AWS CloudHSM: Безбедност на податоци

Introducción

• AWS CloudHSM ayuda a cumplir con los requisitos normativos y corporativos de seguridad de datos mediante el uso de dispositivos de Módulo de seguridad de hardware (HSM) dedicados dentro de la nube de AWS.
• Los HSM son dispositivos de hardware a prueba de manipulaciones que generan y almacenan de forma segura las claves criptográficas y proporcionan funciones criptográficas.
• Con CloudHSM, usted mantiene el control de sus claves y AWS no tiene acceso a sus claves.

Antes de empezar

• Para empezar a utilizar AWS CloudHSM, necesitará lo siguiente:
  • Una cuenta de AWS activa.
  • Una nube privada virtual (VPC) con al menos una subred privada.
  • Un par de claves de Amazon EC2.

Paso 1: lanzar un clúster de CloudHSM

• El primer paso es lanzar un clúster de CloudHSM, una colección de HSM que se replican entre sí.
• Para lanzar un clúster:
  • Inicie sesión en la consola de AWS CloudHSM.
  • Elija Clústeres HSM en el panel de navegación.
  • Elija Crear clúster.
  • En la página Crear clúster, especifique lo siguiente:
    • ID de VPC: el ID de la VPC en la que desea lanzar el clúster.
    • Subredes: las subredes en las que desea lanzar los HSM. Debe seleccionar al menos una subred privada.
    • Perfil de seguridad: el perfil de seguridad que desea utilizar para el clúster. Un perfil de seguridad es una colección de ajustes que determinan cómo se protegerán sus claves.
  • Elija Siguiente.
  • En la página Especificar configuración del HSM, especifique lo siguiente:
    • ID de subred: la subred en la que desea lanzar el primer HSM.
    • Zona de disponibilidad: la zona de disponibilidad en la que desea lanzar el primer HSM.
    • Dirección IP: la dirección IP que desea asignar al primer HSM.
    • Par de claves de SSH: el par de claves de Amazon EC2 que desea utilizar para conectarse al primer HSM.
    • Elija Siguiente.
  • En la página Revisar, revise su configuración y, a continuación, elija Crear clúster.
• La creación del clúster tardará unos 20 minutos. Una vez creado el clúster, podrá conectarse a él.

Paso 2: conectarse a su clúster

• Para conectarse a su clúster, necesitará utilizar la utilidad de línea de comandos cloudhsm.
• Esta utilidad está disponible para Linux, macOS y Windows.
• Para descargar la utilidad cloudhsm:
  • Inicie sesión en la consola de AWS CloudHSM.
  • Elija Clústeres HSM en el panel de navegación.
  • Seleccione el clúster al que desea conectarse.
  • En la página Detalles del clúster, elija el botón Descargar herramienta de cliente.
  • Siga las instrucciones de la página para descargar e instalar la utilidad cloudhsm.
• Una vez instalada la utilidad cloudhsm, puede conectarse a su clúster ejecutando el siguiente comando:

cloudhsm connect --cluster-id  --aws-region 

• Sustituya por el ID de su clúster y por la región de AWS en la que lanzó su clúster.
• Cuando se le solicite, introduzca la dirección IP del HSM al que desea conectarse, así como el nombre de usuario y la contraseña del HSM, siendo el nombre de usuario predeterminado admin y la contraseña predeterminada la que especificó al crear el clúster.
• Una vez conectado, puede ejecutar comandos en el HSM.

Paso 3: utilizar su clúster

• Ahora que está conectado a su clúster, puede empezar a utilizarlo para generar y almacenar claves, así como para realizar operaciones criptográficas.
• Para generar una clave, puede utilizar el comando generateKey.
• Por ejemplo, para generar una clave AES de 256 bits, puede ejecutar el siguiente comando:

cloudhsm generateKey --key-type AES --key-size 256 --label my-aes-key

• Esto generará una nueva clave AES de 256 bits con la etiqueta my-aes-key.
• Para utilizar una clave para cifrar los datos, puede utilizar el comando encrypt.
• Por ejemplo, para cifrar los datos con la clave my-aes-key, puede ejecutar el siguiente comando:

cloudhsm encrypt --key-label my-aes-key --plaintext "Mi texto sin formato" --ciphertext-file ciphertext.txt

• Esto cifrará el texto sin formato "Mi texto sin formato" con la clave my-aes-key y guardará el texto cifrado en el archivo ciphertext.txt.
• Para descifrar los datos, puede utilizar el comando decrypt.
• Por ejemplo, para descifrar los datos del archivo ciphertext.txt con la clave my-aes-key, puede ejecutar el siguiente comando:

cloudhsm decrypt --key-label my-aes-key --ciphertext-file ciphertext.txt --plaintext-file plaintext.txt

• Esto descifrará los datos del archivo ciphertext.txt con la clave my-aes-key y guardará el texto sin formato en el archivo plaintext.txt.

