أساسيات المجموعة: تعريف المجموعة وأنواعها

بالتأكيد ، إليك ملاحظات الدراسة التفصيلية بتنسيق Markdown وباللغة العربية:

تعريف المجموعة (Set)

• المجموعة هي عبارة عن تجميع جيد التحديد ومميز من الأشياء، والتي تعتبر بدورها عناصر أو أعضاء المجموعة

تمثيل المجموعات (Representation of Sets)

• طريقة الجدول: يتم سرد جميع عناصر المجموعة صراحة داخل أقواس المجموعة {}.
• طريقة بناء المجموعة: يتم وصف عناصر المجموعة من خلال خاصية أو قاعدة مشتركة.

العدد الأصلي أو الكارديناليتي (Cardinal No. or Cardinality)

• العدد الأصلي أو كارديناليتي المجموعة هو عدد العناصر المتميزة في المجموعة.

أنواع المجموعات (Types of Sets)

• المجموعة الخالية (Null Set/Empty Set): لا تحتوي على أي عناصر ويُرمز لها بالرمز {} أو ∅.
• المجموعة المفردة (Singleton Set): تحتوي على عنصر واحد فقط.
• المجموعة المنتهية (Finite Set): يمكن عد عناصرها وتنتهي عند عدد معين.
• المجموعة غير المنتهية (Infinite Set): لا يمكن عد عناصرها وتستمر إلى ما لا نهاية.
• المجموعات المتساوية (Equal Sets): مجموعتان تحتويان على نفس العناصر بالضبط.
• المجموعة الجزئية (Subset): المجموعة A هي مجموعة جزئية من المجموعة B إذا كان كل عنصر في A موجودًا أيضًا في B، ويرمز لها بـ A ⊆ B.
• المجموعة الجزئية الفعلية (Proper Subset): المجموعة A هي مجموعة جزئية فعلية من المجموعة B إذا كانت A ⊆ B و A ≠ B، ويرمز لها بـ A ⊂ B.
• مجموعة القوة (Power Set): مجموعة جميع المجموعات الجزئية الممكنة لمجموعة معينة.

العمليات على المجموعات (Operation/Algebra of Sets)

• الاتحاد (Union): A ∪ B هي مجموعة تحتوي على جميع عناصر A و B.
• التقاطع (Intersection): A ∩ B هي مجموعة تحتوي على العناصر المشتركة بين A و B.
• الفرق (Difference): A - B هي مجموعة تحتوي على العناصر الموجودة في A وغير موجودة في B.
• المتممة (Complement): A' هي مجموعة تحتوي على جميع العناصر الموجودة في المجموعة الشاملة (Universal Set) وغير موجودة في A.

قوانين دي مورغان (De Morgan Laws)

• القانون الأول: (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• القانون الثاني: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

قوانين المجموعات (Laws of Sets)

• قانون التماثل:
  • A ∪ ∅ = A
  • A ∩ U = A
• قانون الهوية:
  • A ∪ A' = U
  • A ∩ A' = ∅
• قانون التوزيع:
  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات (Cartesian Product of Sets)

• A × B هي مجموعة جميع الأزواج المرتبة (a, b) حيث a ∈ A و b ∈ B.
• عدد عناصر A × B يساوي |A| × |B|.

العلاقات (Relations)

• العلاقة هي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين.
• يمكن تمثيل العلاقة باستخدام مخططات فين (Venn diagrams) أو عن طريق سرد الأزواج المرتبة التي تحقق العلاقة.

المجال، والمجال المقابل، والمدى للعلاقة (Domain, Co-domain & Range of Relation)

• المجال (Domain): مجموعة جميع العناصر الأولى في الأزواج المرتبة للعلاقة.
• المجال المقابل (Co-domain): المجموعة التي تنتمي إليها العناصر الثانية في الأزواج المرتبة.
• المدى (Range): مجموعة جميع العناصر الثانية في الأزواج المرتبة للعلاقة.

