite del seno: lim (x→0) sen(x) / x = 1.
• Límite de la tangente: lim (x→0) tg(x) / x = 1.

Continuidad

• Una función es continua en un punto c si, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si |x - c| < ε, entonces |f(x) - f(c)| < δ.
• Para que f(x) sea continua en c:
  • Debe existir f(c).
  • Los límites laterales deben existir y ser iguales en ese punto.
  • La imagen debe coincidir con el límite de la función: F(c) = lim (x→a) f(x).
• Si f(x) es continua en un intervalo [a, b], es continua en todos los puntos intermedios y continua a la derecha de (a) y a la izquierda de (b). Si no, es continua en (a, b) (intervalo abierto).
• Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en un intervalo cerrado y toma valores positivos y negativos, entonces existe al menos un punto donde f(x) = 0.
• Teorema del Valor Intermedio: Si f(x) es continua en [a, b] y existe un k entre f(a) y f(b), entonces existe un c entre (a, b) tal que f(c) = k.
• Teorema de Weierstrass: Si f(x) es continua en [a, b], entonces f(x) tiene un mínimo y un máximo absoluto en ese intervalo.

Discontinuidad

• Una función es discontinua si no cumple alguna condición de continuidad.
• Tipos de discontinuidad:
  • Evitable: Se puede eliminar redefiniendo la función en ese punto.
  • No evitable:
    • De primera especie:
      • Salto finito: Los límites laterales existen pero son diferentes.
      • Salto infinito: Uno o ambos límites laterales tienden a infinito.
    • Asintótica: La función se acerca a una línea recta sin tocarla.
    • De segunda especie: No existen uno o ambos límites.
• Una discontinuidad es evitable (Es EVITABLE), cuando f(c) ≠ limx→c f(x)

Derivadas

• La derivada de f(x) con respecto a x es el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a 0, representando la razón de cambio instantánea de f(x) con respecto a x.
  • F'(x) = lim (Δx→0) [F(x + Δx) − f(x)] / Δx.
• La derivada en un punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

Derivabilidad

• f(x) es derivable en un punto si su derivada existe, es única y finita.
• Toda función continua en un punto es derivable en ese mismo punto.

Diferencial

• Si F(x) es derivable dentro de [a, b], la derivada de la función se determina por la igualdad: lim (Δx→0) (Δy/Δx) = f'(x)
• Cuando Δx tiende a 0, la función tiende a un número infinitamente pequeño.
  • Δy = f'(x)Δx + α Δx
• El incremento Δy está formado por dos sumandos, de los cuales el primero recibe el nombre de parte principal del incremento, o Diferencial: dy = f'(x)Δx
• La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Teorema de Rolle

• Si:
  • F(x) es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b]
  • F(x) es derivable dentro del intervalo abierto {a, b}
  • F(a)=F(b)
• Entonces existe por lo menos un punto c tal que C pertenezca al intervalo (a, b) y f'(c) = 0.
• En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.

Teorema de Lagrange

• (Teorema del Valor Medio)
  • Si: f(x) es continua en [a, b], y derivable en (a, b), entonces existe por lo menos un punto c que pertenezca a (a, b), y que
  • [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c)
• Existe un punto c dentro del intervalo [a, b], cuya recta tangente es paralela a la recta secante entre los extremos del intervalo.

Teorema de Cauchy

• Si F(x) y G(x) son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que:
  • f'(c) / g'(c) = [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)].

Regla de L'Hôpital

• Aplicable para resolver límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞.
• Si lim (x→a) f(x) = 0 y lim (x→a) g(x) = 0, entonces lim (x→a) [f(x) / g(x)] = lim (x→a) [f'(x) / g'(x)].
• También es aplicable para otras formas indeterminadas, como 0 * ∞; ∞ - ∞; 0^0; 1^∞, transformándolas algebraicamente a la forma 0/0 o ∞/∞.

Máximos y Mínimos

Máximos y mínimos Relativos

 - Se dice que una función alcanza un máximo relativo en x = a si f(a) es mayor o igual que los valores de la función en puntos próximos a a.
 - Se dice que una función alcanza un mínimo relativo en x = a si f(a) es menor o igual que los valores de la función en puntos próximos a a.

Máximos y mínimos Absolutos

 - Se dice que una función alcanza un máximo absoluto en x = a si f(a) es mayor o igual que el valor de la función en cualquier otro punto.
 - Se dice que una función alcanza un máximo absoluto en x = a si f(a) es menor o igual que el valor de la función en cualquier otro punto.

Para funciones derivables

- Para que exista un máximo o un mínimo en un punto, es necesario que la derivada en ese punto sea cero.

Procedimiento:

 - Hallar la derivada de f(x).
 - Igualar f'(x) = 0 para encontrar las raíces (puntos críticos).
 - Calcular la segunda derivada f''(x) y evaluar en cada raíz hallada, para determinar si es un máximo (f''(x) < 0) o un mínimo (f''(x) > 0).
 - Si f''(x) = 0, evaluar derivadas sucesivas hasta encontrar una derivada de orden par no nula, siendo máximo o mínimo según el signo.

