Balancing Chemical Equations & Reaction Types

Chemical Equations

• Reactants are located on the left side, products on the right.
• The arrow signifies the chemical reaction, indicating its direction.
• Example: $2Mg(s) + O_2(g) \implies 2MgO(s)$.

Balancing Equations

• Matter is conserved during a chemical reaction.
• The number of atoms of each element must be identical on both sides of the equation.
• Example: $CH_4(g) + 2O_2(g) \implies CO_2(g) + 2H_2O(g)$.

Types of Reactions

• Combination: $A + B \implies AB$
• Decomposition: $AB \implies A + B$
• Single Replacement: $A + BC \implies B + AC$
• Double Replacement: $AB + CD \implies AD + CB$
• Combustion involves rapid reactions producing a flame, often with oxygen as a reactant.

Formula Weights

• Formula weight relates to the sum of the atomic weights in a chemical formula.
• Molecular weight refers to the sum of atomic weights in a molecule.

Percent Composition

• Percent Composition is calculated as (Parts / Whole) × 100.
• $%$ element $= \frac{(\text{# of atoms of element}) \times (\text{atomic weight of element})}{\text{formula weight of compound}} \times 100$

Avogadro's Number

• Avogadro's number is denoted as $N_A = 6.02 \times 10^{23}$.
• This is the number of atoms found in 12 g of $^{12}C$.
• A mole contains Avogadro's number of molecules or formula units.

Molar Mass

• Molar mass represents the mass of 1 mole of a substance.
• For an element, the molar mass is equivalent to its atomic weight.
• Formula weight and molar mass share the same numerical value.

Limiting Reactant

• The limiting reactant is present in the smallest stoichiometric amount.

Theoretical Yield

• Theoretical yield is the maximum product amount based on the limiting reactant.
• Actual yield refers to the product amount obtained in reality.
• Percent Yield $= \frac{\text{Actual}}{\text{Theoretical}} \times 100$

Examenul de bacalaureat național 2024

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor.
• Nu se acordă punctaje parțiale. Nu se acordă punctaje din oficiu.

SUBIECTUL I

SUBIECTUL al II-lea

• Răspuns corect: 6, 10, 14, 18, 22, 26
  • se acordă câte 1p. pentru fiecare număr conform cerinței (6*1p= =6p.)
• Răspuns corect:
  • pentru antet program corect - 2p
  • pentru declarare corectă a variabilelor - 2p
  • pentru citire corectă - 1p
  • pentru afișare corectă - 1p
  • pentru instrucțiunea/instrucțiunile de atribuire corectă/corecte - 3p
  • pentru corectitudinea globală a secvenței - 3p

  • readln(a,b);
    aux:=a;
    a:=b;
    b:=aux;
    write(a,' ',b);
    

    sau

    readln(a,b);
    a:=a+b;
    b:=a-b;
    a:=a-b;
    write(a,' ',b);
    

• Răspuns corect:
  • pentru structura repetitivă repeat…until corectă - 2p
  • pentru inițializare corectă - 1p
  • pentru atribuire corectă - 1p
  • pentru condiția until corectă - 6p

  • s:=0;
    repeat
    read(x);
    s:=s+x;
    until s>99;
    

SUBIECTUL al III-lea

• Răspuns corect:
  • pentru antet subprogram corect - 1p
    • (structură, tipul subprogramului, parametri)
  • pentru declararea corectă a variabilelor locale - 1p
  • pentru identificarea unui divizor al numărului, conform cerinței - 2p
  • pentru determinarea sumei divizorilor conform cerinței - 4p
  • pentru returnarea valorii corecte - 2p
• Răspuns corect:
  • pentru operații cu fișiere: declarare, pregătire în vederea citirii, citire din fișier - 1p
  • pentru determinarea valorii cerute (minimei/maximei) - 6p
  • pentru afișarea valorii/valorilor suport conform cerinței - 3p
• Răspuns corect:
  • pentru antet program corect - 1p
  • pentru declararea corectă a variabilelor - 1p
  • pentru citire corectă - 1p
  • pentru construirea corectă în memorie a tabloului (matrice) cerut - 4p
  • pentru afișarea corectă a tabloului conform cerinței - 3p

Mål och strategier

Vision

• Varje elev når sin fulla potential.

Verksamhetsidé

• Att skapa en trygg, stimulerande och utvecklande lärmiljö där elever utvecklar kunskaper och färdigheter.

