أساسيات العد والاحتمالات

بالتأكيد ، فيما يلي ملاحظات الدراسة التفصيلية استنادًا إلى النص المقدم:

أساسيات العد

• يقدم هذا النص مقدمة لقواعد العد الأساسية، بما في ذلك قاعدة الضرب، وأساسيات المجموعات، ومبدأ Pigeonhole.

تجربة رمي العملة مرة واحدة

• يمكن للجميع رمي عملة معدنية حقيقية أو افتراضية مرة واحدة وتسجيل النتيجة.
• هناك سؤال يطرح حول عدد الإجابات التي نتوقع الحصول عليها، وما إذا حصلنا على أكثر أو أقل مما توقعناه، وما إذا كان يهم من الذي رمى العملة المعدنية وبأي ترتيب.

تجربة رمي العملة مرتين

• يمكن للجميع رمي عملة معدنية حقيقية أو افتراضية مرتين وتسجيل النتائج.
• هناك سؤال يطرح حول عدد الإجابات التي نتوقع الحصول عليها، وما إذا حصلنا على أكثر أو أقل مما توقعناه، وما إذا كان يهم الترتيب الذي تم به رمي العملات المعدنية.

لفة النرد

• يتم طرح سؤال عما يحدث مع رمي النرد في قلعة النرد.

التفسير

• عند رمي العملات المعدنية أو النرد غير المغشوشة، فإن الرمي يعتبر عملية عشوائية حيث تكون احتمالات كل نتيجة ممكنة متساوية.
• للعملة المعدنية: ½ = 50% احتمالات الحصول على صورة، ½ = 50% احتمالات الحصول على كتابة.
• للنرد: 1/6 احتمالات الحصول على كل قيمة ممكنة: 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6.
• فضاء العينة هو عبارة عن مجموعة من جميع النتائج المحتملة لعملية أو تجربة عشوائية.
• الحدث هو مجموعة فرعية من فضاء العينة.
• يكون الحدثان مستقلين عندما لا يؤثر نتيجة أحدهما على نتيجة الآخر.

كيفية حساب الاحتمالات؟

• لحساب الاحتمالات، يجب أن نكون قادرين على عد أحجام فراغات العينة والأحداث.
• التركيز في البداية على العد. وهذا المجال من الرياضيات يسمى التوافق.
• سيتم التطرق إلى قواعد العد الأساسية، وسيتم الرجوع إلى نظرية الاحتمالات في محاضرات لاحقة.

قاعدة الضرب

• تحدد قاعدة الضرب أنه إذا كانت العملية تتكون من خطوات k، وكان كل خطوة يمكن أن تتم بعدد n من الطرق دائمًا، فإن العملية كلها يمكن أن تتم بعدد (n1.n2 ... nk) من الطرق.

مثال على قاعدة الضرب

• لحساب عدد الأرقام القابلة للتعبير عنها بـ 8 بتات ، سيتم استخدام قاعدة الضرب:
  • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^8 = 256

مثال على قاعدة الضرب - المجموعات

• لحساب عدد العناصر في حاصل الضرب الديكارتي A₁×A₂×A₃، حيث A₁ = {2, 3} و A₂ = {a, b, c} و A₃ = {T, F}.
  • كل عنصر في A₁×A₂×A₃ هو عبارة عن ثلاثية مرتبة ولذلك يكون الناتج 2×3×2 = 12 عنصر.

مثال على قاعدة الضرب - الرموز البريدية الكندية

• لمعرفة عدد الرموز البريدية الكندية الممكنة، إذا كانت الرموز البريدية الكندية أبجدية رقمية، بتنسيق A1A 1A1 ، حيث A هو حرف و 1 هو رقم، فإن الإجمالي يكون
  • 26 x 10 x 26 x 10 x 26 x 10

قيود قاعدة الضرب

• تعتمد صلاحية تطبيق قاعدة الضرب على استقلالية الخطوات. إذا كان عدد طرق تنفيذ خطوة معينة يعتمد على كيفية تنفيذ الخطوات السابقة ، فلا يمكن تطبيق قاعدة الضرب مباشرة.

