अवकल कलन: अध्ययन नोट्स

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• कलन गणित की एक शाखा है जो परिवर्तन की दरों और मात्राओं के संचय पर केंद्रित है।
• इसकी दो प्रमुख शाखाएँ हैं: अवकल कलन और समाकल कलन।

अवकल कलन

• अपने चरों के संबंध में किसी फ़ंक्शन की परिवर्तन दर ज्ञात करने पर केंद्रित है।
• व्युत्पन्न की अवधारणा से संबंधित है।
• फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी विशिष्ट बिंदु पर फ़ंक्शन की तात्कालिक परिवर्तन दर को मापता है।
• ज्यामितीय रूप से, व्युत्पन्न उस बिंदु पर फलन के ग्राफ पर स्पर्श रेखा की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
• प्रमुख अनुप्रयोगों में अनुकूलन समस्याएं (अधिकतम और न्यूनतम खोजना), संबंधित दरें समस्याएं और कार्यों के व्यवहार का विश्लेषण करना (बढ़ना, कम होना, अवतलता) शामिल हैं।
• विभेदन नियम: घात नियम, गुणन नियम, भागफल नियम, श्रृंखला नियम।
• घात नियम कहता है कि x^n का व्युत्पन्न nx^(n-1) है।
• गुणन नियम का उपयोग दो फलनों के गुणनफल को अलग करने के लिए किया जाता है: (uv)' = u'v + uv'।
• भागफल नियम का उपयोग दो फलनों के भागफल को अलग करने के लिए किया जाता है: (u/v)' = (u'v - uv')/v^2।
• शृंखला नियम का उपयोग समग्र कार्यों को अलग करने के लिए किया जाता है: [f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)।
• उच्च-क्रम व्युत्पन्न: दूसरा व्युत्पन्न पहले व्युत्पन्न की परिवर्तन दर को मापता है, और इसी तरह।
• दूसरा व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन की अवतलता निर्धारित कर सकता है।
• महत्वपूर्ण बिंदु वे बिंदु हैं जहां व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित है; वे स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम के उम्मीदवार हैं।

समाकल कलन

• मात्राओं के संचय को खोजने पर केंद्रित है, जैसे कि वक्रों और आयतनों के नीचे के क्षेत्र।
• अभिन्न की अवधारणा से संबंधित है।
• फ़ंक्शन का इंटीग्रल फ़ंक्शन के ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
• दो प्रकार के इंटीग्रल: निश्चित और अनिश्चित।
• एक निश्चित इंटीग्रल में एकीकरण की ऊपरी और निचली सीमाएँ होती हैं और यह एक संख्यात्मक मान उत्पन्न करता है।
• एक अनिश्चित इंटीग्रल में एकीकरण की सीमाएँ नहीं होती हैं और यह कार्यों का एक परिवार (एंटीडेरिवेटिव) उत्पन्न करता है।
• कलन की मौलिक प्रमेय विभेदन और एकीकरण के बीच संबंध स्थापित करती है।
• कलन की मौलिक प्रमेय के दो भाग हैं।
• भाग 1: यदि f [a, b] पर एक निरंतर फलन है, तो फलन F(x) = a से x तक f(t) dt का इंटीग्रल [a, b] पर निरंतर और (a, b) पर अवकलनीय है, और F'(x) = f(x)।
• भाग 2: यदि F [a, b] पर f का एक एंटीडेरिवेटिव है, तो a से b तक f(x) dx का इंटीग्रल = F(b) - F(a)।
• एकीकरण तकनीकों में प्रतिस्थापन, भागों द्वारा एकीकरण और आंशिक भिन्न शामिल हैं।
• प्रतिस्थापन में इंटीग्रैंड के एक भाग को एक नए चर से बदलना शामिल है ताकि इंटीग्रल को सरल बनाया जा सके।
• भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग दो कार्यों के गुणनफल को एकीकृत करने के लिए किया जाता है: यू डीवी का अभिन्न अंग = यूवी - वी डु का अभिन्न अंग।
• आंशिक भिन्नों का उपयोग तर्कसंगत कार्यों को सरल भिन्नों में विघटित करके एकीकृत करने के लिए किया जाता है।
• एकीकरण के अनुप्रयोग: वक्रों के बीच क्षेत्रों, क्रांति के ठोस पदार्थों की मात्रा, चाप लंबाई और सतह क्षेत्र का पता लगाना।