Prioriterade mål

Pedagogik

• Mål: Öka elevers måluppfyllelse och förbättra studieresultaten.
• Strategier:
  • Implementera formativ bedömning i alla ämnen.
  • Utveckla individualiserade läroplaner.
  • Använda digitala verktyg för att förbättra lärandet.

Elevhälsa

• Mål: Förbättra elevers välbefinnande och minska stress.
• Strategier:
  • Erbjuda kurser i mindfulness och stresshantering.
  • Stärka elevhälsoteamet.
  • Skapa en tryggare skolmiljö genom antimobbningsprogram.

Kompetensutveckling

• Mål: Stärka lärarnas kompetens inom nya pedagogiska metoder.
• Strategier:
  • Regelbundna workshops och seminarier.
  • Kollegialt lärande.
  • Externa föreläsare.

Resurser

• Mål: Optimera användningen av skolans resurser.
• Strategier:
  • Effektivisera budgetprocessen.
  • Söka externa bidrag.
  • Investera i uppdaterad teknik.

Samverkan

• Mål: Förbättra samarbetet mellan skola, hem och samhälle.
• Strategier:
  • Regelbundna föräldramöten.
  • Samarbetsprojekt med lokala företag.
  • Öppna hus och evenemang.

Uppföljning och utvärdering

• Kontinuerlig uppföljning av mål och strategier genom enkäter, intervjuer och analys av studieresultat.

Algèbre Linéaire et Géométrie Vectorielle

Chapitre 1 Vecteurs dans $\mathbb{R}^n$

1.1 Introduction

• Ce chapitre présente les vecteurs dans $\mathbb{R}^n$, leurs opérations algébriques(addition et multiplication scalaire) et leurs propriétés.
• On définit la notion de combinaison linéaire de vecteurs et on l'illustre géométriquement dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$.

1.2 L'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$

Définition 1.1

• Pour tout entier positif n, on définit $\mathbb{R}^n$ comme l'ensemble des n-uplets ordonnés de nombres réels :
• $\mathbb{R}^n = {(x_1, x_2,..., x_n) | x_1, x_2,..., x_n \in \mathbb{R} }$
• Un élément de $\mathbb{R}^n$ est appelé un vecteur.

Exemple 1.1

• $\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}$ est l'ensemble des nombres réels.
• $\mathbb{R}^2 = {(x, y) | x, y \in \mathbb{R} }$ est l'ensemble des couples denombres réels. On peut identifier $\mathbb{R}^2$ avec le plan cartésien.
• $\mathbb{R}^3 = {(x, y, z) | x, y, z \in \mathbb{R} }$ est l'ensemble des triplets de nombres réels. On peut identifier $\mathbb{R}^3$ avec l'espace cartésien à trois dimensions.
• $\mathbb{R}^n $ peut être visualisé comme un espace cartésien à n dimensions.

Définition 1.2

• Soient $\vec{u} = (u_1, u_2,..., u_n)$ et $\vec{v} = (v_1, v_2,..., v_n)$ deux vecteurs dans $\mathbb{R}^n$.
• Égalité : $\vec{u} = \vec{v}$ si et seulement si $u_i = v_i$ pourtout $i = 1,..., n$.
• Addition : $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2,..., u_n + v_n)$.
• Multiplication scalaire : Pour tout scalaire $c \in \mathbb{R}$,$c\vec{u} = (cu_1, cu_2,..., cu_n)$.

Exemple 1.2

• Dans $\mathbb{R}^4$, soient $\vec{u} = (1, -2, 0, 3)$ et $\vec{v} = (2, 1, -1, 0)$. Alors:
• $\vec{u} + \vec{v} = (1+2, -2+1, 0+(-1), 3+0) = (3, -1, -1, 3)$
• $2\vec{u} = (2(1), 2(-2), 2(0), 2(3)) = (2, -4, 0, 6)$
• $-1\vec{v} = (-1(2), -1(1), -1(-1), -1(0)) = (-2, -1, 1, 0)$

Propriétés 1.1

• Pour tous vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n$ et tous scalaires $a, b \in \mathbb{R}$:
• (a) $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (commutativité de l'addition)
• (b) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (associativité de l'addition)
• (c) Il existe un vecteur $\vec{0} \in \mathbb{R}^n$, appelé le vecteur nul, tel que $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ (existence d'un vecteur nul)
• (d) Pour tout vecteur $\vec{u} \in \mathbb{R}^n$, il existe un vecteur $-\vec{u} \in \mathbb{R}^n$ tel que $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ (existence d'un inverse additif)
• (e) $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ (distributivité par rapport à l'addition de vecteurs)
• (f) $(a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ (distributivité par rapport à l'addition de scalaires)
• (g) $a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}$ (associativité de la multiplication scalaire)
• (h) $1\vec{u} = \vec{u}$ (identité multiplicative)
• Preuve: Découle directement des définitions de l'addition et de la multiplication scalaire.

