Bernoulli's Principe

Bernoulli's Principe

• Stelt dat een toename van de snelheid van een vloeistof gelijktijdig optreedt met een afname van de druk of een afname van de potentiële energie van de vloeistof.
• Is gebaseerd op de wet van behoud van energie.
• Als een vloeistof door een vernauwd gedeelte van een pijp stroomt, neemt de snelheid toe.
• Deze toename van snelheid vereist energie, die wordt onttrokken aan de druk en potentiële energie van de vloeistof, wat resulteert in een afname van druk of potentiële energie.

Toepassingen

• Aerodynamica: Het ontwerp van vliegtuigvleugels is gebaseerd op dit principe.
• Vloeistofmechanica: Gebruikt om de stroomsnelheid van vloeistoffen in buizen te meten met behulp van een Venturi-meter.
• Meteorologie: Helpt verklaren hoe wind beweegt en hoe stormen ontstaan.

Formule

• Bernoulli's vergelijking is een wiskundige uitdrukking van het genoemde principe: $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = constant$
  • $P$ is de druk van de vloeistof
  • $\rho$ is de dichtheid van de vloeistof
  • $v$ is de snelheid van de vloeistof
  • $g$ is de versnelling door de zwaartekracht
  • $h$ is de hoogte van de vloeistof boven een referentiepunt.

Voorbeeld

• Beschouw een vloeistof die door een pijp met een vernauwing stroomt.
• Bij de vernauwing neemt de snelheid van de vloeistof toe en de druk af.
• De potentiële energie blijft constant omdat de hoogte van de vloeistof niet verandert.

Algebra Lineair

• Een herhaling van de Basis definities rond lineaire algebra

Matrices

• Een array met getallen

Bewerkingen op Matrices

• Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn veel voorkomende bewerkingen.

Bijzondere Matrices

• Zero matrixen, Identiteitsmatrices

Transponeer

• Verkregen door rijen en kolommen om te wisselen

Lineaire systemen

• Een herhaling van de basis definities rond Lineaire systemen

Definitie

• Een verzameling lineaire vergelijkingen

Notatie

• In matrixvorm kan een lineair stelsel worden geschreven als Ax = b, waarbij A een matrix is, x een variabele en b een constante.

Oplossingsmethoden

• Een manier op vergelijkingen op te lossen is de Gauss methode

Lineaire Algebra en Vector Geometrie

Vectoren in

• R^N

Definitie

• Uitleggen van vectoren aan de hand van componenten

R^N Vector Ruimte

• Het uitleggen van Vectoren in een R^N ruimte, beschrijft basis operaties op een n-dimensionale vector

Vector Operaties

• Sommatie van vectoren

Scalaire vermenigvuldiging

• Vermenigvuldig een vector met een scalaire hoeveelheid

Lineaire Combinatie

• Met behulp van vectoren, hoe deze met elkaar samenwerken

Lineaire Onafhankelijkheid

• Vectoren zijn lineair onafhankelijk als ze niet verkregen kunnen worden door een lineaire combinatie

Scalair Product

• Product, de geometrische en algebraïsche eigenschappen
• De orthogonale projectie kan worden berekend
• Scalair is een andere naam voor inwendig product

Basis

• Orthonormale basis

Matrices

• Vierkante matrix, de determinanten

Transformationeel

• Lineaire transformaties en operaties
• Kern en Beeld
• Matrixrepresentaties

Vectorruimtes

• Dimensionering van de vectorruimte

Euclidische ruimtes

• Er wordt gesproken over orthogonale projectie

Onderwerpen in de Lineaire Algebra

• Er wordt gesproken over het oplossen van vergelijkingen
• Databewerkingen en compressie
• Applicatie van lineaire algebra binnen andere vakgebieden zoals; Grafische gegevensverwerking, natuurkunde en ingenieurswetenschappen
• De gebruikte notatie wordt beschreven als, wat elk symbool betekent.

Partiële Differentiaalvergelijkingen (PDE's)

Inleiding

• ODE's versus PDE's: Gewone differentiaalvergelijkingen (ODE's) betreffen functies van één variabele, terwijl partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's) functies van meerdere variabelen betreffen.
• Voorbeelden uit de natuurkunde: PDE's zijn fundamenteel bij het beschrijven van verschillende fysische verschijnselen, waaronder golfvoortplanting, warmtediffusie, vloeistofdynamica, quantummechanica.

