Calcul du coefficient directeur d'une droite

• Le mot « dérivé » vient du latin « derivare », signifiant « détourner un cours d'eau ».
• Joseph Louis Lagrange (1736-1813) a introduit le terme pour indiquer qu'une nouvelle fonction provenait d'une autre.

Coefficient directeur d'une droite

• Le coefficient directeur de la droite (AB) se calcule par (5-3) / (4-1) = 2/3.
• Le coefficient directeur de la droite (CD) se calcule par (-1-1) / (6-2) = -2/4 = -1/2.

Tangente à une courbe et nombre dérivé

• Une tangente à une courbe est abordée, ainsi que le concept de nombre dérivé.
• Si A est un point sur la courbe représentative d'une fonction f, on construit un réseau de sécantes passant par A, où le deuxième point d'intersection se rapproche de A.
• La "tangente à la courbe d'une fonction f au point A" fait référence à la droite limite d'un réseau de sécantes passant par A, où le deuxième point se rapproche de A.
• Géométriquement, la tangente en A "frôle" la courbe en A.
• La tangente à la courbe au point A d'abscisse a est une droite passant par A.
• Le coefficient directeur de cette tangente s'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a et est noté f'(a).
• L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction f en A est donnée par y = f'(a)x + p, où p est un nombre réel.
• Une vidéo explique comment déterminer graphiquement un nombre dérivé. Lien: https://youtu.be/7-z62dSkkTQ

Détermination graphique du coefficient directeur

• On donne la fonction f(x) = x² + 2x – 3, représentée avec sa tangente au point d'abscisse 2.
• Il faut déterminer graphiquement le coefficient directeur de la tangente en A et en déduire le nombre dérivé en 2, ainsi que son équation.
• L'utilisation d'une calculatrice graphique permettrait de reproduire la courbe de f et sa tangente au point A d'abscisse 2.
• Le coefficient directeur de la tangente est égal à 6/1 = 6.

Nombre dérivé

• Le nombre dérivé de f en 2 est égal à 6.
• La tangente à la courbe représentative de f au point A est une droite passant par A avec un coefficient directeur de 6.

Équation de la Tangente

• Elle est de la forme y = 6x + p. Puisque f(2) = 2² + 2*2 - 3 = 5, le point A a pour coordonnées (2, 5).
• Le point A appartient à la tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation y = 6x + p. Ainsi, 5 = 6*2 + p, donc p = 5 - 12 = -7.
• L'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d'abscisse 2 est y = 6x - 7. Il est possible de tracer la tangente à une courbe en un point avec une calculatrice.

Partie 1: Fonction Dérivée

• La fonction qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '.

Formules de dérivation de fonctions usuelles :

• Si f(x) = a, où a ∈ R, alors f'(x) = 0.
• Si f(x) = ax, où a ∈ R, alors f'(x) = a.
• Si f(x) = x², alors f'(x) = 2x.
• Si f(x) = x³, alors f'(x) = 3x².

Formules d'opération sur les fonctions dérivées :

• (f + g)' = f' + g'
• (kf)' = kf', où k ∈ R

Calcul des fonctions dérivées:

• Vidéo sur le calcul des fonctions dérivées: https://youtu.be/uTk3T_GfwYo
• Si f(x) = 3x, alors f'(x) = 3.
• Si f(x) = x² + 5, alors f'(x) = 2x.
• Si f(x) = 5x³, alors f'(x) = 15x².
• Si f(x) = 3x² + 4x, alors f'(x) = 6x + 4.

Partie 2 : Fonction Dérivée d'une Fonction Polynôme

• Soit f une fonction polynôme du second degré définie par f(x) = 5x² – 3x + 2. Pour déterminer sa fonction dérivée f', on applique une technique spécifique :
  • f(x) = 5x² - 3x + 2
  • f'(x) = 5 × 2x - 3 + 0
  • f'(x) = 10x - 3

Définition Fonction Polynôme :

• Si f est une fonction polynôme du second degré définie sur R par f(x) = ax² + bx + c, alors la fonction dérivée de f, notée f ', est définie sur R par f'(x) = a × 2x + b.

