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Questions and Answers
यदि $4x + 3y = 12$ और $2x - y = 4$, तो विलोपन विधि (Elimination Method) का उपयोग करके $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि $4x + 3y = 12$ और $2x - y = 4$, तो विलोपन विधि (Elimination Method) का उपयोग करके $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
- 4
- 3 (correct)
- 2
- 1
असमानता (Inequality) $3x - 5 \leq 7$ को हल कीजिए।
असमानता (Inequality) $3x - 5 \leq 7$ को हल कीजिए।
- $x \geq 2$
- $x \leq 2$
- $x \geq 4$ (correct)
- $x \leq 4$
यदि $f(x) = x^2 - 4x + 3$, तो $f(2)$ का मान क्या है?
यदि $f(x) = x^2 - 4x + 3$, तो $f(2)$ का मान क्या है?
- 0
- 1
- -1 (correct)
- 3
व्यंजक $(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) + (x^3 + 2x^2 - x + 4)$ को सरल कीजिए।
व्यंजक $(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) + (x^3 + 2x^2 - x + 4)$ को सरल कीजिए।
बहुपद $x^2 - 9$ का गुणनखंड क्या है?
बहुपद $x^2 - 9$ का गुणनखंड क्या है?
यदि एक रेखा का ढलान (slope) 2 है और वह बिंदु (1, 3) से गुजरती है, तो उस रेखा का समीकरण (equation) क्या है?
यदि एक रेखा का ढलान (slope) 2 है और वह बिंदु (1, 3) से गुजरती है, तो उस रेखा का समीकरण (equation) क्या है?
मान लीजिए कि $a, b, c$ ऐसे वास्तविक संख्याएँ हैं जो समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ को संतुष्ट करते हैं। यदि समीकरण के तीनों मूल (roots) वास्तविक और बराबर हैं, तो $a^2$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?
मान लीजिए कि $a, b, c$ ऐसे वास्तविक संख्याएँ हैं जो समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ को संतुष्ट करते हैं। यदि समीकरण के तीनों मूल (roots) वास्तविक और बराबर हैं, तो $a^2$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?
गणित की वह शाखा जो प्रतीकों और उन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों से संबंधित है, उसे क्या कहते हैं?
गणित की वह शाखा जो प्रतीकों और उन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों से संबंधित है, उसे क्या कहते हैं?
निम्नलिखित में से कौन सा बीजीय व्यंजक का एक उदाहरण है?
निम्नलिखित में से कौन सा बीजीय व्यंजक का एक उदाहरण है?
बीजगणित में साहचर्य नियम (Associative Law) क्या बताता है?
बीजगणित में साहचर्य नियम (Associative Law) क्या बताता है?
व्यंजक $3x + 5y - 2x + y$ को सरल करने पर क्या प्राप्त होगा?
व्यंजक $3x + 5y - 2x + y$ को सरल करने पर क्या प्राप्त होगा?
समीकरण $5x - 3 = 12$ को हल करने पर x का मान क्या होगा?
समीकरण $5x - 3 = 12$ को हल करने पर x का मान क्या होगा?
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ को हल करने के लिए द्विघात सूत्र क्या है?
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ को हल करने के लिए द्विघात सूत्र क्या है?
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि में क्या शामिल है?
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि में क्या शामिल है?
यदि $f(x) = x^2 - 4x + 3$ है, तो $f(2 + i)$ का मान क्या है, जहाँ $i$ काल्पनिक इकाई है?
यदि $f(x) = x^2 - 4x + 3$ है, तो $f(2 + i)$ का मान क्या है, जहाँ $i$ काल्पनिक इकाई है?
Flashcards
विलोपन विधि
विलोपन विधि
एक चर को हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ।
तर्कसंगत अभिव्यक्ति
तर्कसंगत अभिव्यक्ति
बहुपदों को सरल बनाने के लिए अंश और हर में सामान्य कारकों को रद्द करें।
बहुपद
बहुपद
चर और गुणांक वाले व्यंजक, जिनमें केवल जोड़, घटाव और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक शामिल हैं।
तर्कसंगत घातांक
तर्कसंगत घातांक
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फलन
फलन
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ढलान
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अवरोधन
अवरोधन
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चर (Variable) क्या है?
चर (Variable) क्या है?