Définition 1.3

• Une combinaison linéaire de vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2},..., \vec{v_k} \in \mathbb{R}^n$ est un vecteur de la forme:
• $c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} +... + c_k\vec{v_k}$
• où $c_1, c_2,..., c_k$ sont des scalaires.

Exemple 1.3

• Soient $\vec{v_1} = (1, 2, -1)$, $\vec{v_2} = (6, 4, 2)$ et $\vec{v_3} = (-4, -1, 8)$ dans $\mathbb{R}^3$. Alors, le vecteur $\vec{w} = (1, -8, -5)$ est une combinaison linéaire de $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ et $\vec{v_3}$ puisque:
• $-3\vec{v_1} + \frac{1}{2}\vec{v_2} + 0\vec{v_3} = (-3, -6, 3) + (3, 2, 1) + (0, 0, 0) = (0, -4, 4)$
  • (Note: Il y a une erreur dans le document, la combinaison linéaire correcte donnant (1,-8,-5) est: $2\vec{v_1} - \frac{1}{2}\vec{v_2} + 0\vec{v_3} = (2, 4, -2) + (-3, -2, -1) + (0, 0, 0) = (-1, 2, -3)$)

Interprétation géométrique dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$

• Dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$, un vecteur peut être représenté par une flèche partant de l'origine.
• L'addition de vecteurs correspond à la règle du parallélogramme.
• La multiplication scalaire change la longueur du vecteur et inverse sa direction si le scalaire est négatif.
• Une combinaison linéaire de vecteurs correspond à une som me pondérée de ces vecteurs.

Capítulo 2 Espacios Vectoriales

2.1 Definición de Espacio Vectorial

• Un espacio vectorial es un conjunto no vacío $V$ de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y la multiplicación por un escalar (número real), sujetas a los diez axiomas siguientes

Axioms for Vector Spaces:

1. Closure under addition: If $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ are in $V$, then $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ is in $V$.
2. Commutativity of addition: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
3. Associativity of addition: $\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}$
4. Existence of a zero vector: There exists a vector $\mathbf{0}$ in $V$ such that $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$ for all $\mathbf{u}$ in $V$
5. Existence of additive inverse: For each $\mathbf{u}$ in $V$, there exists a vector $-\mathbf{u}$ in $V$ such that $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$
6. Closure under scalar multiplication: If $k$ is a scalar and $\mathbf{u}$ is in $V$, then $k\mathbf{u}$ is in $V$.
7. Distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition: $k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$
8. Distributivity of scalar multiplication with respect to scalar addition:$(k + l)\mathbf{u} = k\mathbf{u} + l\mathbf{u}$
9. Associativity of scalar multiplication: $k(l\mathbf{u}) = (kl)\mathbf{u}$
10. Identity multiplication: $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$

2.2 Subespacios

• Definición: Un subespacio de un espacio vectorial $V$ es un subconjunto $H$ de $V$ que satisface las siguientes tres condiciones:
  1. El vector cero $\mathbf{0}$ está en $H$.
  2. Clausura bajo la suma: Si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ están en $H$, entonces $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ está en $H$. (Cerradura bajo la suma)
  3. Clausura bajo la multiplicación escalar: Si $k$ es un escalar y $\mathbf{u}$ está en $H$, entonces $k\mathbf{u}$ está en $H$. (Cerradura bajo la multiplicación escalar)

Teorema

• Si $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_r$ son vectores en un espacio vectorial $V$, entonces: $H = span{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_r}$ es un subespacio de $V$. Además, $H$ es el subespacio más pequeño de $V$ que contiene a $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_r$, en el sentido de que cualquier otro subespacio de $V$ que contenga a $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_r$ debe contener a $H$.

2.3 Independencia Lineal

Definición

• Si $S = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_r}$ es un conjunto de vectores, entonces la ecuación: $k_1\mathbf{v}_1 + k_2\mathbf{v}_2 +... + k_r\mathbf{v}_r = \mathbf{0}$ tiene al menos una solución, a saber: $k_1 = 0, k_2 = 0,..., k_r = 0$
• Si esta es la única solución, entonces $S$ se denomina linealmente independiente. Si hay otras soluciones, entonces $S$ se denomina linealmente dependiente.