Basisconcepten

• Algemene vorm: Een algemene PDE kan worden geschreven als $F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}) = 0$
  • $x, y$ zijn onafhankelijke variabelen.
  • $u(x, y)$ is de afhankelijke variabele
  • Subscripts geven partiële afgeleiden aan (bijv. $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$).
• Lineariteit: Een PDE is lineair als $F$ een lineaire functie is van $u$ en zijn afgeleiden.
• Orde: De orde van een PDE wordt bepaald door de afgeleide van de hoogste orde die in de vergelijking voorkomt.

Gebruikelijk in de natuurkunde

• Golfvergelijking: $u_{tt} = c^2 u_{xx}$
  • Beschrijft golfverschijnselen (bijv. geluidsgolven, lichtgolven).
  • $c$ is de golfsnelheid
• Warmtevergelijking: $u_t = \alpha u_{xx}$
  • Beschrijft warmtediffusie of thermische geleiding
  • $\alpha$ is de thermische diffusie
• Vergelijking van Laplace: $u_{xx} + u_{yy} = 0$ of $\nabla^2 u = 0$
  • Beschrijft stationaire verschijnselen (bijv. elektrostatica, vloeistofstroom).
• Vergelijking van Poisson: $u_{xx} + u_{yy} = f(x, y)$ of $\nabla^2 u = f(x, y)$
  • Een generalisatie van de vergelijking van Laplace met een bronterm $f(x, y)$.
• Schrödinger-vergelijking: $i\hbar u_t = -\frac{\hbar^2}{2m}u_{xx} + V(x)u$
  • Beschrijft de tijdsevolutie van quantummechanische systemen.
  • $i$ is de imaginaire eenheid, $\hbar$ is de gereduceerde constante van Planck, $m$ is de massa en $V(x)$ is de potentiële energie.

Rand- en beginvoorwaarden

• PDE's vereisen aanvullende voorwaarden om een unieke oplossing te hebben. Deze voorwaarden specificeren het gedrag van de oplossing op de rand van het domein (randvoorwaarden) en/of op een begintijd (beginvoorwaarden).
  • Dirichlet-voorwaarde: Specificeert de waarde van de oplossing op de rand.
  • Neumann-voorwaarde: Specificeert de normale afgeleide van de oplossing op de rand.
  • Cauchy-voorwaarde: Specificeert zowel de waarde als de normale afgeleide van de oplossing op de rand.

Oplossingstechnieken

• Analytische methoden
  • Scheiding van variabelen: Reduceert een PDE tot meerdere ODE's.
  • Fourierreeksen/transformen: Vertegenwoordigt oplossingen als een som of integraal van trigonometrische functies.
  • Green's functies: Bieden een manier om inhomogene PDE's op te lossen.
• Numeriek
  • Eindige-differentiemethode: Benadert afgeleiden met behulp van differentiequotiënten.
  • Eindige-elementenmethode: Verdeelt het domein in kleinere elementen en benadert de oplossing binnen elk element.

Statisch Evenwicht

Evenwicht

• Een object is in evenwicht als:
  • De vectorsom van alle krachten die erop inwerken nul is.
  • De vectorsom van alle momenten die erop inwerken nul is.
  • Een object is in statisch evenwicht als het ook niet beweegt (d.w.z. zijn lineaire en hoeksnelheid nul zijn).

Problemen Oplossen voor Statisch Evenwicht

• Teken een vrij lichaamsschema, dat alle krachten weergeeft die op het object inwerken en waar ze inwerken.
• Kies een coördinatensysteem.
• Verdeel krachten in componenten.
• Schrijf de evenwichtsvergelijkingen op:
  • $\sum F_x = 0$
  • $\sum F_y = 0$
  • $\sum \tau = 0$
• Kies een rotatie-as. Dit is willekeurig, maar moet worden gekozen om de vergelijkingen zoveel mogelijk te vereenvoudigen.
• Los de vergelijkingen op voor de onbekenden.