Concavidad

• Una función es cóncava positiva hacia arriba en un punto si los puntos cercanos están por encima de la tangente a la curva.
• Una función es cóncava negativa (convexa) hacia abajo en un punto si los puntos cercanos están por debajo de la tangente a la curva.
• En un punto a, si F"(a) > 0, F es cóncava. Si F"(a) < 0, F es convexa.
• Puntos de Inflexión: Punto donde una curva cambia de concavidad a convexidad o viceversa.
• Si F"(a) = 0 y F"(x) cambia de signo al pasar por x = a, entonces (a, F(a)) es un punto de inflexión.

Integral Indefinida

• La función F(x) tal que su derivada es f(x) se llama integral indefinida o función primitiva de f(x), denotada por ∫f(x) dx = F(x) + C, donde C es la constante de integración.

Propiedades:

 - La derivada de una integral indefinida es igual al integrando: (∫f(x) dx)' = f(x).
 - El diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integración: d(∫f(x) dx) = f(x) dx.
 - La integral del diferencial de una función es igual a la función más una constante: ∫dF(x) = F(x) + C.
 - Dos primitivas de la misma función difieren en una constante.
 - Un factor constante puede ser sacado de la integral: ∫a * f(x) dx = a * ∫f(x) dx.

Métodos de Integración

Integración Inmediata

 - Consiste en aplicar directamente las tablas de integrales.

Integración por Descomposición

 - Basado en la propiedad de que la integral de una suma es la suma de las integrales y la integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Integración por Sustitución

 - Consiste en transformar la integral mediante un cambio de variable:∫ f(x)dx = ∫f[G(t)] * G'(t)dt=∫ G(t).dt
 - Identificar la función a sustituir ("g").
 - Determinar el diferencial de "g".
 - Reescribir la integral ya sustituida e integrar.

Integración por Partes

 - Se utiliza cuando el integrando es el producto de dos funciones: ∫ u dv = uv - ∫ v du.
 - La elección de "u" y "dv" debe hacerse de tal manera que la integral resultante sea más sencilla."

Integración de Funciones Racionales

• Para una función racional f(x) = P(x) / Q(x), si el grado de P(x) (M) es mayor o igual que el grado de Q(x) (N), se divide P(x) por Q(x) para obtener P(x)/Q(x) = P1(x) + R(x)/Q(x), donde el grado de R(x) es menor que N. Luego, se integra P1(x) y se descompone R(x)/Q(x) según las raíces de Q(x): Raíces reales simples, Raíces reales múltiples, Raíces imaginarias

Integrales Definidas

• Representan el área bajo una curva entre dos límites.
• Se definen mediante la Suma de Riemann: si n→∞, Ax → 0 entonces el área buscada se halla con lim (n→∞) Σ (i=1 -> n) f(x₁). ∆x
• La integral definida se escribe: ∫( a -> b) f(x) dx, siendo a y b los límites de integración.

Propiedades:

 - Un factor constante puede ser extraído de la integral.
 - La integral de una suma es la suma de las integrales.
 - Un intervalo de integración puede ser subdividido.
 - Al intercambiar los límites de integración, la integral cambia de signo.
 - En un intervalo (a,b); si f(x)<=g(x) las integrales entre los mismos limites respetaran la igualdad.

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

• La derivación y la integración son operaciones inversas.
• Si f(x) es continua en [a, b] y F(x) = ∫ (a -> x) f(t) dt, entonces F'(x) = f(x).
• Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral: Existe un punto c en [a, b] tal que ∫ (a -> b) f(x) dx = f(c)(b - a).
• Regla de Barrow: ∫(a -> b) f(x) dx = G(b) - G(a), donde G(x) es una primitiva de f(x).

Integrales Impropias

• Integrales donde uno o ambos extremos de integración son infinitos, o el integrando no está acotado en el intervalo de integración.

Casos:

 - Intervalo de integración no acotado: ∫ (a -> ∞) f(x) dx
 - Integrando no acotado en el intervalo:  ∫ (a -> b) f(x).dx

Aplicaciones de la Integral Definida

Cálculo de área de Figuras planas

 - Para una curva definida por una función f(x), el área bajo la curva entre dos puntos es la integral definida de f(x) entre esos puntos. Para el área total (considerando áreas positivas), se deben encontrar las intersecciones con el eje x e integrar por partes.

Área entre dos curvas

 - El área entre dos curvas f(x) y g(x) entre los puntos de intersección a y b es ∫ (a -> b) [f(x) - g(x)] dx.

Rectificación de Curvas/Longitud de Arco

 - La longitud de una curva y = f(x) en [a, b] es ∫ (a -> b) √[1 + (f'(x))^2] dx, donde f'(x) es la derivada de f(x).

Volumen de un Sólido de Revolución:

 - El volumen generado al girar una función y = f(x) alrededor del eje x en [a, b] es ∫ (a -> b) π[f(x)]^2 dx.

Área de un sólido en revolución

 - El área de un sólido generado al girar una curva alrededor del eje x en [a, b] es  Lim(x→a) n→∞ Σ2π. f (c₁). AS₁ = 2π *  ∫ (a -> b) [f(x) √[1 + (f'(x))^2]].