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गुणांक (Coefficient) क्या है?
गुणांक (Coefficient) क्या है?
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क्रमविनिमेय नियम (Commutative Law) क्या है?
क्रमविनिमेय नियम (Commutative Law) क्या है?
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साहचर्य नियम (Associative Law) क्या है?
साहचर्य नियम (Associative Law) क्या है?
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वितरण नियम (Distributive Law) क्या है?
वितरण नियम (Distributive Law) क्या है?
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समान पदों को संयोजित करना (Combining Like Terms) क्या है?
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चर को अलग करना (Isolating the Variable) क्या है?
चर को अलग करना (Isolating the Variable) क्या है?
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द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) का मानक रूप क्या है?
द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) का मानक रूप क्या है?
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Study Notes
ज़रूर, मैं आपकी बीजगणित अध्ययन नोट्स को अपडेट कर सकता हूँ। यहाँ अपडेटेड नोट्स दिए गए हैं:
- बीजगणित गणित की वह शाखा है जो प्रतीकों और उन प्रतीकों को बदलने के नियमों से सम्बन्धित है।
मूल अवधारणाएँ
- चर ऐसे प्रतीक (आमतौर पर अक्षर) होते हैं जो अज्ञात या परिवर्तनशील मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- स्थिरांक निश्चित मान होते हैं जो बदलते नहीं हैं।
- गुणांक वे संख्याएँ हैं जो चर को गुणा करती हैं।
- व्यंजक चर, स्थिरांक और संक्रियाओं का संयोजन हैं।
- समीकरण ऐसे कथन हैं जो दो व्यंजकों के बीच समानता दर्शाते हैं।
संक्रियाएँ
- जोड़, घटाव, गुणा और भाग मूलभूत संक्रियाएँ हैं।
- घातांक बार-बार गुणा करने का संकेत देते हैं।
- मूल (जैसे वर्गमूल) घातांक की विपरीत संक्रियाएँ हैं।
बीजगणित के नियम
- क्रमविनिमेय नियम: जोड़े या गुणा किए जा रहे संख्याओं का क्रम परिणाम को नहीं बदलता है (a + b = b + a, a * b = b * a)।
- साहचर्य नियम: जोड़े या गुणा किए जा रहे संख्याओं का समूहीकरण परिणाम को नहीं बदलता है ((a + b) + c = a + (b + c), (a * b) * c = a * (b * c)।
- वितरण नियम: किसी संख्या को योग या अंतर से गुणा करना, संख्या को योग या अंतर में प्रत्येक पद से गुणा करने के समान है (a * (b + c) = a * b + a * c)।
व्यंजकों को सरल बनाना
- समान पदों को मिलाना: समान चर और घातांक वाले पदों को मिलाया जा सकता है।
- वितरण: कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद को किसी पद से गुणा करें।
- गुणनखंडन: किसी व्यंजक को उसके कारकों के गुणनफल में तोड़ना।
समीकरणों को हल करना
- चर को अलग करना: समीकरण के एक तरफ चर को अकेला करने के लिए विपरीत संक्रियाओं का उपयोग करें।
- रेखीय समीकरण: ऐसे समीकरण जहाँ चर की उच्चतम घात 1 है।
- द्विघात समीकरण: ऐसे समीकरण जहाँ चर की उच्चतम घात 2 है।
रेखीय समीकरण
- मानक रूप: ax + b = 0, जहाँ x चर है, और a और b स्थिरांक हैं।
- हल करना: समीकरण के दोनों तरफ समान संक्रियाएँ करके चर को अलग करें।
- उदाहरण: 2x + 3 = 7 => 2x = 4 => x = 2
द्विघात समीकरण
- मानक रूप: ax² + bx + c = 0, जहाँ x चर है, और a, b और c स्थिरांक हैं।
- गुणनखंडन: द्विघात समीकरण को दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें और प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करें।
- द्विघात सूत्र: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
- वर्ग को पूरा करना: एक पूर्ण वर्ग त्रिपद बनाने के लिए समीकरण में हेरफेर करना।
समीकरणों की प्रणाली
- समान चरों वाले दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह।
