Các Chiến Lược Chứng Minh Toán Học

Các Chiến Lược Chứng Minh

• Năm chiến lược chứng minh chính bao gồm chứng minh trực tiếp, chứng minh bằng phản chứng, chứng minh bằng mâu thuẫn, chứng minh bằng các trường hợp và chứng minh tính tương đương.

1. Chứng Minh Trực Tiếp

• Để chứng minh câu "Nếu P, thì Q":
  • Giả sử P là đúng.
  • Chứng minh rằng Q là đúng.

2. Chứng Minh Bằng Phản Chứng

• Để chứng minh câu "Nếu P, thì Q":
  • Giả sử Q là sai.
  • Chứng minh rằng P là sai.
• "Nếu P, thì Q" tương đương với "Nếu không Q, thì không P."

3. Chứng Minh Bằng Mâu Thuẫn

• Để chứng minh P:
  • Giả sử P là sai.
  • Chứng minh rằng cả R và không R đều đúng.

4. Chứng Minh Bằng Các Trường Hợp

• Để chứng minh P:
  • Chia P thành các trường hợp: $P_1, P_2, \dots, P_n$.
  • Chứng minh rằng mỗi trường hợp ngụ ý P là đúng.
    • $P_1 \implies P$
    • $P_2 \implies P$
    • $\dots$
    • $P_n \implies P$

5. Chứng Minh Tính Tương Đương

• Để chứng minh "P nếu và chỉ nếu Q":
  • Chứng minh "Nếu P, thì Q."
  • Chứng minh "Nếu Q, thì P."
• "P nếu và chỉ nếu Q" tương đương với "P tương đương với Q."

Ví Dụ 1

• Chứng minh rằng nếu $n$ là một số nguyên lẻ, thì $n^2$ là một số nguyên lẻ.
• Chứng minh trực tiếp:
  • Giả sử $n$ là một số nguyên lẻ.
  • Khi đó $n = 2k + 1$ với một số nguyên $k$.
  • $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$
  • Vì $2k^2 + 2k$ là một số nguyên, $n^2$ là lẻ.

Ví Dụ 2

• Chứng minh rằng nếu $n$ là một số nguyên và $n^2$ là lẻ, thì $n$ là lẻ.
• Chứng minh bằng phản chứng:
  • Giả sử $n$ không lẻ. Khi đó $n$ là chẵn.
  • $n = 2k$ với một số nguyên $k$.
  • $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$
  • Vì $2k^2$ là một số nguyên, $n^2$ là chẵn.
  • Do đó, $n^2$ không lẻ.

Ví Dụ 3

• Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.
• Chứng minh bằng mâu thuẫn:
  • Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ. Khi đó $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên không có ước chung.
  • $2 = \frac{a^2}{b^2}$
  • $2b^2 = a^2$
  • $a^2$ là chẵn, nên $a$ là chẵn.
  • $a = 2k$ với một số nguyên $k$.
  • $2b^2 = (2k)^2 = 4k^2$
  • $b^2 = 2k^2$
  • $b^2$ là chẵn, nên $b$ là chẵn.
  • Vì $a$ và $b$ đều là chẵn, chúng có ước chung là 2.
  • Điều này mâu thuẫn với giả định rằng $a$ và $b$ không có ước chung. Do đó, $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Ví Dụ 4

• Chứng minh rằng nếu $n$ là một số nguyên, thì $n^2 \ge n$.
• Chứng minh bằng các trường hợp:
  • Trường hợp 1: $n \ge 1$, khi đó $n^2 \ge n$.
  • Trường hợp 2: $n \le 0$, khi đó $n^2 \ge 0 \ge n$.
  • Trường hợp 3: $n = 0$, khi đó $n^2 = 0 = n$.

Ví Dụ 5

• Chứng minh rằng $x^2 - 4x + 5 > 0$ cho tất cả các số thực $x$.
  • $x^2 - 4x + 5 = x^2 - 4x + 4 + 1 = (x - 2)^2 + 1 > 0$.
  • Vì $(x - 2)^2 \ge 0$ cho tất cả các số thực $x$.

Ví Dụ 6

• Chứng minh rằng $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
• Chứng minh tính tương đương:
  • Chứng minh rằng $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$ và $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$.
    1. Chứng minh rằng $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$:
       • Giả sử $x \in (A \cup B)^c$. Khi đó $x \notin A \cup B$.
       • Vậy $x \notin A$ và $x \notin B$.
       • Điều này có nghĩa là $x \in A^c$ và $x \in B^c$.
       • Do đó, $x \in A^c \cap B^c$.
    2. Chứng minh rằng $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$:
       • Giả sử $x \in A^c \cap B^c$.
       • Khi đó $x \in A^c$ và $x \in B^c$.
       • Vậy $x \notin A$ và $x \notin B$.
       • Điều này có nghĩa là $x \notin A \cup B$.
       • Do đó, $x \in (A \cup B)^c$.

Chứng Minh Sự Tồn Tại

• Chứng minh sự tồn tại mang tính xây dựng tìm một ví dụ cụ thể thỏa mãn mệnh đề.
• Chứng minh sự tồn tại không mang tính xây dựng chỉ ra rằng một ví dụ tồn tại mà không tìm thấy nó.

Ví Dụ 7

• Chỉ ra rằng có một số nguyên dương là tổng của các lập phương của các số nguyên dương.
  • $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$

Ví Dụ 8

• Chỉ ra rằng có một hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ khả vi nhưng không khả vi hai lần.
  • $f(x) = |x|$