أساسيات المجموعات (Cardinality)

• يقدم القسم مفاهيم أساسيات المجموعات والمراجعات لمفاهيم من MTH100، مثل الدوال التقابلية.

الدوال التقابلية

• الدالة التقابلية من A إلى B هي دالة تحقق الشرطين التاليين:
• خاصية أحادي (one-to-one) أو دالة (injective) : كل عنصر في B مرتبط على الأكثر بعنصر واحد فقط من A.
• خاصية الشمولية (onto) أو دالة (surjective) : كل عنصر من B هو صورة لعنصر واحد على الأقل من A.
• أي دالة تقابلية من A إلى B ، كل عنصر في B هو صورة لعنصر واحد فقط من A لتلك الدالة.

المجموعات المحدودة واللامحدودة

• يُقال أن المجموعة A محدودة إذا كان عدد عناصرها N(A) محدودًا، وذلك فقط في الحالات التالية:
  • A هي المجموعة الفارغة ∅ ، وفي هذه الحالة N(A) = 0
  • وجود دالة تقابلية من المجموعة {1, 2,...,n} إلى A، حيث n عدد صحيح موجب، وفي هذه الحالة N(A) = n
• المجموعة التي ليست محدودة تسمى مجموعة غير محدودة.

أسس المجموعات

• أساسية المجموعة A هي مقياس لحجم
  • A ويرمز لها بـ |A| أو Card(A).
• يكون للمجموعتين A و B نفس الأساسية إذا كانت وفقط في حالة وجود دالة تقابلية من A إلى B أو من B إلى A.
• عندما تكون المجموعة A محدودة، فإن |A| = N(A) هو عدد عناصر المجموعة A.

أسس المجموعة اللانهائية

• المجموعة A لا نهائية، |A| هي واحدة من أحجام اللانهاية المختلفة ، وتسمى بالأحرف العبرية ℵ (ألف) و (ℶ (بيت)) بواسطة جورج كانتور ، والتي يمكن ترتيبها: ℵ₀ = ℶ₀ =|ℕ| هي أصغر عدد لانهائي. ℵ₁ هو ثاني أصغر عدد لا نهائي. إنه عدد العناصر في مجموعة الأعداد الترتيبية المعدودة. ℶ₁ = |ℝ| = |P(ℕ)| = 2ℵ₀ هو عدد لانهائي أكبر (أو يساوي؟)
• ℵ₁ = ℶ₁ تسمى فرضية الاستمرارية ، وهي مسألة رياضية مفتوحة.

عد المجموعات القابلة للعد وغير القابلة للعد

• المجموعات المحدودة أو المجموعات ذات العدد الأساسي ℵ₀ يمكن عدها لأن كل عنصر يمكن عده، حتى لو استغرق ذلك وقتًا لا متناهيًا في حالة المجموعات اللانهائية.
• المجموعات التي أساسها ℵ₁ أو أكبر يقال إنها غير قابلة للعد.

خصائص أساسيات المجموعة المنتهية

• قانون الجمع: إذا كانت {A1 ، A2 ، ... ، An} عبارة عن فاصل لمجموعة محدودة A، أي A = Uᵢ₌₁ⁿ Aᵢ ، حيث A1 ، A2 ، ... ، An منفصلة بشكل متبادل ، عندها: ستكون |A|= |A₁| + |A₂| + ... + |Aₙ| = ∑(من i=1 إلى n) |Aᵢ|
• قاعدة المجموعة الفرعية:
  • إذا كانت A و B مجموعات محدودة و B ⊆ A فإن |B| ≤ |A|.
• قاعدة الفرق:
  • إذا كانت A و B مجموعات محدودة و B ⊆ A فإن |A−B| = |A| − |B|.
• قانون الإدراج والإقصاء (لمجموعتين):
  • إذا كانت A و B مجموعتين محدودتين، فإن |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
• قانون الإدراج والإقصاء (لثلاث مجموعات):
  • إذا كانت A و B و C ثلاث مجموعات محدودة، فإن |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

