Autocorrelación en Series Temporales

Autocorrelación

• La autocorrelación mide la relación lineal entre los valores rezagados de una serie temporal.

Autocorrelation

• Assuming a time series $y_1, y_2,..., y_T$, la función de autocorrelación (ACF) con retardo $k$ es: $\rho_k = Corr(y_t, y_{t-k}) = \frac{Cov(y_t, y_{t-k})}{\sqrt{Var(y_t)Var(y_{t-k})}}$.
• En una serie temporal estacionaria, $Var(y_t) = Var(y_{t-k})$, por lo que $\rho_k = \frac{Cov(y_t, y_{t-k})}{Var(y_t)}$.

Función de Autocorrelación Muestral (SACF)

• $\hat{\rho}k = \frac{\sum{t=k+1}^T (y_t - \bar{y})(y_{t-k} - \bar{y})}{\sum_{t=1}^T (y_t - \bar{y})^2}$
• Donde $\bar{y}$ es la media muestral: $\bar{y} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T y_t$

Correlograma

• Un diagrama de SACF ($\hat{\rho}_k$) frente al retardo $k$, representa visualmente el patrón de autocorrelación en una serie temporal.

Propiedades de la SACF

• $\hat{\rho}_0 = 1$
• $-1 \le \hat{\rho}_k \le 1$
• $\hat{\rho}k = \hat{\rho}{-k}$

Prueba de Autocorrelación

• Se puede testear la hipótesis nula de que no existe autocorrelación con retardo $k$ ($H_0: \rho_k = 0$) contra la hipótesis alternativa de que sí existe autocorrelación con retardo $k$ ($H_1: \rho_k \ne 0$).
• En la hipótesis nula, el coeficiente de autocorrelación muestral $\hat{\rho}_k$ se distribuye aproximadamente normal con media 0 y varianza $\frac{1}{T}$, representado por $\hat{\rho}_k \sim N(0, \frac{1}{T})$.
• Se construye un estadístico de prueba como: $z = \frac{\hat{\rho}_k}{\sqrt{\frac{1}{T}}} = \hat{\rho}_k \sqrt{T}$, where
• Bajo $H_0$, $z \sim N(0, 1)$.
• Se rechaza la hipótesis nula con un nivel de significación $\alpha$ si $|z| > z_{\alpha/2}$, donde $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar en $\alpha/2$.

Prueba de Ljung-Box

• La prueba de Ljung-Box se utiliza para probar si un grupo de autocorrelaciones son conjuntamente diferentes de cero de forma significativa.
• La hipótesis nula es que las primeras autocorrelaciones $m$ son todas cero: $H_0: \rho_1 = \rho_2 =... = \rho_m = 0$
• El estadístico de la prueba de Ljung-Box es: $Q = T(T+2) \sum_{k=1}^m \frac{\hat{\rho}_k^2}{T-k}$
  • $T$ es el tamaño de la muestra
  • $\hat{\rho}_k$ es la autocorrelación muestral en el rezago $k$
  • $m$ es el número de rezagos que se están probando.
• Bajo la hipótesis nula, el estadístico de prueba $Q$ sigue una distribución chi-cuadrado con $m$ grados de libertad: $Q \sim \chi_m^2$.
• La hipótesis nula se rechaza en un nivel de significación $\alpha$ si $Q > \chi_{m, \alpha}^2$, donde $\chi_{m, \alpha}^2$ es el valor crítico de la distribución chi-cuadrado con $m$ grados de libertad con un nivel de significación de $\alpha$.

Autocorrelación parcial

• La función de autocorrelación parcial (PACF) mide la correlación entre $y_t$ y $y_{t-k}$ después de eliminar los efectos de los rezagos intermedios $y_{t-1}, y_{t-2},..., y_{t-k+1}$.
• Mide la correlación entre $y_t$ y $y_{t-k}$ que no se explica por los rezagos del 1 al $k-1$.
• La PACF en el rezago $k$ se denota como $\alpha_{kk}$, el cual representa el último coeficiente en un modelo autorregresivo de orden $k$.
• $y_t = \alpha_{k0} + \alpha_{k1}y_{t-1} + \alpha_{k2}y_{t-2} +... + \alpha_{kk}y_{t-k} + \epsilon_t$

Función de Autocorrelación Parcial Muestral (SPACF)

• La SPACF se estima ajustando modelos autorregresivos de orden creciente y registrando el último coeficiente.

