Autovalores y Autovectores: Introducción

Autovalores y Autovectores

• Si A es una matriz de nxn se puede estudiar la transformación lineal Ta: Rⁿ → Rⁿ dada por Ta(x) = Ax.
• Hay vectores especiales x para que Ax sea un múltiplo escalar de x.
• Se busca un x ≠ 0 tal que Ax = λx para algún escalar λ.
• Si existe tal x, la acción de A en x es simplemente la multiplicación escalar, haciendo de x un vector especial.

Definiciones

• Un autovector de A es un vector no nulo x tal que Ax = λx, para algún escalar λ.
• Un escalar λ se llama un autovalor de A si hay una solución no trivial x de Ax = λx.
• Tal x se llama un autovector correspondiente a λ.

Notas Importantes

• x = 0 nunca es un autovector.
• λ = 0 puede ser un autovalor.
• Un autovector x, correspondiente a un autovalor λ, satisface Ax = λx.

Ejemplo

• Dada A = [[1, 6], [5, 2]], u = [[6], [-5]], v = [[1], [1]], se debe determinar cuales de estos vectores son autovectores de A.
• Au = [[1, 6], [5, 2]] x [[6], [-5]] = [[-24], [20]] = -4 x [[6], [-5]] = -4u.
• Av = [[1, 6], [5, 2]] x [[1], [1]] = [[7], [7]] = 7 x [[1], [1]] = 7v.
• u y v son autovectores de A; el autovalor correspondiente a u es -4, y el autovalor correspondiente a v es 7.

Interpretación Geométrica

• Si x es un autovector de A, entonces Ax es un múltiplo escalar de x, lo que significa que Ax está en la misma línea que x.
• A transforma x a un vector en la misma línea que x.

¿Qué debes tener en cuenta al redactar un resumen?

Contenido

• Se debe adherir al texto original.
• Recoger las ideas principales del texto.
• Utilizar las palabras propias.
• Escribir de forma breve y concisa.
• No añadir nada nuevo.
• No interpretar el texto.
• No juzgar el texto.

Estructura

• Introducción: ¿De qué trata el texto?
• Parte principal: ¿Cuáles son los puntos principales que se mencionan en el texto?
• Conclusión: ¿Qué se puede concluir del texto?

Lenguaje

• Se debe escribir de forma objetiva.
• Utilizar frases cortas y sencillas.
• Utilizar un lenguaje preciso.
• Utilizar el tiempo presente.
• Utilizar conectores para que el texto sea fluido (p. ej., sin embargo, por lo tanto, además).

Ejemplo

Texto original

• "La contaminación del aire es uno de los problemas medioambientales más graves de nuestro tiempo. Está causada principalmente por la emisión de gases de escape de vehículos, las instalaciones industriales y los sistemas de calefacción. La contaminación del aire tiene efectos negativos sobre la salud humana y el medio ambiente. Puede provocar enfermedades respiratorias, como asma o bronquitis. Además, la contaminación del aire contribuye al cambio climático y a la destrucción de la capa de ozono. Para reducir la contaminación del aire, es necesario reducir las emisiones. Esto puede lograrse, por ejemplo, utilizando vehículos de bajo consumo, instalando filtros en las instalaciones industriales y mejorando los sistemas de calefacción. Además, las energías renovables deben promoverse para reducir la dependencia de los combustibles fósiles."

Resumen

• El texto trata sobre la contaminación del aire causada por gases de escape, instalaciones industriales y sistemas de calefacción.
• La contaminación del aire tiene efectos negativos en la salud y el medio ambiente, como enfermedades respiratorias, cambio climático y destrucción de la capa de ozono.
• Para reducir la contaminación, es necesario reducir las emisiones mediante vehículos de bajo consumo, filtros y mejores sistemas de calefacción, promoviendo también las energías renovables.

Grafos

Definición

• Un grafo G = (V, E) se compone de:
  • V: conjunto de vértices (nodos)
  • E: conjunto de aristas (enlaces, conexiones) que conectan pares de vértices.
• Las aristas pueden ser dirigidas o no dirigidas.

Ejemplo

• Vértices: A, B, C, D
• Aristas: {(A, B), (A, C), (A, D), (B, D)}

Tipos

Grafo no Dirigido

• Las aristas no tienen dirección.
• Las aristas son bidireccionales.
• Ejemplo: redes sociales (amistad)
• (A, B) ∈ E implica (B, A) ∈ E

Grafo Dirigido

• Las aristas tienen dirección.
• Las aristas son unidireccionales.
• Ejemplo: Twitter (seguir)
• (A, B) ∈ E no implica (B, A) ∈ E

Representación

Matriz de Adyacencia

• Array 2D donde filas y columnas representan vértices.
• A[i][j] = 1 si hay una arista del vértice i al vértice j, de lo contrario A[i][j] = 0.
• Complejidad espacial: O(|V|^2)
• Adecuado para grafos densos (muchas aristas).

Lista de Adyacencia

• Array de listas, donde cada lista representa los vecinos de un vértice.
• Complejidad espacial: O(|V| + |E|)
• Adecuado para grafos dispersos (pocas aristas).

Propiedades

Grado

• Número de aristas conectadas a un vértice.
• Grafo dirigido: grado de entrada (número de aristas entrantes), grado de salida (número de aristas salientes).

Camino

• Secuencia de vértices conectados por aristas.
• Camino simple: no hay vértices repetidos.

Ciclo

• Camino que comienza y termina en el mismo vértice.
• Ciclo simple: no hay vértices o aristas repetidas (excepto el primer y último vértice).

Grafo Conectado

• Hay un camino entre cada par de vértices.
• Grafo dirigido: fuertemente conectado (camino en ambas direcciones), débilmente conectado (camino en una dirección).