أمثلة على قانون الإدراج والإقصاء

• تم إجراء استطلاع للطلاب حول الدورات الثلاث التي درسوها في المدرسة الثانوية: علوم الكمبيوتر والرياضيات وإدارة البيانات والوظائف المتقدمة.
  • 47 على الأقل أخذوا واحدة من الدورات الثلاث.
  • 30 أخذوا علوم الكمبيوتر.
  • 18 أخذوا الرياضيات.
  • 26 أخذوا الدوال المتقدمة.
  • 9 أخذوا كلاً من علوم الكمبيوتر والرياضيات.
  • 16 أخذوا كلاً من علوم الكمبيوتر والدوال المتقدمة.
  • 8 أخذوا كلاً من الرياضيات والدوال المتقدمة.
• تم حساب عدد الطلاب الذين تلقوا الدورات الثلاث.

مبدأ Pigeonhole

• يقدم هذا الجزء مبدأ Pigeonhole.

أمثلة على مبدأ Pigeonhole

• ما هو أقل عدد من الأشخاص الذين تحتاجهم لتجمعهم في غرفة لتضمن تمامًا ما يلي:
  • اثنان ولدا في نفس الشهر؟
  • اثنان ولدا في نفس اليوم من السنة؟

تعريف لمبدأ Pigeonhole

• بشكل غير رسمي: في حالة وجود عدد n من الحمام تطير إلى أماكن m من الحمام و n> m إذن يجب أن تحتوي إحدى الأماكن على حمامتين أو أكثر.
• بشكل رسمي: لا يمكن أن تكون الدالة من مجموعة محدودة إلى مجموعة محدودة أصغر فردية.
• يجب أن يكون هناك عنصران على الأقل في المجال لهما الصورة نفسها في المجال المشارك.

أمثلة على مبدأ Pigeonhole

• بافتراض أنه لديك درج يحتوي جوارب متطابقة وبعضها أسود وبعضها أبيض. ثم السؤال هو عدد الجوارب التي تحتاج إلى سحبها في الظلام لتتأكد من الحصول على زوج من نفس اللون.
• بالنظر إلى المجموعة A = {1,2,3,4,5,6,7,8}, ما هو اقل عدد صحيح تحتاج لسحبه ليكون مجموع أحد الازواج يساوي 9؟

مبدأ Pigeonhole بالمنطق الرياضي

• نظرية: التوسع العشري للكسور n/d حيث n ، d ∈ ℕ و d ≠ 0 يتكرر دائمًا.
• على سبيل المثال:
  • 2/3 = 0.6̅
  • 3/8 = 0.3750
  • 729/13 = 56.076923̅
  • 10/5 = 2.0
  • 107/33 = 3.24̅

مثال

• في المثال n=107, d=33,
• H={0,...,32}
• يجب أن تتكرر الباقيات بعد 33 خطوة في القسمة
• في هذه الحالة كان تسلسل الباقيات 8, 14, 8, …

القاعدة العامة لمبدأ Pigeonhole

• في مجموعة مكونة من 100 شخص ، ما هو أكبر عدد من الأشخاص الذين يضمن أن يكون لديهم نفس الأحرف الأولى من الاسم الأوسط؟
• P = {100 شخص}
• H = الأبجدية الإنجليزية = {A, B, ..., Z}

منطق رياضى لمبدأ Pigeonhole

• لأي وظيفة من مجموعة محدودة P إلى مجموعة محدودة H ، ولأي عدد صحيح موجب k ، إذا كان N(P)> k.N(H), اذن ∃h∈H s.t
• h هي صورة على الأقل k + 1 عناصر مميزة لـ P
• في المثال 14> 3 × 4

مثال على القاعدة العامة لمبدأ Pigeonhole

• في فصل جامعي يوجد 80 طالبًا. جميع الطلاب تتراوح أعمارهم بين 18 و 35 عامًا. أريد أن أراهن على أن X-على الأقل يكون لهما نفس العمر. ما هو أكبر رقم يمكنك الرهان عليه مع تأكدك من الفوز؟
  • P = {80 طالبًا} → N(P) = 80
  • H = {18, 19, 20, ..., 35} → N(H) = 18
  • = 4 ، نظرًا لوجود: 80> 4.18
  • X = k + 1 = 5