Correlograma

• Un diagrama de la SPACF ($\hat{\alpha}_{kk}$) frente al retardo $k$ que proporciona una representación visual del patrón de autocorrelación parcial en una serie temporal.

Propiedades de la SPACF

• $-1 \le \hat{\alpha}_{kk} \le 1$

Prueba de Autocorrelación Parcial

• Se testeala hipótesis nula de que no hay autocorrelación parcial con retardo $k$ ($H_0: \alpha_{kk} = 0$) contra la hipótesis alternativa de que sí hay autocorrelación parcial con retardo $k$ ($H_1: \alpha_{kk} \ne 0$).
• Bajo la hipótesis nula, el coeficiente de autocorrelación parcial muestral $\hat{\alpha}{kk}$ se distribuye aproximadamente normal con media 0 y varianza $\frac{1}{T}$, representado como $\hat{\alpha}{kk} \sim N(0, \frac{1}{T})$.
• Por lo tanto, se construye un estadístico de prueba como: $z = \frac{\hat{\alpha}{kk}}{\sqrt{\frac{1}{T}}} = \hat{\alpha}{kk} \sqrt{T}$.
• Bajo $H_0$, $z \sim N(0, 1)$.
• La hipótesis nula se rechaza en un nivel de significación $\alpha$ si $|z| > z_{\alpha/2}$, donde $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar en $\alpha/2$.

Autocorrelación y Autocorrelación Parcial

• La siguiente tabla resume cómo utilizar la ACF y la PACF para identificar el orden de un modelo ARMA.

Ruido Blanco

• Un proceso de ruido blanco es una secuencia de variables aleatorias incorrelacionadas con media cero y varianza constante.

Propiedades del Ruido Blanco

• Media Cero: $E(y_t) = 0$ para todo $t$
• Varianza constante: $Var(y_t) = \sigma^2$ para todo $t$
• No correlacionado: $Cov(y_t, y_{t-k}) = 0$ para todo $k \ne 0$

Prueba de Ruido Blanco

• Para probar si una serie temporal es ruido blanco, se puede utilizar la prueba de Ljung-Box.
• Si el valor p de la prueba de Ljung-Box es mayor que el nivel de significación $\alpha$, no se rechaza la hipótesis nula de que la serie temporal es ruido blanco.
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Álgebra Lineal y Geometría Analítica I

• Capítulo 1: Sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

• Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de la forma:
  • $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$
  • $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$...
  • $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m$
  • donde $a_{ij}$ y $b_i$ son constantes y $x_j$ son las incógnitas.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de sustitución

• El método de sustitución consiste en expresar una incógnita en función de las otras a partir de una ecuación, luego en sustituir esta expresión en las otras ecuaciones.

Método de eliminación (Gauss)

• El método de eliminación consiste en eliminar las incógnitas combinando las ecuaciones.

Método matricial

• Un sistema de ecuaciones lineales puede ser representado bajo forma matricial: $Ax = b$
• donde A es la matriz de los coeficientes, x es el vector de las incógnitas y b es el vector de las constantes.
• La solución viene dada por $x = A^{-1}b$ donde $A^{-1}$ es la matriz inversa de A.

Tipos de soluciones

• Un sistema de ecuaciones lineales puede tener:
  • Una solución única
  • Una infinidad de soluciones
  • Ninguna solución

Interpretación geométrica

• En el caso de dos incógnitas, cada ecuación representa una línea en el plano.
• La solución del sistema es la intersección de las líneas.

Aplicaciones

• Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan en muchos campos como la ingeniería, la economía y la informática.

Observaciones

• El método de Gauss es el método más general para resolver los sistemas de ecuaciones lineales.
• El método matricial es útil cuando hay muchos sistemas a resolver con la misma matriz de coeficientes.
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• Ser claro y proactivo.
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Recursos útiles

• GitHub,GitLab, Bitbucket
• Guía de GitHub: https://opensource.guide/how-to-contribute/
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Conferencia 16: Impuestos Óptimos I

Introducción

• El doble papel de los impuestos:
  • Recaudar renta.
  • Abordar los fallos del mercado (externalidades, bienes públicos).
• Teoría del impuesto óptimo:
  • Objetivo: Minimizar las distorsiones causadas por los impuestos.
  • Pregunta clave: ¿Cómo deberían gravarse los impuestos para lograr la eficiencia y la equidad?