Conclusión

• Se ha aprendido a empezar a utilizar el servicio AWS CloudHSM, a lanzar un clúster de CloudHSM, a conectarse a él y a utilizarlo.
• Puede consultar la siguiente documentación para obtener información ampliada sobre AWS CloudHSM:
  • Guía del usuario de AWS CloudHSM
  • Referencia de la API de AWS CloudHSM
  • AWS CloudHSM Command Line Interface Reference

Comparaison de nombres complexes

Forme algébrique

• $\mathbb{C}$ n'est pas totalement ordonné, il est donc impossible de comparer deux nombres complexes sous leur forme algébrique.
• Par exemple : $z_1 = 2 + i$ et $z_2 = 1 - i$ sont incomparables.

Module

• Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. $|z_1| > |z_2|$ équivaut à dire que la distance de $z_1$ à l'origine est plus grande que la distance de $z_2$ à l'origine.
• On peut comparer les modules de deux nombres complexes car ce sont des nombres réels positifs.
• Exemple : $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -1 + i$.
  • $|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
  • $|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
  • $|z_1| = |z_2|$.

Analisi Matematica 1 - Ing. Edile-Architettura (15 Febbraio 2018)

• Testo composto da 4 pagine.
• Duración de la prueba: 2 horas y 30 minutos.
• No está permitido usar libros, apuntes tomados en clase o el teléfono.
• Cada ejercicio vale un máximo de 7 puntos, constituyendo esta prueba escrita el 50% de la nota final.
• Siempre justificar las respuestas de manera clara y concisa.

Ejercicio 1: Cálculo de Límite

• Calcular el límite: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x\cos(x)}{x^3}$.
• Solución: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x\cos(x)}{x^3} = \frac{1}{3}$.

Ejercicio 2: Estudio de Función

• Estudiar la función: $f(x) = \log(4-x^2)$.
• Dominio: $(-2, 2)$.
• La función es par.
• Intersecciones eje x: $(-\sqrt{3}, 0)$ y $(\sqrt{3}, 0)$.
• Intersección eje y: $(0, \log(4))$.
• Asintótos verticale: $x = -2$ y $x = 2$.
• La función es creciente para $x \in (-2, 0)$
• La función es decrescente para $x \in (0, 2)$.
• Máximo en $x = 0$, con $f(0) = \log(4)$.
• La función es cóncava.
• No hay puntos de inflexión.

Ejercicio 3: Cálculo de Primitiva

• Calcular la primitiva $F(x)$ de $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ tal que $F(0) = 1$.
• Solución: $F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x^2} (x^2 + 1) + \frac{3}{2}$.

Ejercicio 4: Estudio de Convergencia de Integral

• Estudiar la convergencia del siguiente integral: $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2 + x} dx$.
• El integral converge.

Ejercicio 5: Solución de Problema de Cauchy

• Determinar la solución del siguiente problema de Cauchy: $y' = y^2$, $y(0) = 1$.
• Solución: $y(x) = \frac{1}{1-x}$.

Algorithmus von Dijkstra

Problemstellung

• Gegeben ist ein gewichteter, gerichteter Graph $G = (V, E, w)$ mit nicht-negativen Kantengewichten $w: E \to \mathbb{R}_{\ge 0}$.
• Ziel ist es, die kürzesten Wege von einem Startknoten $s \in V$ zu allen anderen Knoten $v \in V$ zu finden.

Algorithmus

1. Initialisierung:
   • Setze $d[s] = 0$ und $d[v] = \infty$ für alle $v \in V \setminus {s}$.
   • Setze $Q = V$ (Priority Queue, die alle Knoten enthält).
2. Iteration:
   • Solange $Q \ne \emptyset$:
     • $u$ = Knoten in $Q$ mit minimalem $d[u]$ (Extrahiere Minimum).
     • Entferne $u$ aus $Q$.
     • Für alle Nachbarn $v$ von $u$:
       • Wenn $d[v] > d[u] + w(u, v)$:
         • Setze $d[v] = d[u] + w(u, v)$ (Update Distanz)
         • Setze Vorgänger von $v$ auf $u$.