2.4 Base y Dimensión

Definición

• Si $V$ es un espacio vectorial y $S = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n}$ es un subconjunto de $V$, entonces $S$ se denomina base para $V$ si:
  1. $S$ es linealmente independiente.
  2. $S$ genera a $V$ (es decir, $V = span(S)$).

Definición

• La dimensión de un espacio vectorial $V$, denotada por $dim(V)$, se define como el número de vectores en una base para $V$. Además, se define la dimensión del espacio vectorial ${\mathbf{0}}$ como cero.

2.5 Rango, Nulidad y Teorema de la Dimensión

• Sea $A$ una matriz de $m \times n$:

Definición

• El rango de $A$ es la dimensión del espacio de columnas de $A$.

Definición

• Def: La nulidad de A es la dimensión del espacio nulo de A.

Teorema

• Si $A$ es una matriz de $m \times n$, entonces: $rango(A) + nulidad(A) = n$

Reglas de Inferencia

• Rules that allows you to derive valid conclusion based on premises

Modus Ponens (MP)

• Form:
• P → Q
• P
• ∴ Q
• If P → Q & P is true then Q is True example:; If it's raining, then the ground is wet is the same as, It's Raining

∴ The Ground is Wet

Modus Tollens (MT)

• Form:
• P → Q
• ¬Q
• ∴ ¬P
• If P → Q & Q is false :. P is false example: If its snowing it's cold ∴. If not cold, it's not snowing.

Silogismo Hipotético (SH)

• Form:
• P → Q
• Q → R
• ∴ P → R
• If P → Q & Q → R, P → R Example: If study hard : . Will Pass Examen, :. If Pass Examen, : . Will be Happy, ∴ Study Hard :. Will be Happy

Silogismo Disyuntivo (SD)

• Form:
• P ∨ Q
• ¬P
• ∴ Q
• If P Or Q and P is False ∴ Q must be true Example: Either Film or Stay Home, Not Going to Cinema ∴ Stay at Home

Adición (Ad)

• Form:
• P
• ∴ P ∨ Q
• If P Then P or Q Example: Have a Dog ∴ Have Dog or Cat

Simplificación (Simp)

• Form:
• P ∧ Q
• If P and Q: .P Example: An Apple and Banana, .· Is an apple

Conjunción (Conj)

• Form:
• P
• Q
• ∴ P ∧ Q
• If P & Q Then P and Q Example: Have an apple and banana, .· Have Apple and banana

Doble Negación (DN)

• Form:
• P ⟷ ¬¬P
• Equivalence True P or False = ¬¬P Example: "Not True and Not Happy as "I Am Happy"

Leyes de Morgan

• (1) ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
• La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones
• (2) ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q)
• La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones

Ley Conmutativa

• (1) (P ∨ Q) ≡ (Q ∨ P)
• (2) (P ∧ Q) ≡ (Q ∧ P)

Ley Asociativa

• (1) [P ∨ (Q ∨ R)] ≡ [(P ∨ Q) ∨ R]
• (2) [P ∧ (Q ∧ R)] ≡ [(P ∧ Q) ∧ R]

Ley Distributiva

• (1) [P ∧ (Q ∨ R)] ≡ [(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)]
• (2) [P ∨ (Q ∧ R)] ≡ [(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)]

Algorithmic Complexity

Algorithmic Complexity

• It's a measure of how much time (time complexity) and memory (space complexity) it takes for an algorithm to solve a problem as a function of the input size.

• Time Complexity: How the execution time grows as the input grows.

• Space Complexity: How much additional memory is used as the input grows.

Why?

• Performance: Helps to choose the most efficient algorithm.
• Scalability: Predicts how an algorithm will perform with large datasets.
• Resource Management: Important for resource-constrained environments.

How?

Big O Notation

Describes the upper bound of an algorithm's complexity (worst-case scenario).

• O(n): "Order of n" - implies linear time complexity.
• O(n^2): "Order of n squared" - implies quadratic time complexity.
• O(1): "Order of 1" - implies constant time complexity.

Examples

O(1) - Constant Time:

bool isFirstElementNull(const std::vector& inputData) {
    return !inputData.empty() ? inputData == 0 : false;
}

• No matter the size of inputData, this function only ever perform