Recorrido

Búsqueda en Anchura (BFS)

• Explora los vértices nivel por nivel.
• Utiliza una cola para rastrear los vértices a visitar.
• Encuentra el camino más corto en grafos no ponderados.

Búsqueda en Profundidad (DFS)

• Explora los vértices lo más lejos posible a lo largo de cada rama antes de retroceder.
• Utiliza una pila (implícitamente a través de la recursión) para rastrear los vértices a visitar.
• Puede usarse para detectar ciclos.

Hoja de Trucos de Cálculo

Derivadas

Fórmulas Básicas

• Donde f y g son funciones diferenciables, c y n son constantes.
  • (cf)' = cf'
  • (f ± g)' = f' ± g'
  • (f g)' = f'g + fg' (Regla del Producto)
  • (f/g)' = (f'g - fg')/g² (Regla del Cociente)
  • d/dx(c) = 0
  • d/dx(xⁿ) = nx^(n-1) (Regla de la Potencia)
  • d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x) (Regla de la Cadena)
  • d/dx(eˣ) = eˣ
  • d/dx(aˣ) = aˣln(a)
  • d/dx ln(x) = 1/x, x > 0
  • d/dx logₐ(x) = 1/(x ln(a))

Fórmulas Trigonométricas

• d/dx(sin x) = cos x
• d/dx(cos x) = -sin x
• d/dx(tan x) = sec² x
• d/dx(sec x) = sec x tan x
• d/dx(csc x) = -csc x cot x
• d/dx(cot x) = -csc² x

Fórmulas Trigonométricas Inversas

• d/dx(sin⁻¹ x) = 1/√(1-x²)
• d/dx(cos⁻¹ x) = -1/√(1-x²)
• d/dx(tan⁻¹ x) = 1/(1+x²)
• d/dx(sec⁻¹ x) = 1/(|x|√(x²-1))
• d/dx(csc⁻¹ x) = -1/(|x|√(x²-1))
• d/dx(cot⁻¹ x) = -1/(1+x²)

Integrales

Fórmulas Básicas

• Donde f y g son funciones diferenciables, c es una constante.
  • ∫ cf(x) dx = c ∫ f(x) dx
  • ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
  • ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a) donde F'(x) = f(x)
  • ∫ xⁿ dx = x^(n+1) / (n+1) + c, n ≠ -1
  • ∫ 1/x dx = ln |x| + c
  • ∫ eˣ dx = eˣ + c
  • ∫ aˣ dx = aˣ / ln(a) + c
  • ∫ f'(g(x))g'(x) dx = f(g(x)) + c

Fórmulas Trigonométricas

• ∫ cos x dx = sin x + c
• ∫ sin x dx = -cos x + c
• ∫ sec² x dx = tan x + c
• ∫ sec x tan x dx = sec x + c
• ∫ csc x cot x dx = -csc x + c
• ∫ csc² x dx = -cot x + c

Fórmulas Trigonométricas Inversas

• ∫ 1/√(a² - x²) dx = sin⁻¹(x/a) + c
• ∫ 1/(a² + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + c
• ∫ 1/(x√(x² - a²)) dx = (1/a)sec⁻¹(x/a) + c

Técnicas Estándar de Integración

• Nota: u = g(x), du = g'(x) dx
  • ∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du (Sustitución u)
  • ∫ u dv = uv - ∫ v du (Integración por partes)
  • ∫ₐᵇ f(x) dx = - ∫ᵇₐ f(x) dx
  • ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx

Fórmulas Útiles

Series

• Σᵢ₌₀ⁿ i = n(n+1)/2
  • Σᵢ₌₀ⁿ i² = n(n+1)(2n+1)/6
  • Σᵢ₌₀ⁿ i³ = (n(n+1)/2)²
  • sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
  • cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
  • cos²(x) = ½ (1 + cos(2x))
  • sin²(x) = ½ (1 - cos(2x))
  • eˣ = Σₙ₌₀^∞ xⁿ / n!
  • sin(x) = Σₙ₌₀^∞ (-1)ⁿ x^(2n+1) / (2n+1)!
  • cos(x) = Σₙ₌₀^∞ (-1)ⁿ x^(2n) / (2n)!
  • |x| < 1, 1/(1-x) = Σₙ₌₀^∞ xⁿ

Valor Promedio de una Función

• favg = 1/(b-a) ∫ₐᵇ f(x) dx

Longitud de Arco

• L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx

Área de Superficie

• A = ∫ₐᵇ 2πy √(1 + (dy/dx)²) dx (Rotación alrededor del eje x)
  • A = ∫ₐᵇ 2πx √(1 + (dy/dx)²) dx (Rotación alrededor del eje y)

Volumen

• V = ∫ₐᵇ A(x) dx
  • V = ∫ₐᵇ π [f(x)]² dx (Rotación alrededor del eje x)
  • V = ∫ₐᵇ π ([f(x)]² - [g(x)]²) dx (Rotación alrededor del eje x)
  • V = ∫ₐᵇ 2πx f(x) dx (Rotación alrededor del eje y)

Trabajo

• W = ∫ₐᵇ F(x) dx

Centro de Masa

• x̄ = (∫ x δ dA) / (∫ δ dA)
  • ȳ = (∫ y δ dA) / (∫ δ dA)

Área

• A = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx
  • A = ∫ₐᵇ r dr dθ

Coordenadas Polares

• x = r cos(θ)
  • y = r sen(θ)
  • tan(θ) = y/x
  • x² + y² = r²

Este documento define autovalores y autovectores de una matriz A de nxn, estudiando la transformación lineal Ta(x) = Ax. Explica que un autovector x es aquel para el cual Ax es un múltiplo escalar de x (Ax = λx). Además, detalla las propiedades y un ejemplo práctico para identificar autovectores.