Datenstrukturen

• $d[v]$: Aktuelle Schätzung der Distanz von $s$ zu $v$.

• $Q$: Priority Queue, die die Knoten enthält, die noch nicht abgearbeitet wurden, geordnet nach ihrer aktuellen Distanz zu $s$.

Anmerkungen

• Der Algorithmus funktioniert nur für Graphen mit nicht-negativen Kantengewichten.
• Die Laufzeit hängt von der Implementierung der Priority Queue ab. Mit einer binären Heap-Implementierung beträgt die Laufzeit $O((|V| + |E|) \log |V|)$. Mit einer Fibonacci-Heap-Implementierung kann die Laufzeit auf $O(|E| + |V| \log |V|)$ verbessert werden.

Algorithmic Complexity

• Measures the amount of time (time complexity) or space (space complexity) an algorithm needs as a function of the input size.
• Used to compare the efficiency of different algorithms.

Big O Notation

• A mathematical notation that describes the limiting behavior of a function when the argument tends towards a particular value or infinity.
• Used to classify algorithms according to how their running time or space requirements grow as the input size grows. -O(1): Constant Time -O(log n): Logarithmic Time -O(n): Linear Time -O(n log n): Log-linear Time -O(n^2): Quadratic Time -O(2^n): Exponential Time -O(n!): Factorial Time

Common Data Structure Operations

• Provides a table illustrating the time complexity for accessing, inserting, and deleting elements within specific data structures.

Common Sorting Algorithms

• Presents a table highlighting the time and space complexities of common sorting algorithms in best, average, and worst-case scenarios.

Understanding Time Complexity

• Emphasizes the importance of considering worst-case, average-case, and best-case complexities for algorithm analysis.

Space Complexity

• Quantifies the amount of memory an algorithm needs as a function of the input size, typically using Big O notation.

Lecture 18: Numerical Integration

• This lecture covers numerical integration techniques.

Newton-Cotes Integration Formulas

• Replacing complicated functions with approximating functions.
• $\int_{a}^{b} f(x) dx \cong \int_{a}^{b} f_{n}(x) dx $

The Trapezoidal Rule- composite form equation

• $\int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) \frac{f(x_{0}) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i}) + f(x_{n})}{2n}$

The Trapezoidal Rule

• Area under a straight line is an estimate of the integral.
• $\int_{a}^{b} f(x) dx \cong (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2} $
• Error: $E_{t} = -\frac{1}{12} f''(\xi) (b-a)^3$

Simpson's Rules

• Formula: $\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x) dx \cong h \frac{f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + f(x_{2})}{3}$
• where $h = (b-a)/2$

Simpson's 1/3 Rule- composite form equation

• Formula:$\int_{a}^{b} f(x) dx =(b-a) \frac{f(x_{0}) + 4\sum_{i=1,3,5}^{n-1}f(x_{i}) + 2\sum_{j=2,4,6}^{n-2}f(x_{j}) + f(x_{n})}{3n}$

Simpson's Rules Error

• Error: $E = -\frac{(b-a)^5}{180n^4} \overline{f''''}$,and $\overline{f''''}$ is the average value of the fourth derivative

The Trapezoidal Rule- composite form equations

• $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x) dx + \int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) dx +... + \int_{x_{n-1}}^{x_{n}} f(x) dx$

• $\int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{(x_{1} - x_{0})(f(x_{0}) + f(x_{1}))}{2} + \frac{(x_{2} - x_{1})(f(x_{1}) + f(x_{2}))}{2} +... + \frac{(x_{n} - x_{n-1})(f(x_{n-1}) + f(x_{n}))}{2}$

• If the segments are equal the $h = (b-a)/n$.

Simpson's 1/3 Rule- composite form

• Divide the interval from a to b into an even number of segments and apply Simpson's 1/3 rule to each pair of segments.

• $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x) dx + \int_{x_{2}}^{x_{4}} f(x) dx +... + \int_{x_{n-2}}^{x_{n}} f(x) dx$

Chapter 14: The Special Theory of Relativity

Introduction

• Newtonian mechanics accurately describes motion at low speeds $(v \ll c)$, where $c$ is the speed of light.
• For $v = 0.1c$, the error using Newtonian mechanics is about 0.5%.