सीमाएँ

• सीमा वह मान है जो एक फलन "निकट आता है" क्योंकि इनपुट किसी मान के निकट आता है।
• सीमाएँ निरंतरता, डेरिवेटिव और इंटीग्रल की परिभाषा के लिए मौलिक हैं।
• सीमा संकेतन: लिम (x -> a) f(x) = L, जिसका अर्थ है कि x जैसे a के निकट आता है, f(x) की सीमा L के बराबर होती है।
• एकतरफा सीमाएँ: सीमाएँ जैसे x बाईं ओर से a (x -> a-) या दाईं ओर से (x -> a+) के निकट आता है।
• सीमा के अस्तित्व के लिए, दोनों एकतरफा सीमाएँ मौजूद होनी चाहिए और समान होनी चाहिए।
• अनिश्चित रूप: ऐसे भाव जिनका कोई निश्चित मान नहीं है, जैसे कि 0/0, अनंत/अनंत, 0 * अनंत, अनंत - अनंत, 1^अनंत, 0^0 और अनंत^0।
• एल'हॉपिटल का नियम: यदि x जैसे a के निकट आता है, f(x)/g(x) की सीमा 0/0 या अनंत/अनंत प्रकार का अनिश्चित रूप है, तो x जैसे a के निकट आता है, f(x)/g(x) की सीमा f'(x)/g'(x) की सीमा के बराबर होती है, बशर्ते कि बाद वाली सीमा मौजूद हो।
• सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए तकनीकें: प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन, फैक्टरिंग, युक्तिकरण और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करना।

अनुप्रयोग

• भौतिकी: वेग और त्वरण की गणना करना, गति मॉडलिंग करना और कार्य और ऊर्जा का निर्धारण करना।
• इंजीनियरिंग: संरचनाओं को डिजाइन करना, सर्किट का विश्लेषण करना और प्रक्रियाओं को अनुकूलित करना।
• अर्थशास्त्र: आपूर्ति और मांग का मॉडलिंग करना, सीमांत लागत और राजस्व की गणना करना और लाभ का अनुकूलन करना।
• कंप्यूटर विज्ञान: एल्गोरिदम विकसित करना, डेटा का विश्लेषण करना और कंप्यूटर ग्राफिक्स बनाना।
• सांख्यिकी: संभावनाओं की गणना करना, डेटा वितरण का विश्लेषण करना और भविष्यवाणियां करना।

अनुक्रम और श्रृंखला

• अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है।
• श्रृंखला एक अनुक्रम में पदों का योग है।
• अंकगणितीय अनुक्रमों में लगातार पदों के बीच एक स्थिर अंतर होता है।
• ज्यामितीय अनुक्रमों में लगातार पदों के बीच एक स्थिर अनुपात होता है।
• अभिसरण और विचलन: एक अनुक्रम या श्रृंखला अभिसरण करती है यदि उसके पद एक परिमित सीमा के निकट आते हैं; अन्यथा, यह विचलन करता है।
• अभिसरण के लिए परीक्षण: अनुपात परीक्षण, मूल परीक्षण, अभिन्न परीक्षण, तुलना परीक्षण और प्रत्यावर्ती श्रृंखला परीक्षण।
• घात श्रृंखला: एक श्रृंखला जिसका रूप c_n(x-a)^n का योग है, जहाँ c_n गुणांक हैं और a एक स्थिर है।
• टेलर श्रृंखला: बिंदु a पर केंद्रित एक फलन f(x) का घात श्रृंखला प्रतिनिधित्व।
• मैकलॉरिन श्रृंखला: a = 0 पर केंद्रित एक टेलर श्रृंखला।

बहुभिन्नता कैलकुलस

• कैलक्यूलस की अवधारणाओं को कई चरों के कार्यों तक विस्तारित करता है।
• आंशिक व्युत्पन्न: एक चर के संबंध में एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, अन्य सभी चरों को स्थिर रखता है।
• ढाल: एक सदिश जिसमें एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न होते हैं।
• दिशात्मक व्युत्पन्न: एक विशिष्ट दिशा में एक फ़ंक्शन की परिवर्तन दर।
• बहु समाकलन: दो या दो से अधिक आयामों में क्षेत्रों पर कार्यों का समाकलन।
• अनुप्रयोग: कई आयामों में अनुकूलन समस्याएं, ठोस पदार्थों की मात्रा और सतह क्षेत्रों की गणना करना और कई आयामों में भौतिक घटनाओं का मॉडलिंग करना।