Geografie

Bayesiese regressie behels die handhawing van 'n verspreiding: p(w | D) oor die gewigte w.
Begin met 'n prior p(w) en werk dit by met behulp van Bayes se Reël: p(w | D) ∝ p(D | w) p(w)
Die prior kodeer oortuigings oor w se waardes.
Die waarskynlikheid kodeer hoe goed data D by 'n spesifieke gewigvektor w pas.
Die posterior is 'n opgedateerde oortuiging oor w na die sien van die data D.

Afleiding is die proses om die posterior verspreiding p(w | D) te bereken.
Dit word makliker as aannames gemaak word:
- Aanvaar 'n Gaussiese prior: p(w) = N(w; 0, α⁻¹ I)
- Aanvaar 'n Gaussiese waarskynlikheid: p(yn | w, xn) = N(yn; wᵀ xn, β⁻¹)
Die posterior is ook Gaussies: p(w | D) = N(w; m, S)
- Waar:
  - S⁻¹ = αI + βXᵀ X
  - m = βS Xᵀ y
X is die ontwerpmatriks, waar elke ry 'n datapunt xnᵀ is.
y is 'n vektor van die teikens yn vir elke datapunt.

Nadat 'n posterior verspreiding oor die gewigte vasgestel is, kan voorspellings gemaak word vir nuwe insette.
Bereken die voorspellende verspreiding: p(y | x, D) = ∫ p(y | x, w) p(w | D) dw
"Middel" die voorspellings van alle moontlike gewigvektore, geweeg deur hul posterior waarskynlikheid.
Onder Gaussiese aannames, kan hierdie integraal in geslote vorm bereken word:
- p(y | x, D) = N(y; mᵀ x, σ²)
- σ² = β⁻¹ + xᵀ S x

In Bayesiese regressie kan die marginale waarskynlikheid gebruik word om verskillende modelle te vergelyk: p(D) = ∫ p(D | w) p(w) dw
Hierdie hoeveelheid marginaliseer die gewigte w en vertel hoe goed die model as geheel by die data pas.
Dit kan gebruik word om verskillende keuses van kenmerke, priors, ens., te vergelyk.
Onder Gaussiese aannames kan hierdie integraal in geslote vorm berekend word:
- ln p(D) = (M/2) ln α + (N/2) ln β - (N/2) ln (2π) - (α/2) wᵀ w - (β/2) Σ{yn - wᵀ xn}²

Bayesiese regressie is kragtig maar het beperkings:
- Aanvaar Gaussiese waarskynlikheid wat nie altyd toepaslik is nie.
- Aanvaar Gaussiese prior, wat nie toepaslik is as daar sterk oortuigings oor die gewigte is nie.
- Geslote-vorm afleiding is slegs moontlik onder sekere aannames.
- Oor die algemeen is benaderde afleidingstegnieke nodig (bv. MCMC, variasie-afleiding).
Veralgemeende Lineêre Modelle (GLMs) is 'n ander benadering tot die hantering van nie-Gaussiese data.

Chemiese Kinetika

Chemiese kinetika, ook bekend as reaksie kinetika, is die studie van reaksietempo's.
Dit ondersoek hoe reaksietempo's beïnvloed kan word deur verskillende reaksie toestande.
Dit bied insigte in reaksie meganismes en oorgangstoestande.
Dit maak die konstruksie van wiskundige modelle moontlik wat die eienskappe van 'n chemiese reaksie beskryf.

Die verhoging van die temperatuur verhoog gewoonlik die reaksietempo.
Hoër temperature gee meer energie aan die reagensmolekules en verhoog die frekwensie en energie van botsings.
'n Sekere minimum energie, bekend as die aktiveringsenergie (Ea), word vereis vir 'n reaksie om plaas te vind.
Die Arrhenius-vergelyking beskryf die verhouding tussen temperatuur en reaksietempo:
- k = A * e^(-Ea/RT)
- k is die spoedkonstante
- A is die pre-eksponensiële faktor
- Ea is die aktiveringsenergie
- R is die gaskonstante (8.314 J/(mol·K))
- T is die absolute temperatuur (in Kelvin)

Die fisiese toestand van reagense (vastof, vloeistof of gas) en hul graad van verspreiding kan reaksietempo's beïnvloed.
Reaksies is gewoonlik vinniger wanneer reagense in dieselfde fase is (homogene reaksies).
Reaksies is stadiger wanneer hulle in verskillende fases is (heterogene reaksies).
Oppervlakte speel 'n deurslaggewende rol in heterogene reaksies.
Die verhoging van die oppervlakte van 'n vaste reagens, soos die gebruik van 'n poeier, verhoog die oppervlakte wat beskikbaar is vir kontak met ander reagense.
Dit lei tot 'n vinniger reaksietempo.

'n Katalisator verhoog die tempo van 'n chemiese reaksie sonder dat dit in die proses verbruik word.
Katalisators werk deur 'n alternatiewe reaksiepad te verskaf met 'n laer aktiveringsenergie.
Katalisators kan homogeen (teenwoordig in dieselfde fase as die reagense) of heterogeen (teenwoordig in 'n ander fase) wees.

Lig kan ook die tempo van sekere chemiese reaksies beïnvloed, veral fotochemiese reaksies.
In hierdie reaksies verskaf lig die energie wat nodig is om die reaksie te begin.
Die tempo van 'n fotochemiese reaksie hang af van die intensiteit en golflengte van die lig.

Faktor	Effek op Reaksie Tempo
Reagens Konsentrasie	Verhoog reaksie tempo
Temperatuur	Verhoog reaksie tempo
Fisiese Toestand	Homogene reaksies is vinniger; groter oppervlakte verhoog tempo
Teenwoordigheid van 'n Katalisator	Verhoog reaksie tempo deur aktiveringsenergie te verlaag
Lig	Verhoog tempo van fotochemiese reaksies

Die verstaan van hierdie faktore is noodsaaklik vir die beheer en optimering van chemiese reaksies in verskeie toepassings.
Dit sluit industriële prosesse, chemiese sintese en omgewingsbestuur in.