معكوس العلاقة (Inverse of Relation)

• إذا كانت R علاقة من المجموعة A إلى المجموعة B، فإن معكوس العلاقة R⁻¹ هي علاقة من B إلى A وتتكون من الأزواج المرتبة المعكوسة للعلاقة R.

أنواع العلاقات (Types of Relations)

• العلاقة الانعكاسية (Reflexive Relation): لكل عنصر a في المجموعة A، يجب أن يكون الزوج المرتب (a, a) موجودًا في العلاقة.
• العلاقة المتماثلة (Symmetric Relation): إذا كان الزوج المرتب (a, b) موجودًا في العلاقة، فيجب أن يكون الزوج المرتب (b, a) موجودًا أيضًا.
• العلاقة المتعدية (Transitive Relation): إذا كان الزوج المرتب (a, b) والزوج المرتب (b, c) موجودين في العلاقة، فيجب أن يكون الزوج المرتب (a, c) موجودًا أيضًا.
• علاقة التكافؤ (Equivalence Relation): هي العلاقة التي تكون انعكاسية ومتماثلة ومتعدية في الوقت نفسه.

الدوال (Functions)

• الدالة هي علاقة خاصة تربط كل عنصر في المجموعة الأولى (المجال) بعنصر واحد فقط في المجموعة الثانية (المجال المقابل).
• اختبار الخط الرأسي (Vertical Line Test): طريقة لتحديد ما إذا كان الرسم البياني يمثل دالة؛ يجب أن يقطع أي خط رأسي الرسم البياني مرة واحدة على الأكثر.

مجال الدالة (Domain of Function)

• مجموعة جميع القيم المدخلة التي يمكن للدالة أن تعمل عليها.

جبر الدوال (Algebra of Functions)

• يمكن جمع وطرح وضرب وقسمة الدوال لإنتاج دوال جديدة.

مدى الدالة (Range of Function)

• مجموعة جميع القيم المخرجة التي يمكن أن تنتجها الدالة.

الدوال المتساوية (Equal Functions)

• دالتان متساويتان إذا كان لهما نفس المجال ونفس المدى، وتعطيان نفس القيمة لكل عنصر في مجالهما.

أنواع الدوال ورسومها البيانية (Different Types of Functions & their Graphs)

• الدوال الخطية، التربيعية، التكعيبية، الأسية، اللوغاريتمية، المثلثية، وغيرها.
• لكل نوع من هذه الدوال شكل رسم بياني مميز.

أنواع التطبيقات (Types of Mappings)

• الدالة المتباينة (Injective Function/One-to-One Function): كل عنصر في المدى يرتبط بعنصر واحد فقط في المجال.
• الدالة الشاملة (Surjective Function/Onto Function): كل عنصر في المجال المقابل هو صورة لعنصر واحد على الأقل في المجال.
• الدالة التقابلية (Bijective Function): هي دالة متباينة وشاملة في الوقت نفسه.

تركيب الدوال (Composite Functions)

• إذا كانت f و g دالتين، فإن تركيبهما (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

عدد الدوال الشاملة (Number of onto Functions)

• حساب عدد الدوال الشاملة من مجموعة إلى أخرى يتطلب استخدام مبادئ العد المتقدمة.

الدوال الدورية (Periodic Functions)

• الدالة الدورية هي دالة تكرر قيمها على فترات منتظمة.
• الفترة الأساسية (Fundamental Period) هي أصغر فترة تكرر الدالة قيمها خلالها.

الدوال العكسية (Inverse Functions)

• إذا كانت f دالة تقابلية، فإن الدالة العكسية لها f⁻¹ تحقق العلاقة f(f⁻¹(x)) = x و f⁻¹(f(x)) = x.

المعادلات الدالية (Functional Equations)

• هي معادلات تتضمن دوال غير معروفة، والهدف هو إيجاد الدوال التي تحقق هذه المعادلات.

آمل أن تكون هذه الملاحظات مفيدة في دراستك! إذا كان لديك أي أسئلة أخرى، فلا تتردد في طرحها.