أساسيات الاحتمالات: مقدمة

• الاحتمالية هي قياس لاحتمالية وقوع حدث ما، وتتراوح قيمتها بين 0 (مستحيل) و 1 (مؤكد).

تعريف الاحتمالية

• إذا كان هناك $n$ من النتائج المحتملة بالتساوي، وحدث $E$ يقع في $m$ من هذه النتائج، فإن احتمال $E$ يُرمز له بـ $P(E)$ ويُعطى بالعلاقة:

$P(E) = \frac{m}{n} = \frac{\text{عدد النتائج في E}}{\text{العدد الكلي للنتائج المحتملة}}$

أمثلة على الاحتمالية

• مثال 1: رمي عملة معدنية عادلة.
  • عند رمي عملة معدنية عادلة، هناك نتيجتان محتملتان بالتساوي: صورة (H) أو كتابة (T).
    • $P(H) = \frac{1}{2}$
    • $P(T) = \frac{1}{2}$
• مثال 2: رمي حجر نرد عادل ذو ستة أوجه.
  • عند رمي حجر نرد عادل ذو ستة أوجه، هناك ست نتائج محتملة بالتساوي: 1، 2، 3، 4، 5، أو 6.
    • احتمال الحصول على 3: $P(3) = \frac{1}{6}$
    • احتمال الحصول على عدد زوجي: $P(\text{زوجي}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

قواعد الاحتمالية الأساسية

• نطاق الاحتمالية:
  • $0 \leq P(E) \leq 1$ لأي حدث $E$.
• فضاء العينة:
  • فضاء العينة $S$ هو مجموعة كل النتائج الممكنة. احتمال فضاء العينة هو 1، أي $P(S) = 1$.
• قاعدة المتممة:
  • متممة الحدث $E$، ويُرمز لها بـ $E'$، هي الحدث الذي فيه $E$ لا يقع.
    • $P(E') = 1 - P(E)$
• قاعدة الجمع:
  • إذا كان $A$ و $B$ حدثين، فإن احتمال وقوع إما $A$ أو $B$ هو:
    • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
  • إذا كان $A$ و $B$ حدثين متنافيين (منفصلين)، أي $A \cap B = \emptyset$، فإن:
    • $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• الاحتمالية الشرطية:
  • الاحتمالية الشرطية للحدث $A$ بشرط وقوع الحدث $B$ هي:
    • $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$، بشرط أن يكون $P(B) > 0$
• قاعدة الضرب:
  • احتمال وقوع الحدثين $A$ و $B$ معًا هو:
    • $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$
  • إذا كان $A$ و $B$ حدثين مستقلين، فإن:
    • $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

أمثلة توضيحية للقواعد

• مثال 3: سحب بطاقة من مجموعة أوراق اللعب.
  • إذا سحبت بطاقة من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة.
    • احتمال سحب قلب: $P(\text{قلب}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
    • احتمال عدم سحب قلب: $P(\text{ليس قلب}) = 1 - P(\text{قلب}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
• مثال 4: رمي حجرين نرد.
  • إذا رميت حجرين نرد عادلين ذوي ستة أوجه.
    • احتمال الحصول على مجموع 7: $P(\text{المجموع}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
    • احتمال الحصول على مجموع 7 أو 11: $P(\text{المجموع}=7 \text{ أو } 11) = P(\text{المجموع}=7) + P(\text{المجموع}=11) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$
• مثال 5: الاحتمالية الشرطية.
  • في فصل، 60% من الطلاب يلعبون كرة القدم و 40% يلعبون الكريكيت. 20% من الطلاب يلعبون كلتيهما. أوجد احتمال أن يلعب طالب الكريكيت علمًا بأنه يلعب كرة القدم.
    • ليكن F هو حدث أن يلعب طالب كرة القدم و C هو حدث أن يلعب طالب الكريكيت.
    • $P(F) = 0.60$, $P(C) = 0.40$, $P(F \cap C) = 0.20$
    • $P(C|F) = \frac{P(C \cap F)}{P(F)} = \frac{0.20}{0.60} = \frac{1}{3}$
• فهم الاحتمالية يشمل استيعاب بعض المفاهيم والقواعد الأساسية.
• هذه المفاهيم توفر أساسًا لمواضيع أكثر تقدمًا في الإحصاء واتخاذ القرارات.
• تذكر أن تأخذ في الاعتبار فضاء العينة، الأحداث المتنافية، الاحتمالات الشرطية، وقواعد جمع الاحتمالات.