- हल करना: चरों के उन मानों को ज्ञात करें जो एक साथ प्रणाली में सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
- प्रतिस्थापन विधि: एक चर के लिए एक समीकरण को हल करें और उस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
- विलोपन विधि: एक चर को हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएं।
- ग्राफिक विधि: प्रत्येक समीकरण को ग्राफ़ करें और प्रतिच्छेदन के बिंदु (बिंदुओं) को ज्ञात करें।
असमानताएँ
- असमानताएँ व्यंजकों के बीच संबंध को दर्शाने के लिए < (से कम), > (से अधिक), ≤ (से कम या बराबर) और ≥ (से अधिक या बराबर) जैसे प्रतीकों का उपयोग करती हैं।
- हल करना: समीकरणों को हल करने के समान, लेकिन किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने से असमानता चिन्ह उलट जाता है।
- असमानताओं को ग्राफ़ करना: संख्या रेखा या निर्देशांक तल पर हल समुच्चय का प्रतिनिधित्व करें।
बहुपद
- चर और गुणांक से युक्त व्यंजक, जिसमें केवल जोड़, घटाव और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक की संक्रियाएँ शामिल हैं।
- प्रकार: एकपद (एक पद), द्विपद (दो पद), त्रिपद (तीन पद)।
- संक्रियाएँ: जोड़, घटाव, गुणा और भाग।
बहुपदों का गुणनखंडन
- महत्तम समापवर्तक (GCF): सबसे बड़ा कारक ज्ञात करें जो बहुपद के सभी पदों को विभाजित करता है।
- वर्गों का अंतर: a² - b² = (a + b)(a - b)
- पूर्ण वर्ग त्रिपद: a² + 2ab + b² = (a + b)² या a² - 2ab + b² = (a - b)²
- समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन: पदों को समूहित करें और उभयनिष्ठ कारकों को गुणनखंडित करें।
परिमेय व्यंजक
- भिन्न जहाँ अंश और हर बहुपद हों।
- सरल बनाना: अंश और हर का गुणनखंड करें और उभयनिष्ठ कारकों को रद्द करें।
- संक्रियाएँ: जोड़, घटाव, गुणा और भाग (भिन्नों के समान)।
घातांक और मूलक
- घातांक: बार-बार गुणा करने का संकेत देते हैं (aⁿ = a * a *... * a, n बार)।
- मूलक: मूलों का प्रतिनिधित्व करें (√a, a का वर्गमूल है)।
- घातांक के नियम:
- घातों का गुणनफल: aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- घातों का भागफल: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- घात की घात: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- गुणनफल की घात: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- भागफल की घात: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- ऋणात्मक घातांक: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- शून्य घातांक: a⁰ = 1 (यदि a ≠ 0)
- परिमेय घातांक: a^(m/n) = ⁿ√aᵐ
फलन
- आगतों के एक समुच्चय और अनुमत निर्गतों के एक समुच्चय के बीच एक संबंध जिसमें यह गुण होता है कि प्रत्येक आगत ठीक एक निर्गत से संबंधित होता है।
- संकेतन: f(x), आगत x के लिए फलन f के निर्गत का प्रतिनिधित्व करता है।
- डोमेन: सभी संभावित आगत मानों का समुच्चय।
- रेंज: सभी संभावित निर्गत मानों का समुच्चय।
- प्रकार: रेखीय, द्विघात, घातीय, लघुगणकीय, त्रिकोणमितीय आदि।
ग्राफ़ बनाना
- निर्देशांक तल: दो लंबवत संख्या रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) द्वारा निर्मित द्वि-आयामी तल।
- क्रमित युग्म: (x, y) निर्देशांक तल पर एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।
- फलन को ग्राफ़ करना: उन बिंदुओं को आलेखित करना जो फलन के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
- ढलान: एक रेखा की खड़ीता का माप (उदय पर दौड़)।
- अंतःखण्ड: वे बिंदु जहाँ एक ग्राਫ਼ x-अक्ष (x-अंतःखण्ड) और y-अक्ष (y-अंतःखण्ड) को काटता है।
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Description
बीजगणित गणित की एक शाखा है जो प्रतीकों और उन प्रतीकों को हेरफेर करने के नियमों से संबंधित है। इसमे चर, स्थिरांक, गुणांक, भाव और समीकरण शामिल हैं। जोड़, घटाव, गुणा और भाग बुनियादी संचालन हैं।
