اشتقاق دالة جيب التمام

اشتقاق دالة جيب التمام

• تعريف دالة جيب التمام (cosine):

  • يُرمَز لها بـ ( \cos(x) ).
  • تُعبر عن نسبة طول الضلع المجاور للزاوية في مثلث قائم إلى طول الوتر.

• قاعدة الاشتقاق:

  • الاشتقاق الأساسي لدالة جيب التمام: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) ]

• إثبات الاشتقاق:

  1. استخدام تعريف الاشتقاق:
     • الاشتقاق يُعرَف على أنه: [ \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
  2. تطبيقه على دالة جيب التمام:
     • نبدأ بحساب: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} ]
  3. استخدام صيغة الجيب للفرق:
     • باستخدام معادلة الفرق: [ \cos(x+h) = \cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) ]
  4. التعويض في الاشتقاق:
     • بعد التعويض: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) - \cos(x)}{h} ]
  5. تبسيط الحدود:
     • يمكن إعادة كتابة المعادلة وتبسيطها لتصبح: [ = \lim_{h \to 0} \left( -\sin(x) \frac{\sin(h)}{h} - \cos(x) \frac{1 - \cos(h)}{h} \right) ]
  6. معرفة حدود المشتقات:
     • حيث أن:
       • ( \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 )
       • ( \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(h)}{h} = 0 )

• النتيجة النهائية:

  • بالتبسيط، نحصل على: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) ]

• خصائص الاشتقاق:

  • دالة جيب التمام تتناقص على المجال ( (0, \pi) ).
  • تتزايد على المجال ( (\pi, 2\pi) ).
  • النقاط الحرجة: حيث ( \cos(x) = 0 ) عند ( x = \frac{\pi}{2} + n\pi ) حيث ( n ) عدد صحيح.

دالة جيب التمام (cosine)

• يُرمَز لها بـ ( \cos(x) )
• تُعبِر عن نسبة طول الضلع المجاور للزاوية في مثلث قائم إلى طول الوتر

قاعدة الاشتقاق

• الاشتقاق الأساسي لدالة جيب التمام: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) ]

إثبات الاشتقاق

• تعريف الاشتقاق: يُعرَف الاشتقاق على أنه: [ \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
• تطبيق الاشتقاق على دالة جيب التمام: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} ]
• استخدام صيغة الجيب للفرق: [ \cos(x+h) = \cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) ]
• التعويض في الاشتقاق: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) - \cos(x)}{h} ]
• تبسيط الحدود: [ = \lim_{h \to 0} \left( -\sin(x) \frac{\sin(h)}{h} - \cos(x) \frac{1 - \cos(h)}{h} \right) ]
• معرفة حدود المشتقات:
  • ( \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 )
  • ( \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(h)}{h} = 0 )

النتيجة النهائية

• بالتبسيط، نحصل على: [ \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) ]

خصائص الاشتقاق

• دالة جيب التمام تتناقص على المجال ( (0, \pi) )
• تتزايد على المجال ( (\pi, 2\pi) )
• النقاط الحرجة: حيث ( \cos(x) = 0 ) عند ( x = \frac{\pi}{2} + n\pi ) حيث ( n ) عدد صحيح

المضاعف المشترك الأصغر (C.J.J) والـ J.O

• يتم تحليل الأعداد إلى عواملهما الأولية لتحديد المضاعف المشترك الأصغر.
• مثال: تحليل العددين 14 و21 إلى عواملهما الأولية.

تحليل العددين 14 و21

• العامل الأولي للعدد 14 هو 2 و7.
• العامل الأولي للعدد 21 هو 3 و7.

النسب وتكوين الأنماط

• للحصول على نسب متكافئة، يتم ضرب حدود النسبة بنفس العدد.
• مثال على إنشاء نمط:
• 3, 6, 9, 12 هي نسب متكافئة.
• 5, 10, 15, 20 هي أيضاً نسب متكافئة.

إيجاد قيم X لجعل النسب متكافئة

• يمكن حساب قيمة X عن طريق المعادلات مثل ( 3:X=5:20 ) حيث ( X = 12 ).
• مثال آخر: ( 9:27=X:60 ) حيث ( X = 20 ).

معدل الوحدة

• معدل الوحدة يقارن بين كمية ما ووحدة واحدة.
• مثال: 120 كم/ساعة أو 3 وجبات لكل تلميذ.

النسب المئوية

• النسبة المئوية يتم حسابها كنسبة حدها الثاني 100.
• تحويل الكسور إلى نسب مئوية يتم بإيجاد كسر مكافئ له مقامه 100.
• مثال: ( \frac{2}{5} = 40% ) و( \frac{3}{4} = 75% ).

معامل التحويل

• معامل التحويل هو نسبة بين كميتين متساويتين معبر عنها بوحدات مختلفة.
• يجب معرفة العلاقات مثل 60 ثانية = 1 دقيقة و1 لتر = 1000 ملليلتر.

تمارين تطبيقية

• يتم تقديم تدريبات على إيجاد قيم X لجعل الزوج من النسب متكافئ.
• تدريبات على تحويل الوحدات وتطبيق النسب المئوية.

تلخيص المفاهيم

• المضاعف المشترك الأصغر مهم في الرياضيات لسهولة حل المسائل.
• الفهم الجيد للنسب والمعدلات يساهم في تحسين القدرة على حل المشكلات الرياضية بشكل أفضل.