Problema Fiscal de Ramsey

• Objetivo: Minimizar la pérdida de peso muerto (DWL) por la imposición.
• Suposiciones:
  • El gobierno necesita recaudar una cantidad fija de ingresos, $R$.
  • Los impuestos distorsionan los precios, lo que lleva a DWL.
• Formulación matemática:
  • $\min_{t} DWL(t)$ sujeto a $\sum_{i=1}^{n} t_i x_i(t) = R$
    • Donde:
      • $t_i$ es la tasa impositiva en el bien $i$.
      • $x_i(t)$ es la demanda del bien $i$ como una función de las tasas impositivas.
• Condiciones de primer orden (FOCs):
  • Regla de Ramsey: $\frac{t_i}{t_j} = \frac{\epsilon_{jj}}{\epsilon_{ii}}$, donde $\epsilon_{ii}$ es la elasticidad de la demanda para el bien $i$.
  • Implicación: Gravar más fuertemente los bienes con una demanda más inelástica.
• Intución:
  • Los bienes inelásticos tienen menores reducciones de cantidad cuando se gravan, por lo tanto, menor DWL.
  • Ejemplo: Impuesto a la sal vs. impuesto a los autos de lujo.

Eficiencia de Producción

• Definición: Una distribución de recursos en la que es imposible aumentar la producción de un bien sin disminuir la producción de otro.
• Teorema de Eficiencia de Producción de Diamond-Mirrlees:
  • En un sistema fiscal óptimo, el gobierno no debería interferir con la eficiencia de la producción.
  • Implicación: Gravar solo los bienes finales, no los bienes intermedios.
• Razón:
  • Los impuestos sobre los bienes intermedios distorsionan las decisiones de producción de las empresas.
  • Enfocar los impuestos en los bienes finales minimiza las distorsiones generales.

Consideraciones de equidad

• Limitación de la Regla de Ramsey:
  • Se enfoca únicamente en la eficiencia, ignorando la equidad.
  • Puede llevar a impuestos regresivos (cargando desproporcionadamente a los pobres).
• Compensación entre equidad y eficiencia:
  • El diseño óptimo de impuestos a menudo implica equilibrar la eficiencia (minimizando el DWL) y la equidad (distribución justa de la carga impositiva).
• Ejemplos de políticas fiscales orientadas a la equidad:
  • Impuestos sobre la renta progresivos
  • Impuestos especiales sobre los bienes de lujo
  • Créditos fiscales para individuos de bajos ingresos

Impuesto al valor agregado (IVA)

• Definición: Un impuesto al valor añadido en cada etapa de la producción.
• Cómo funciona:
  • Las empresas pagan impuestos sobre sus ingresos por ventas, pero reciben créditos por los impuestos ya pagados en sus insumos.
  • Efectivamente, solo el consumidor final soporta toda la carga impositiva.
• Ventajas:
  • Evita los impuestos sobre los bienes intermedios (promueve la eficiencia de la producción).
  • Fomenta las exportaciones (el IVA se reembolsa normalmente en las exportaciones).
• Desventajas:
  • Puede ser regresivo si no se diseña cuidadosamente.
  • Complejo de administrar, especialmente para las pequeñas empresas.

Conclusión

• La imposición óptima implica complejas compensaciones:
  • Eficiencia vs. equidad.
  • Necesidades de ingresos vs. minimizar las distorsiones.
• Principios clave:
  • Gravar más fuertemente los bienes con una demanda inelástica.
  • Evitar gravar los bienes intermedios.
  • Considerar las implicaciones de equidad de las políticas fiscales.
• El IVA como un sistema fiscal ampliamente utilizado y eficiente.

Notas adicionales

• Diagrama: Una representación gráfica de la pérdida de peso muerto (DWL) debido a la imposición, mostrando la reducción en el excedente del consumidor y del productor.
• Ecuaciones: Fórmulas de incidencia fiscal que ilustran cómo se distribuye la carga impositiva entre los consumidores y los productores en función de la elasticidad de la demanda y la oferta.
• Tabla: Una comparación de diferentes sistemas fiscales (por ejemplo, el impuesto sobre la renta, el impuesto sobre las ventas, el IVA) basada en su eficiencia, equidad y costes administrativos.