Vidéo explicative :

• Méthode pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré :https://youtu.be/5WDIrv_bEYE

Détermination des Fonctions Dérivées :

• Si f(x) = 4x² - 6x + 1, alors f'(x) = 8x - 6.
• Si g(x) = x² – 2x + 6, alors g'(x) = 2x - 2.
• Si h(x) = -3x² + 2x + 8, alors h'(x) = -6x + 2.
• Si k(x) = x² + x + 1, alors k'(x) = 2x + 1.
• Si l(x) = 5x² + 5, alors l'(x) = 10x.
• Si m(x) = -x² + 7x, alors m'(x) = -2x + 7.

Fonction Polynôme du Troisième Degré

• Soit f une fonction polynôme du troisième degré définie par f(x) = 2x³ – 3x² + 5x − 1.
• Sa dérivée f'(x) se calcule comme suit :
  • f(x) = 2x³ – 3x² + 5x − 1
  • f'(x) = 2 × 3x² - 3 × 2x + 5 - 0
  • f'(x) = 6x² - 6x + 5

Définition

• Soit f une fonction polynôme du troisième degré définie sur R par f(x) = ax³ + bx² + cx + d.
• Alors, la fonction dérivée de f, notée f', est définie sur R par f'(x) = a × 3x² + b × 2x + c.

Méthode

• La vidéo suivante explique comment déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré : https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Déterminer les fonctions dérivées :

• Si f(x) = x³ - 3x² + 2x - 5, alors f'(x) = 3x² - 6x + 2
• Si g(x) = 5x³ + 2x² + 2x - 7, alors g'(x) = 15x² + 4x + 2
• Si h(x) = -2x³ - 3x² - 7x + 8, alors h'(x) = -6x² - 6x - 7
• Si k(x) = -x³ + x² + 1, alors k'(x) = -3x² + 2x
• Si l(x) = 4x³ + 1, alors l'(x) = 12x²
• Si m(x) = -x³ + 7x, alors m'(x) = -3x² + 7

Partie 3 : Variations d'une fonction polynôme

Théorème :

• Si f'(x) ≤ 0, alors f est décroissante.
• Si f'(x) ≥ 0, alors f est croissante.

Vidéos pertinentes pour l'étude du second degré

• Une vidéo porte sur l'étude des variations d'une fonction polynôme du second degré : https://youtu.be/EXTobPZzORo
• Une autre vidéo pertinente: https://youtu.be/zxyKLqn|MIk
• Soit f définie par f (x) = 2x² - 8x + 1, calculez la fonction dérivée de f.
• Déterminez le signe de f' en fonction de x.

Correction

• f'(x) = 2 * 2x - 8 = 4x - 8.
• On résout l'équation f'(x) = 0 pour déterminer le signe de la dérivée.
• 4x - 8 = 0 => 4x = 8 => x = 2.
• La fonction f' est affine et représentée par une droite avec un coefficient directeur positif, elle est croissante, donc négative avant x=2 et positive après.
• Tableau de variation : - inf jusqu'à 2 est négatif, et positive de 2 à + inf.
• f(2) = 22^2 - 82 + 1 = -7.
• La fonction f admet donc un minimum égal à -7 en x = 2.
• Les vidéos suivantes expliquent comment étudier les variations d'une fonction polynôme du troisième degré : https://youtu.be/Ktc-PThiP6I

Courbe Definie

• Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x³ + (9/2)x² - 12x + 5

Correction:

• La fonction dérivée de f est égale à f'(x) = 3x² + 9x – 12
• f'(x) soit aussi être exprimée sous la forme factorisée f'(x) = 3(x + 4)(x - 1)
• Les solutions de l'équation f'(x) = 0 sont x = -4 et x = 1. La dérivée s'annule en ces points.
• Comme a = 3 > 0, les branches de la parabole représentant la fonction dérivée sont tournées vers le haut.
• La dérivée est donc d'abord positive, puis négative, puis positive.
• Le tableau des variations de f indique comment la fonction change selon les intervalles définis par ces points critiques(voir image for details)