The Postulates of Special Relativity

• Einstein's special theory is based on two postulates:
  • The laws of physics are the same in all inertial frames of reference.
  • The speed of light in vacuum is the same for all observers, regardless of the motion of the light source.

The Principle of Relativity

• There is no preferred inertial frame, only relative motion can be determined.

The Constancy of the Speed of Light

• The speed of light is independent of the motion of the source, verified experimentally.

Time Dilation

• The time interval $\Delta t$ is measured by an observer in motion is longer than the time interval $\Delta t_0$ measured by an observer at rest with respect to the event. This is time dilation. Formula: $\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma \Delta t_0$ with Lorentz factor $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\geq 1$.
• Example: Lifetime of a pion with $v=0.95$c compared to lifetime at rest.

Chapter 4: The Poisson Process

4. 1 Introduction

• Explores the Poisson process, which models random events in time, such as customer arrivals or radioactive decay.

Definition

• A Poisson process has a rate $\lambda > 0$.

###Interarrival Times

• $T_i$ are independent and identically distributed exponential random variables with rate $\lambda$.
• Pdf: $f_{T_i}(t) = \lambda e^{-\lambda t}, t \geq 0$

###Number of Events

• The number of events $N(t)$ follows a Poisson distribution with mean $\lambda t$.
• Pmf: $P(N(t) = n) = \frac{(\lambda t)^n e^{-\lambda t}}{n!}, n = 0, 1, 2,...$

###Superposition

• Superposition of independent Poisson processes is itself a Poisson process.

###Decomposition

• Classifying events of a Poisson process into types results in independent Poisson processes.

###Exercises given in Chapter.

###Non-Homogeneous Poisson Process equations

• Pmf: $P(N(t) = n) = \frac{(\Lambda(t))^n e^{-\Lambda(t)}}{n!}, n = 0, 1, 2,...$

###Non-Homogeneous Poisson Process

• Rate $\lambda(t)$ varies with time. Function $\Lambda(t)$ is an integral.

Lecture 8: Decidability

Goals

• To understand decidability and how to prove a language -To determine whether a language is decidable by reduction -To prove that a language is undecidable by reduction

###Decidability

• A language $L$ is decidable, there exists a TM $M$ such that

• If $w \in L$, $M$ accepts $w$

• If $w \notin L$, $M$ rejects $w$

• $M$ is a decider.

###Example:

• $A_{DFA} = { \langle B, w \rangle \mid B \text{ is a DFA that accepts } w }$
• Theorem : $A_{DFA}$ is a decidable language

###Example

• $A_{CFG} = { \langle G, w \rangle \mid G \text{ is a CFG that generates } w }$

###Theorem

• $A_{CFG}$ is a decidable language.
• Now we construct a TM $D$ by reducing $A_{TM}$

###Undecidability

• If it isn't decided then its undecidable

###Example

• $A_{TM} = { \langle M, w \rangle \mid M \text{ is a TM that accepts } w }$

###The Halting Problem

• $HALT_{TM} = { \langle M, w \rangle \mid M \text{ is a TM and } M \text{ halts on input } w }$
• Theorem: $HALT_{TM}$ is undecidable.

Lecture 22: Complex Eigenvalues

Complex Numbers:

• Has the form a+bi, where a and b are real and i = sqrt(-1)
• a is the real part, Re(a + bi) = a
• b is the imaginary part, Im(a + bi ) =b
• Complex numbers can be presented as vectors in the plane with basis 1 and "i"

###Operations

• $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• $(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
• $\overline{a + bi} = a - bi$ (complex conjugate)
• $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (absolute value)

###Euler's Formula

• $e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$.

###Complex Eigenvalues equations

• For $\lambda = 1 - i$, $$A - \lambda I = \begin{bmatrix} i & -1 \ 1 & i \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & i \ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

  • So $v = \begin{bmatrix} -i \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} + i\begin{bmatrix} -1 \ 0 \end{bmatrix}$.

• The solutions are -$$x_1 = e^t(cos(t)\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} - sin(t)\begin{bmatrix} -1 \ 0 \end{bmatrix}) = e^t\begin{bmatrix} sin(t) \ cos(t) \end{bmatrix}$$.

  -$$x_2 = e^t(sin(t)\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} + cos(t)\begin{bmatrix} -1 \ 0 \end{bmatrix}) = e^t\begin{bmatrix} -cos(t) \ sin(t) \end{bmatrix}$$.